机器人工具箱学习（一）_peter corke的机器人工具箱

一、机器人工具箱介绍

   机器人工具箱是由来自昆士兰科技大学的教授Peter Corke开发的，被广泛用于机器人进行仿真（主要是串联机器人）。该工具箱支持机器人一些基本算法的功能，例如三维坐标中的方向表示，运动学、动力学模型和轨迹生成。
   学习该工具箱较为经典的书籍有以下两本，其中第一本是Peter Corke教授自己编写的，为英文版，第二本是国内学者翻译的。

二、机器人工具箱的下载和安装

2.1 机器人工具箱下载

   可以在官方网站下载安装文件（点这个超链接即可跳转：机器人工具箱下载官网），如下所示：

   下载的文件名为 RTB10.4.mltbx，如下所示：

2.2 机器人工具箱安装

  在matlab中打开刚刚存放RTB10.4.mltbx文件的目录，然后双击RTB10.4.mltbx文件：


  下载完毕之后，输入指令：ver，便可以查看我们所下载的机器人工具箱版本，同时也进一步确认该工具箱是否安装成功

三、机器人学中的一些数学基础

3.1 三维空间中的位置和姿态

3.1.1 位置描述

  我个人简单的认为，所谓的位置描述就是点在某一个坐标系中的坐标。

上图中，空间中任意一点在坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}中的表示为：

其中，$p_x、p_y、p_z$分别表示该点在坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}中的三个坐标。MATLAB中，利用plot3( )函数可以绘制三维空间中的一个点。例如绘制空间中点(1,2,3)：plot3(1,2,3,'*');

3.1.2 姿态描述

  我个人认为，所谓的姿态描述就是表示空间中某一个物体的方位。

如上图所示，空间中存在一个刚体，与该刚体固连的坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}。该刚体相对于坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}的姿态用姿态变换矩阵（也叫旋转矩阵）${}_B^{A}R$：

式中，$x_A$、$y_A$、$z_A$分别表示坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}三个坐标轴在某一个坐标系下的表示；$x_B$、$y_B$、$z_B$分别表示坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}三个坐标轴在某一个坐标系下的表示；${}^A{x}_B$、${}^A{y}_B$、${}^A{z}_B$表示坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}三个坐标轴在坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}上的表达。
  当分别绕坐标轴$x、y、z$旋转角度$\theta$时，姿态变换矩阵$R$可以分别表示为：

  机器人工具箱中提供rotx( )、roty( )、rotz( )函数来计算绕单个坐标轴旋转的姿态矩阵（注意：这些个函数默认角度制，但好像有的版本时默认弧度制度，注意辨别一下）：

  使用trplot( )函数可以图形化显示相应的坐标系，例如显示一个绕基坐标系的$x$轴旋转60°的坐标系，如下图所示：

  使用tranimate( )函数可以显示坐标系旋转的动画，如下图所示：

3.1.3 函数总结

（1）绕单个坐标轴旋转的旋转矩阵：rotx( )、roty( )、rotz( )函数
  ● rotx( )：R=rotx($\theta$）表示围绕$x$轴旋转角度$\theta$所得到的旋转矩阵，函数返回一个3x3的矩阵；
  ● roty( )：R=roty($\theta$）表示围绕$y$轴旋转角度$\theta$所得到的旋转矩阵，函数返回一个3x3的矩阵；
  ● rotz( )：R=rotz($\theta$）表示围绕$z$轴旋转角度$\theta$所得到的旋转矩阵，函数返回一个3x3的矩阵；

（2）绘制坐标系：trplot( )函数
 trplot( )函数的语法：trplot(R, options)
  ● trplot®：绘制由旋转矩阵$R$得到的坐标系；
  ● trplot(T)：绘制由齐次变换矩阵$T$表示的坐标系;
 trplot( )函数的options项有其他的用法

（3）动画展示函数：tranimate( )函数
  ● tranimate(x1, x2, options)：展示3D坐标系从姿态x1变换到姿态x2的动画效果其中，姿态 x1和 x2有三种表示方法:一个4X4 的齐次矩阵,或一个3x3的旋转矩阵,或一个四元数；
  ● tranimate(x，options)：展示了坐标系由上一个姿态变换到姿态x的动画效果。同样地，姿势x也有三种表示方法：一个4X4 的齐次矩阵，或一个 3x3 的旋转矩阵，或一个四元数；
  ● tranimate(xseq，options)：展示了移动一段轨迹的动画效果。xseq可以是一组4x4xN的齐次矩阵,或一组 3x3xN 的旋转矩阵,或是一组四元数向量(Nx1)。
tranimate( )函数中options的其他用法：

3.2 坐标变换

  同一个物体可以在不同的坐标系下进行描述，这之间就涉及到坐标变换

3.2.1 平移坐标变换

如上图所示，坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}没有经过旋转，直接平移得到坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}。$P$是坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}中的一点，用矢量${}^{B}P$表示它在坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}中的位置，用矢量${}^{A}P$表示它在坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}中的位置，则有：

式中，${}^A{P}_{BORG}$是坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}平移的矢量。

  用4x4的齐次矩阵表示由坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}到坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}的平移变换矩阵：

其中，$B_x$、$B_y$、$B_z$分别表示矢量${}^A{P}_{BORG}$的三个分量。
  机器人工具箱中用transl( )函数来计算平移变换矩阵，例如：坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}的坐标（这里的坐标指代位置和姿态）表示为：

坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}沿着$x$轴移动10，沿着$y$轴移动5，沿着$z$轴移动1得到坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}，可以用transl(10, 5, 1)来得到平移变换矩阵。

3.2.2 旋转坐标变换

  如上图所示，坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}没有经过平移，直接旋转（旋转矩阵为${}_B^{A}R$）得到坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}。同一个点$P$在坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}和坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}中的表达分别为${}^{A}P$和${}^{B}P$，两者的转换关系为：

  机器人工具箱中用trotx( )、troty( )和trotz( )函数分别表示绕$x$轴、$y$轴和$z$轴旋转一定角度的4x4的齐次变换矩阵：

3.2.3 齐次坐标变换

  如上图所示，坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}经过平移（平移矢量为${}^A{P}_{BORG}$）和旋转（旋转矩阵为${}_B^{A}R$）得到坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}，则有：

将上式写成齐次坐标变换的形式：

  例如，坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}先绕$y$轴旋转120°，然后再沿着$x$轴移动4，沿着$y$轴移动5，沿着$z$轴移动6得到坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}：

  坐标系 { B } \left\{ B \right\} {B}中的矢量${}^{B}P$在坐标系 { A } \left\{ A \right\} {A}中进行描述${}^{A}P$：

  已知${}^{A}P$求${}^{B}P$：


  在三维坐标中画出经过齐次变换的两个坐标系：

  transl( )函数可以获取齐次变换矩阵$T$中的平移矢量，t2r( )函数可以获取齐次变换矩阵$T$中的旋转矩阵，r2t( )函数可以根据旋转矩阵$R$得到齐次变换矩阵$T$（只有旋转，没有移动）：

3.2.4 函数总结

（1）平移坐标变换：transl( )函数
  ● 使用transl( )函数创建齐次的平移变换矩阵
   1）T = transl(x，y，z)：表示能够获取一个分别沿着x轴、y轴和z轴平移一段距离得到的4X4齐次变换矩阵；
   2）T= transl§：表示由经过矩阵(或向量)$p=\left[x,y,z\right]$的平移得到的齐次变换矩阵如果$p$为(Mx3)的矩 阵,则$T$为一组齐次变换矩阵(4x4xM)，其中 $T(:,:,i)$对应于$p$的第$i$行。
  ● 使用transl( )函数提取齐次矩阵$T$中的平移变换分量。
（2）旋转坐标变换：trotx( )函数、troty( )函数和trotz( )函数
  ● T=trotx($\theta$):表示围绕$x$轴旋转$\theta$角度得到的齐次变换矩阵(4x4)；
  ● T=troty($\theta$):表示围绕$y$轴旋转$\theta$角度得到的齐次变换矩阵(4x4)；
  ● T=trotz($\theta$):表示围绕$z$轴旋转$\theta$角度得到的齐次变换矩阵(4x4)；
（3）t2r( )与r2t( )函数
  ● R=t2r(T)：用来获取齐次变换矩阵$T$中的旋转矩阵分量；
  ● T=r2t(R )：用来获取一个与旋转矩阵$R$等价的具有零平移分量的齐次变换矩阵。

结语

我是木头人，以上全是个人见解，有问题请大家评论区指出，大家共同进步！！