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一、最小生成树的概念
一个连通图的生成树是一个极小的连通子图,它含有图中的全部顶点,但只有构成一棵树的n-1条边。
对于一个带权(假定每条边上的权均大于0的数)连通无向图G中的不同生成树,其每棵树的所有边上的权值之和也可能不同。
图的所有生成树中具有边上的权值之和的树称为图的最小生成树。
ps:以上是官方说法,我们用简单易懂的语言来理解最小生成树
最小生成树:
①是一棵树(没有回路,有n个顶点,有n-1条边)
②是生成树(包含全部顶点,n-1条边都在图中)
③边的权重和最小
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二、普里姆Prim算法构造最小生成树的过程
它是一种构造性算法。假设G=(V,E)是一个具有n个顶点的带权连通无向图,T=(U,TE)是G的最小生成树,其中U是T的顶点集,TE是T的边集,则由G构造从起始顶点v触发的最小生成树T的步骤如下:
(1)初始化U={v}。以v到其他顶点的所有边为侯选边。
(2)重复一下步骤n-1次,使得其他n-1个顶点被加入到U中:
①以顶点集U和顶点集V-U之间的所有边(称为割集(U,V-U))作为侯选边,从中挑选权值最小的边(称为轻边)加入TE,设该边在V-U中的顶点式k,将k加入到U中;
②考察当前V-U中的所有顶点j,修改候选边:若(k,j)的权值小于原来和顶点j关联的侯选边,则用(k,j)取代后者作为侯选边。
三、普里姆算法设计
为了便于在集合U和U-V之间选择权最小的边,建立了两个数组closest和lowest,它们记录从U到V-U具有最小权值的边,对于某个j∈V-U,closest[j]存储该边依附的在U中的顶点编号,lowcost[j]存储该边的权值
比如可以举出下图例子
可以列出lowcost和closest数组以及所选边表格如下
Prim(g,v)算法利用上述过程构造最小生成树,其中参数g为带权邻接矩阵,v为起始顶点的编号。
四、代码实现
代码实现分成两部分,一部分是图的基本算法,用于后一部分代码创建图的邻接矩阵。
①图的基本运算算法代码
#include <stdio.h> #include <malloc.h> #define MAXV 50 //最大顶点个数 #define MAXL 20 #define INF 0x3f3f3f3f //表示∞ //邻接矩阵的类型定义如下: typedef struct { int no; //顶点编号 char data[MAXL]; //顶点其他信息 } VertexType; //顶点类型 typedef struct { int edges[MAXV][MAXV]; //邻接矩阵的边数组 int n,e; //顶点数,边数 VertexType vexs[MAXV]; //存放顶点信息 } MGraph; //完整的图邻接矩阵类型 //图的邻接表存储类型的定义如下: typedef struct ANode { int adjvex; //该边的终点编号 int weight; //该边的权值 struct ANode *nextarc; //指向下一条边的指针 } ArcNode; //边结点类型 typedef struct Vnode { char data[MAXL]; //顶点其他信息 ArcNode *firstarc; //指向第一条边 } VNode; //邻接表头结点类型 typedef VNode AdjList[MAXV]; //AdjList是邻接表类型 typedef struct { AdjList adjlist; //邻接表 int n,e; //图中顶点数n和边数e } ALGraph; //完整的图邻接表类型 void CreateMat(MGraph &g,int A[][MAXV],int n,int e) //建立图的邻接矩阵 { int i,j; g.n=n; g.e=e; for (i=0;i<n;i++) for (j=0;j<n;j++) g.edges[i][j]=A[i][j]; } void DispMat(MGraph g) //输出图的邻接矩阵 { int i,j; printf(" n=%d,e=%d\n",g.n,g.e); for (i=0;i<g.n;i++) { for (j=0;j<g.n;j++) if (g.edges[i][j]==INF) printf("%4s","∞"); else printf("%4d",g.edges[i][j]); printf("\n"); } } void CreateAdj(ALGraph *&G,int A[][MAXV],int n,int e) //建立图的邻接表 { int i,j; ArcNode *p; G=(ALGraph *)malloc(sizeof(ALGraph)); G->n=n; G->e=e; for (i=0;i<n;i++) G->adjlist[i].firstarc=NULL; for (i=0;i<n;i++) for (j=0;j<n;j++) if (A[i][j]!=0 && A[i][j]!=INF) { p=(ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode)); p->adjvex=j; p->weight=A[i][j]; p->nextarc=G->adjlist[i].firstarc; G->adjlist[i].firstarc=p; } } void DispAdj(ALGraph *G) //输出图的邻接表 { int i; ArcNode *p; printf("n=%d,e=%d\n",G->n,G->e); for (i=0;i<G->n;i++) { printf("[%3d]:",i); p=G->adjlist[i].firstarc; while (p!=NULL) { printf("→(%d,%d)",p->adjvex,p->weight); p=p->nextarc; } printf("→∧\n"); } } void DestroyAdj(ALGraph *&G) //销毁图的邻接表 { int i; ArcNode *pre,*p; for (i=0;i<G->n;i++) { pre=G->adjlist[i].firstarc; while (pre!=NULL) { p=pre->nextarc; free(pre); pre=p; } } free(G); }
②普里姆算法求最小生成树
//普里姆算法求最小生成树 #include "Graph.cpp" void Prim(MGraph g,int v) { int lowcost[MAXV]; int mincost; int closest[MAXV],i,j,k; for (j=0;j<g.n;j++) //给初始化lowcost和closest数组 { lowcost[j]=g.edges[v][j]; closest[j]=v; } for (i=1;i<g.n;i++) //找出(n-1)个顶点 { mincost=INF; for (j=0;j<g.n;j++) //在(V-U)中找出离U最近的顶点k if (lowcost[j]!=0 && lowcost[j]<mincost) { mincost=lowcost[j]; k=j; //k记录最近顶点的编号 } printf(" 边(%d,%d)权为:%d\n",closest[k],k,mincost); lowcost[k]=0; //标记k已经加入U for (j=0;j<g.n;j++) //修改数组lowcost和closest if (g.edges[k][j]!=0 && g.edges[k][j]<lowcost[j]) { lowcost[j]=g.edges[k][j]; closest[j]=k; } } } int main() { MGraph g; int A[][MAXV]={ //一个带权无向图 {0, 6, INF,INF,INF,1, INF}, {6, 0, 4, INF,INF,INF,3}, {INF,4, 0, 2, INF,INF,INF}, {INF,INF,2, 0, 6, INF,5}, {INF,INF,INF,6, 0, 8, 7}, {1, INF,INF,INF,8, 0, INF}, {INF,3, INF,5, 7, INF,0}}; int n=7,e=9; CreateMat(g,A,n,e); //创建图的邻接矩阵g printf("图的邻接矩阵:\n"); DispMat(g); //输出邻接矩阵g printf("Prim算法结果:\n"); Prim(g,0); return 0; }
ps: 普里姆算法中有两重for循环,所以时间复杂度为O(n²),其中n为图中的顶点个数。
参考自《算法设计与分析》李春葆第二版
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