从二元一次方程组到二阶行列式再到克拉默法则_原方程组和方程组有什么区别

引言

  在数学中，线性代数提供了一套强大的工具来解决各种实际问题。本文将介绍从二元一次方程组开始，如何利用二阶行列式和克拉默法则来求解问题。

1 二元一次方程组

什么是二元一次方程组？

二元一次方程组指包含两个变量的一次方程组，通常形如：

{ 3 x + 4 y = 5 7 x + 9 y = 11

$$\begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 7x + 9y = 11 \end{cases}$$ {3x+4y=57x+9y=11​

这里，3、4、7、9、5 和 11 是已知的常数，(x) 和 (y) 是需要求解的未知数。

解法概述

解决这种方程组的一种基本方法是消元法。通过适当的操作消去一个变量，简化成一个关于单个变量的方程。让我们详细说明这个过程。

示例

1. 操作步骤

首先，我们将两个方程进行变形，以便消去一个变量。

原方程组：

{ 3 x + 4 y = 5 7 x + 9 y = 11

$$\begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 7x + 9y = 11 \end{cases}$$ {3x+4y=57x+9y=11​

2. 消元法

为了消去一个变量，我们将第一个方程和第二个方程进行适当的变换。假设我们希望消去 (x)，我们可以进行如下操作：

将第一个方程乘以 7：
将第二个方程乘以 3：

{ 7 ⋅ 3 x + 7 ⋅ 4 y = 7 ⋅ 5 3 ⋅ 7 x + 3 ⋅ 9 y = 3 ⋅ 11

$$\begin{cases} 7 \cdot 3x + 7 \cdot 4y = 7 \cdot 5 \\ 3 \cdot 7x + 3 \cdot 9y = 3 \cdot 11 \end{cases}$$ {7⋅3x+7⋅4y=7⋅53⋅7x+3⋅9y=3⋅11​

两式相减，求得 y 的值
$$y=\frac{7\cdot 5-3\cdot 11}{7\cdot 4-3\cdot 9}$$
现在我们就想，把分子分母换成行列式写法，由此就引入了二阶行列式的写法，上面的式子可以写为这样

y = ∣ 7 3 11 5 ∣ ∣ 7 3 9 4 ∣ y = \frac{

$$\begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 11 & 5 \end{vmatrix}$$ }{ $$\begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 9 & 4 \end{vmatrix}$$ } y= ​79​34​ ​ ​711​35​ ​​

最后求得 x 和 y 的值：

$$\begin{gathered} y=2 \\ x=-1 \end{gathered}$$

2 二阶行列式

引入行列式

在上面的步骤中，我们进行了方程变换和变量消去，实际上可以使用行列式的方法来简化这些步骤。

行列式定义

行列式是一种代数表达式，用于求解线性方程组。二阶行列式定义如下：

∣ a b c d ∣ = a d − b c

$$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$$ = ad - bc ​ac​bd​ ​=ad−bc

示例计算

对于矩阵

( 3 4 7 9 )

$$\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{pmatrix}$$ (37​49​)

其行列式为：

∣ 3 4 7 9 ∣ = 3 ⋅ 9 − 4 ⋅ 7 = 27 − 28 = − 1

$$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}$$ = 3 \cdot 9 - 4 \cdot 7 = 27 - 28 = -1 ​37​49​ ​=3⋅9−4⋅7=27−28=−1

3 克拉默法则

什么是克拉默法则？

克拉默法则是一种利用行列式解决线性方程组的方法。对于一个二元一次方程组：

{ 3 x + 4 y = 5 7 x + 9 y = 11

$$\begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 7x + 9y = 11 \end{cases}$$ {3x+4y=57x+9y=11​

它可以表示成矩阵形式 (AX = B)，其中：

A = ( 3 4 7 9 ) , X = ( x y ) , B = ( 5 11 ) A =

$$\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{pmatrix}$$ , X = $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ , B = $$\begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}$$ A=(37​49​),X=(xy​),B=(511​)

克拉默法则公式

克拉默法则提供了求解线性方程组的公式。可以很方便的解出 (x) 和 (y)，注意分母都是一样的：
(x)的分子相当于用 (B)替换了 (A)第一列， (y)的分子相当于用 (B)替换了 (A)第二列，

x = ∣ 5 4 11 9 ∣ ∣ 3 4 7 9 ∣ , y = ∣ 3 5 7 11 ∣ ∣ 3 4 7 9 ∣ x = \frac{

$$\begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 11 & 9 \end{vmatrix}$$ }{ $$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}$$ }, \quad y = \frac{ $$\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 7 & 11 \end{vmatrix}$$ }{ $$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}$$ } x= ​37​49​ ​ ​511​49​ ​​,y= ​37​49​ ​ ​37​511​ ​​

使用克拉默法则求解

1. 计算分母：

∣ 3 4 7 9 ∣ = 3 ⋅ 9 − 4 ⋅ 7 = − 1

$$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}$$ = 3 \cdot 9 - 4 \cdot 7 = -1 ​37​49​ ​=3⋅9−4⋅7=−1

2. 计算 (x) 的分子：

∣ 5 4 11 9 ∣ = 5 ⋅ 9 − 4 ⋅ 11 = 45 − 44 = 1

$$\begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 11 & 9 \end{vmatrix}$$ = 5 \cdot 9 - 4 \cdot 11 = 45 - 44 = 1 ​511​49​ ​=5⋅9−4⋅11=45−44=1

3. 计算 (y) 的分子：

∣ 3 5 7 11 ∣ = 3 ⋅ 11 − 5 ⋅ 7 = 33 − 35 = − 2

$$\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 7 & 11 \end{vmatrix}$$ = 3 \cdot 11 - 5 \cdot 7 = 33 - 35 = -2 ​37​511​ ​=3⋅11−5⋅7=33−35=−2

4. 求解：

$$x=\frac{1}{-1}=-1$$

$$y=\frac{-2}{-1}=2$$

使用克拉默法则求解多元一次方程组

也是类似的，用三元一次方程组举例，四元、五元、十元等等类似：
{ 2 x + 3 y − z = 5 4 x − y + 2 z = 6 3 x + 2 y + z = 7

$$\begin{cases} 2x + 3y - z = 5 \\ 4x - y + 2z = 6 \\ 3x + 2y + z = 7 \end{cases}$$ ⎩ ⎨ ⎧​2x+3y−z=54x−y+2z=63x+2y+z=7​

将其表示为矩阵形式 (AX = B)，其中：

A = ( 2 3 − 1 4 − 1 2 3 2 1 ) , X = ( x y z ) , B = ( 5 6 7 ) A =

$$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ , \quad X = $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ , \quad B = $$\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}$$ A= ​243​3−12​−121​ ​,X= ​xyz​ ​,B= ​567​ ​

求解 (x)

用 B 替换 A 的第一列：
x = ∣ 5 3 − 1 6 − 1 2 7 2 1 ∣ ∣ 2 3 − 1 4 − 1 2 3 2 1 ∣ = 4 3 x =\frac {

$$\begin{vmatrix} 5 & 3 & -1 \\ 6 & -1 & 2 \\ 7 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ } { $$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ }=\frac{4}{3} x= ​243​3−12​−121​ ​ ​567​3−12​−121​ ​​=34​

高阶行列式的计算可以使用余子式，按行或列展开计算，本文不再赘述。

求解 (y)

用 B 替换 A 的第二列：
y = ∣ 2 5 − 1 4 6 2 3 7 1 ∣ ∣ 2 3 − 1 4 − 1 2 3 2 1 ∣ = 16 15 y =\frac {

$$\begin{vmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 4 & 6 & 2 \\ 3 & 7 & 1 \end{vmatrix}$$ } { $$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ }= \frac{16}{15} y= ​243​3−12​−121​ ​ ​243​567​−121​ ​​=1516​

求解 (z)

用 B 替换 A 的第三列：
z = ∣ 2 3 5 4 − 1 6 3 2 7 ∣ ∣ 2 3 − 1 4 − 1 2 3 2 1 ∣ = 13 15 z = \frac {

$$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 4 & -1 & 6 \\ 3 & 2 & 7 \end{vmatrix}$$ } { $$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ }= \frac{13}{15} z= ​243​3−12​−121​ ​ ​243​3−12​567​ ​​=1513​

使用克拉默法则的限制条件

1.方程数与未知数相等

例如，三个未知数，三个方程。

2.系数矩阵必须是方阵且行列式结果不为零

系数矩阵必须是n×n 的矩阵（简称方阵）。如果不是方阵，克拉默法则不能应用。同样行列式计算的结果为零时也不适用。

3.方程组必须是线性的

比如二元一次方程、三元一次方程才适用，不能是二元二次方程，因为已经是平方了，不是线性了。

4 总结

  本文我们从二元一次方程组的基本求解方法开始，逐步引入了行列式，并最终介绍了克拉默法则。在实际应用中，使用行列式和克拉默法则可以简化计算过程，使得解决线性方程组更加直观和有效。