DP算法：动态规划算法

步骤

（1）确定初始状态

（2）确定转移矩阵，得到每个阶段的状态，由上一阶段推到出来

（3）确定边界条件。

例题

1. 蓝桥杯——印章（python实现）

使用dp记录状态，dp[i][j]表示买i张印章，凑齐j种印章的概率

i表示买的印章数，j表示凑齐的印章种数

情况一：如果i<j,不可能凑齐印章，概率为0

情况二：如果j=1,dp[i][1] = n*((1/n)**i)，凑齐一种印章，所有i个印章为一个种类，这一个种类有n种情况可选

情况三：凑齐j种印章。前面买了i-1个印章。可能前面i-1步凑够了j种印章，那么只用从j种里随意选出来一个dp[i-1][j]*j*p；可能前面i-1步凑够了j-1种印章，那么从剩下的n-j+1种里选出来一个dp[i-1][j-1]*(n-j+1)*p，因此为dp[i][j] = dp[i-1][j]*j*p+dp[i-1][j-1]*(n-j+1)*p

strs = input().strip().split()
n = int(strs[0])
m = int(strs[1])
 
# 使用dp记录状态，dp[i][j]表示买i张印章，凑齐j种印章的概率
dp = [[0]*(n+1) for _ in range(m+1)]
 
 
p = 1.0/n
 
for i in range(1,m+1):
    for j in range(1,n+1):
    # 如果i<j,不可能凑齐印章
        if i<j:
            dp[i][j] = 0
        # 如果凑齐一种印章
        elif j==1:
            dp[i][1] = n*(p**i)
        # 凑齐j种印章：可能前面i-1步凑够了j种印章，那么只用从j种里随意选出来一个；
        # 可能前面i-1步凑够了j-1种印章，那么从剩下的n-j+1种里选出来一个
        else:
            dp[i][j] = dp[i-1][j]*j*p+dp[i-1][j-1]*(n-j+1)*p
print('%.4f'%(dp[m][n]))

2. 蓝桥杯——算法训练 拿金币

使用dp记录状态，dp[i][j]表示在arr[i][j]可以拿到的最多金币数。

情况一：如果i=j=0,那么此位置最多拿到金币数dp[0][0]=arr[0][0]

情况二：如果i=0,那么无法从上方转移，只能从左边转移到arr[0][j]。dp[0][j] = dp[0][j - 1] + arr[0][j]左边位置的最大金币数加上当前位置arr[0][j]的金币数

情况三：如果j=0,那么无法从左方转移，只能从上边转移到arr[i][0]。dp[i][0] = dp[i - 1][0] + arr[i][0]上边位置的最大金币数加上当前位置arr[i][0]的金币数

情况四：如果i，j != 0,dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + arr[i][j],当前位置金币数arr[i][j]加上左边和上边dp中最大的一个 max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])

n = int(input())
strs = [(input()).strip().split() for _ in range(n)]
arr = []
for i in range(n):
    temp = []
    j = 0
    while j < len(strs[i]):
        temp.append(int(strs[i][j]))
        j += 1
    arr.append(temp)
 
dp = [[0] * n for _ in range(n)]
for i in range(n):
    for j in range(n):
        if i == 0 and j == 0:
            dp[0][0] = arr[0][0]
        if i == 0:
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + arr[0][j]
        if j == 0:
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + arr[i][0]
        if i != 0 and j != 0:
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + arr[i][j]
 
print(max(max(dp)))