PDE笔记

以双元一阶PDE为例，需要求解的对象是一个未知的平面数量场
所谓特征曲线，就是一族曲线，对于其中一条曲线，数量场在上面的每一点的取值都相同
三元 乃至n元同理

所以解数量场就变成解一堆特征曲线，由于没给初值，数量场在特征曲线上的取值并不重要，你只要求解出一条特征曲线，就知道所有特征曲线，因为这些特征曲线之间互相“平行”，有点像动力系统里的解曲线一样，它们不会相交（除了某些奇点，这里不考虑）

所以只要求解出一条特征曲线，就自动知道了所有特征曲线，并且知道了数量场的“定性”分布特征，如果再给个初始条件，就完全知道了这个数量场

线性一阶偏微分方程

特征线方法

最一般的一阶线性偏微分方程的形式为：

$$a(x,t)\frac{\partial v(x,t)}{\partial x}+b(x,t)\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}=c(x,t)v(x,t)+d(x,t),$$

其中 $a,b,c,d$ 是已知函数。除非另有说明，这些函数假设是连续可微的。在每个点 $(x,t)$ 上，向量 $[a(x,t),b(x,t)]$ 已定义且非零，（2.2.1）的左侧本质上表示 $v(x,t)$ 在方向 $[a(x,t),b(x,t)]$ 上的方向导数。方程：

$$\frac{dx}{ds}=a(x,t),\frac{dt}{ds}=b(x,t)$$
这里 $[a(x,t),b(x,t)]$ 是一个二维的向量场，既然是向量场，就可以看成是速度场，而速度场可以看作是很多条路径的切向量构成的场。这是很自然的，因为向量场一般不是梯度场（保守力场），但一定可以看成速度场。把一个质点放在一个二维向量场的某个点上，并把向量场在该点的取值作为它的初速度（t=0），则这个质点往前和往后的轨迹则就可以视为这个向量场的一个“特征曲线”，特征曲线们的切向量构成了这一向量场。

这一族曲线中的每条曲线都可以被参数化，而向量场中的每个点必然属于这些特征曲线中的某一条特定曲线，对于每个特征曲线就有一种参数化方法，相应的，向量场中的每个点，和它的伙伴们（同属于同一条特征曲线的那些点），则对应同一种参数化
确定了一族曲线 $x=x(s),t=t(s)$。（通过指定曲线必须经过的一个点，可以确定族中的特定曲线。）曲线 $x=x(s),t=t(s)$ 的切向量是 $[x^{\prime }(s),t^{\prime }(s)]$。系统（2.2.2）表明在每个点 $(x,t)$ 上，向量 $[a(x,t),b(x,t)]$ 的方向与切向量的方向一致。因此，使用链式法则和（2.2.1）及（2.2.2），沿着这些曲线的 $v(x,t)$ 的导数变为：

$$\frac{dv}{ds}=\frac{dv[x(s),t(s)]}{ds}=\frac{\partial v}{\partial x}\frac{dx}{ds}+\frac{\partial v}{\partial t}\frac{dt}{ds}=a\frac{\partial v}{\partial x}+b\frac{\partial v}{\partial t}=cv+d$$

通过求解系统（2.2.2）-（2.2.3）确定的一族曲线 $x=x(s),t=t(s),v=v(s)$ 称为PDE（2.2.1）的特征曲线
。由于没给初始条件，我们只可以求出特征曲线的族，但这已经足够刻画原来的那个向量场了。

由于方程（2.2.2）可以独立于（2.2.3）求解，因此通过（2.2.1）确定的 $(x,t)$ 平面中的曲线有时也称为特征曲线或特征基曲线。我们通过使用（2.2.2）-（2.2.3）的解法来求解（2.2.1）的方法称为特征线法。由于它基于对偏微分方程（2.2.1）的几何解释，因此是有依据的。

常微分方程的存在唯一性理论，假设 $a,b,c,d$ 函数满足某些光滑条件，保证通过给定点 $(x_0,t_0,v_0)$ 在 $(x,t,v)$ 空间中正好有一条解曲线（即特征曲线）。所谓这里的初始条件，就是我知道这个二维数量场$v(x,t)$在$(x_0,t_0)$处等于$(v_0)$

通常，我们不关心确定偏微分方程（2.2.1）的通解(这是在数学物理领域,实际上我们很关心)，而是寻找通过或包含给定曲线 $C$ (因为一个初始点$(x_0,t_0)$一定属于向量场的某条base特征曲线)的特定解 $v=v(x,t)$。这个问题称为（2.2.1）的初值问题。

初值问题通过特征线法求解如下。我们将初始曲线 $C$ 参数化表示为：

$$x=x(\tau ),t=t(\tau ),v=v(\tau )$$

对于给定参数 $\tau$ 的范围。曲线可以是有限或无限延展的，并且在每一点上都必须有连续的切向量。每一个 $\tau$ 值确定了 $C$ 上的一点，通过该点正好有一条特征曲线通过。由 $C$ 的点确定的特征曲线族可以参数化为：

$$x=x(s,\tau ),t=t(s,\tau ),v=v(s,\tau )$$

其中 $s=0$ 对应初始曲线 $C$。这里的$s$的值有点像level curve的level.
即 $x(0,\tau )=x(\tau )$，$t(0,\tau )=t(\tau )$，$v(0,\tau )=v(\tau )$。

方程（2.2.5）通常在 $(x,t,v)$ 空间中给出包含初始曲线 $C$ 的曲面的参数表示。假设方程 $x=x(s,\tau ),t=t(s,\tau )$ 可以逆转，得到 $s$ 和 $\tau$ 作为 $x$ 和 $t$ 的（光滑）函数（这是在初始曲线 $C$ 上的 Jacobian 行列式 $\Delta (s,\tau )=x_s{t}_{\tau }-t_s{x}_{\tau }\ne 0$ 时的情况），这些函数可以代入方程 $v=v(s,\tau )$。所得函数 $v=v(x,t)$ 满足（2.2.1）在 $C$ 附近的邻域中，根据（2.2.3）和初始条件（2.2.4），并且是给定初值问题的唯一解。它被称为问题的积分曲面。对函数 $a,b,c,d$ 在方程（2.2.3）中施加的光滑性要求意味着 $v(x,t)$ 在初始曲线 $C$ 附近是连续可微的。图2.1显示了积分曲面是如何根据初始曲线和特征曲线构建的。

如果上述方法未能得到积分曲面，则初值问题可能没有解，或者可能有无限多个解。如果初始曲线 $C$ 本身是一条特征曲线，则问题被称为特征初值问题。即使能够构建积分曲面，它也可能是不连续的，或者可能在某条曲线上失去可微性。

例子

以下例子说明了特征线法在求解线性一阶方程的初值问题中的应用，并展示了在解决非平滑或非唯一解的问题中如何处理它们。

我们观察到，尽管特征线方法将求解一阶偏微分方程的问题简化为求解常微分方程系统，但通常情况下，这些非线性系统的确切解并不是一个简单的任务。可能需要使用数值方法来求解该系统的初值问题。

例子 单方向线性的波动方程

单向波动方程如下

$$\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}+c\frac{\partial v(x,t)}{\partial x}=0,$$

其中 $c$ 为常数，表示单向波动运动 。此方程也称为对流方程。我们研究在 $t=0$ 时的初值问题：

$$v(x,0)=F(x),$$

其中 $F(x)$ 是已知函数。

使用特征线方法，我们将初始曲线 $C$ 参数化为：

$$x=\tau ,t=0,v=F(\tau ).$$

特征线方程，即（2.2.2）-（2.2.3），变为：

$$\frac{dx}{ds}=c,\frac{dt}{ds}=1,\frac{dv}{ds}=0.$$

解（2.2.9），并在 $s=0$ 时取初始曲线，得到：

$$x(s,\tau )=cs+\tau ,t(s,\tau )=s,v(s,\tau )=F(\tau ).$$

使用前两个方程来求解$x$和$t$的$s$和$\tau$：

$$s=t,\tau =x-ct.$$

将这个结果代入(2.2.10)中的$v$，得到：

$$v(s,\tau )=F(x(s,\tau ))=F(x-ct).$$

显然，如果$F(x)$是可微的，则$v(x,t)=F(x-ct)$满足(2.2.6)以及初始条件(2.2.7)。（在第1章中给出的$v(x,t)=\delta (x-ct)$形式的正式解从(2.2.12)得到。）

设初始函数$v(x,0)=F(x)$表示一个波形。那么解$v(x,t)=F(x-ct)$表明，对于$x-ct=\text{常数}$，随着时间$t$的增加，点$x$将总是位于波形上的相同位置。如果$c>0$，那么该点以速度$dx/dt=c$向右移动。由于$x$是一个典型点，我们看到整个初始波形$F(x)$以速度$c$向右移动，形状不变。如果$c<0$，移动方向相反。因此，(2.2.6)描述了速度为$c$的单向波动。

对于(2.2.6)的特征基曲线是$x-ct=\tau$。对于每个$\tau$值，(2.2.10)显示$v$在这些曲线上是常数。这意味着初始数据沿这些曲线传递，因为如果$v$在$t=0$时在某点$x$的值为常数，它将在特征曲线上所有点保持该值。因此，初始数据以特征速度$dx/dt=c$（向右或向左）从零传递。

表达式$v=F(x-ct)$代表(2.2.6)的通解，因为$F(z)$是任意函数。它可以用作替代特征线法来解决(2.2.6)的初值问题。例如，如果我们在曲线$x=h(t)$上规定$v=f(t)$，我们得到$v(h(t),t)=f(t)=F(h(t)-ct)$。如果$h(t)-ct=z$，如果$h^{\prime }(t)-c\ne 0$，存在一个光滑的逆函数$t=g(z)$。那么问题的唯一解是$v(x,t)=f(g(x-ct))$。

如果$h^{\prime }(t)=c$沿整个曲线，则$x-ct$沿该曲线是常数，即初始基曲线是特征线。将常数记为$a$（即$x-ct=a$），我们有$v=f(t)=F(a)$在初始曲线上。除非$f(t)=A$是常数，否则问题没有解。如果是这样，这是一个特征初值问题，因为从(2.2.9)可以看出，初始曲线在$(x,t,v)$空间中是特征的。该问题的解不是唯一的。任何光滑函数$F(z)$满足$F(a)=A$的都是问题的解$v=F(x-ct)$。

如果$h^{\prime }(t)=c$在有限个点处，那么存在唯一的光滑逆函数$t=g(z)$，如上所述。$g(z)$在这些点处不可微，因此$v=f(g(x-ct))$是一个连续的、不可微的解，沿这些点的特征基曲线。

单向线性波动：具体初值

考虑单向线性波动方程 (2.2.6) 具有初始值 $v=f(t)$ 在抛物线 $x=h(t)=t^2$ 上。由于 $h^{\prime }(c/2)=c$，我们看到抛物线在点 $(x,t)=(c^2/4,c/2)$ 处与特征基曲线 $x-ct=-c^2/4$ 相切。使用通解 $v=F(x-ct)$，我们发现 $F(t^2-ct)=f(t)$。设 $z=t^2-ct$，存在一个分段定义的光滑逆函数 $t=g(z)$，即 $t=g_{-}(z)=c/2-\sqrt{(z+c^2/4)}$，对于 $t\le c/2$，以及 $t=g_{+}(z)=c/2+\sqrt{(z+c^2/4)}$，对于 $t\ge c/2$。它在 $x=-c^2/4$ 连续，但在 $x=-c^2/4$ 处不可微。

因此，在与 $t\le c/2$ 相交的特征基曲线在 $x=t^2$ 上，我们有解 $v=v_{-}(x,t)=f(g_{-}(x-ct))$，而那些与 $t\ge c/2$ 相交的特征基曲线显示抛物线 $x=t^2$ 解为 $v=v_{+}(x,t)=f(g_{+}(x-ct))$。然而，在 $x>-c^2/4$ 区域中，初值问题的解是定义的，每条特征线在点 $(x,t)=(c^2/4,c/2)$ 处与抛物线相交两次，其中特征线与抛物线相切。由于 $f(t)$ 是任意赋值的，并且 $v_{-}(x,t)$ 和 $v_{+}(x,t)$ 在每条特征线上是常数，我们看到解在 $x=-c^2/4$ 处是多值的。因此，积分曲面的定义域不能限制为得到一个非奇异解。因此，初值问题无解。

重新构造问题并规定 $v=f(t)$ 在 $x=t^2$ 上对于 $t\le c/2$，唯一解是 $v=f(g_{-}(x-ct))$。它在 $x-ct\ge -c^2/4$ 连续，但在 $x-ct=-c^2/4$ 处不可微。需要在广义意义上解释这种解，如下所定义。然而，如果我们要求 $t\le t_0<c/2$，解具有相同的函数形式，但在定义的任何地方都是可微的。类似地，我们可以考虑 $x=t^2$ 在 $t\ge c/2$ 上的初值问题，并获得一个唯一解。

对于一般的一阶方程 (2.2.1) 的初值问题，如果特征基曲线如 (2.2.2) 所确定的多次相交初始基曲线，则问题一般无解。解 $v(x,t)$ 是完全由其在初始基曲线上的值决定的。这样，如果特征基曲线的投影 (即特征基曲线) 多次相交初始基曲线，问题将一般是多值的。每个交点都带有一个初始值$v$，因此确定了与其他交点确定的特征不同的特征曲线，除非所有这些点上的数据兼容。

特别有趣的是 (2.2.1) 的初始和边界值问题，初始条件 $v(x,t_0)=f(x)$ 对于 $x>x_0$ 以及边界条件 $v(x_0,t)=g(t)$ 对于 $t>t_0$。该问题在 $x>x_0,t>t_0$ 的象限中求解。如果每个特征基曲线都多次相交初始和边界线，问题一般无解。然而，如果每个特征基曲线只相交初始和边界线一次，问题一般有解。[如果初始条件替换为 $v(x,t_0)=f(x)$ 对于 $x<x_0$，象限 $x<x_0,t>t_0$] 因此，对于 (2.2.6) 如果$c<0$，在象限$x>x_0,t>t_0$上的初始和边界值问题一般无解。

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例子 2.4 d’Alembert波动方程解（续）

利用(2.2.16)中的前两个方程意味着$\tau =x+\gamma t$和$-2\gamma s+\tau =-\gamma t$，因此在$x$和$t$中，解为：

$$v=v(x,t)=\frac{1}{2}[f(x+\gamma t)+f(x-\gamma t)]+\frac{1}{2\gamma }{\int }_{x-\gamma t}^{x+\gamma t}g(\lambda )d\lambda 。$$

这是d’Alembert对波动方程初值问题的解。可以验证它满足(2.1.1)和(2.2.13)。

令$G(z)={\int }_0^{z}g(\lambda )d\lambda$，即$G$是$g$的反导数。那么(2.2.17)可以表示为：

$$v(x,t)=\frac{1}{2}f(x+\gamma t)+\frac{1}{2\gamma }G(x+\gamma t)+\frac{1}{2}f(x-\gamma t)-\frac{1}{2\gamma }G(x-\gamma t)。$$

由于$\gamma >0$，第一个和第二个括号中的项分别表示以速度$\gamma$向左和向右传播的波。每个波形在传播过程中保持不变。然而，由于这些波形的叠加或求和，解中不总是显现这些波形。

广义解

如果$F(x)$在$x=0$处的导数具有跃变不连续性，则解$v=F(x-ct)$在特征基曲线$x=ct$上的$x$和$t$导数具有不连续性。如果$F(x)$在$x=0$处有跃变不连续性，则$v=F(x-ct)$在$x=ct$上具有跃变不连续性。在每种情况下，$v=F(x-ct)$不是经典意义上的解，因为它在$x=ct$上不可微。我们必须将其视为广义解，并展示如何在一般情况下处理。

设$v(x,t)$是(2.2.1)的连续可微解，但在任意曲线$x=x(s),t=t(s)$上是连续的，但其一阶导数具有（有限的）跃变不连续性。我们在曲线两侧的两个点处计算(2.2.1)，并考虑这两个方程的差异。随着这些点接近曲线上的公共点，我们得到：

$$a[v_x]+b[v_t]=0,$$

其中括号表示一阶导数在曲线上的跃变。假设(2.2.1)中的其他项在曲线上是连续的，一个在曲线$x=x(s),t=t(s)$上的解被称为(2.2.1)的广义解。

实际上，曲线$x=x(s),t=t(s)$不可任意，但必须是特征基曲线。由于假设$[v]=0$，如果沿曲线对这个方程求导（使用链式法则），我们得到：

$$x^{\prime }(s)[v_x]+t^{\prime }(s)[v_t]=0。$$

结合(2.2.19)-(2.2.20)，我们得到一阶常微分方程的齐次线性系统$[v_x]$和$[v_t]$。假设它们不全为零，我们可以得出$x^{\prime }(s)=a$和$t^{\prime }(s)=b$。根据(2.2.2)，曲线必须是特征曲线，而(2.2.19)表示$d[v]/ds=0$沿特征曲线。可以在练习中展示，跃变$[v_x]$和$[v_t]$沿特征曲线满足一阶常微分方程。由此我们得出，除非跃变来自问题的数据，否则解不能具有跃变。

如果$v(x,t)$是(2.2.1)的连续可微解，但在曲线$x=x(s),t=t(s)$上具有跃变，我们必须进一步推广解的概念。为此，我们将(2.2.1)写成守恒形式：

$$(av{)}_x+(bv{)}_t=(c+a_x+b_t)v+d，$$

并在(x, t)平面上的任意闭合有界区域$R$上积分，并具有分段光滑的边界曲线$S$。应用平面上的Green定理，我们得到：

$${\oint }_S(avdt-bvdx)={\iint }_R[(c+a_x+b_t)v+d]dxdt，$$

积分沿着$S$取正方向。这个积分关系对于在任何区域中$v(x,t)$是连续可微的情况是等价于微分方程(2.2.1)，如Green定理和区域$R$的任意性所示。然而，即使$v(x,t)$在某条曲线上有跃变不连续性，这个积分关系仍然有效。

如果我们将积分关系(2.2.22)应用于围绕曲线$x=x(s),t=t(s)$的任意部分的区域$R$，并让边界曲线$S$收敛到跃变曲线，所有项都可以通过有限值积分。这种积分形式称为广义解。

事实上，曲线$x=x(s),t=t(s)$跨越其导数跃变的位置，即(2.2.19)中的特征基曲线，因为 $[v]=0$是假设的。如果我们在曲线上对这个方程求导（使用链式法则），我们发现：

$$x^{\prime }(s)[v_x]+t^{\prime }(s)[v_t]=0。$$

现在(2.2.19)-(2.2.20)产生了一个同步齐次线性系统，用于$v_x$和$v_t$的跃变。我们假设它们不全为零，我们可以有效地得出$x^{\prime }(s)=a$和$t^{\prime }(s)=b$。根据(2.2.2)，曲线必须是特征曲线，而(2.2.19)表示沿着特征线的$d[v]/ds=0$。在练习中可以看到，跃变$v_x$和$v_t$满足沿特征线的一阶常微分方程。因此，我们得出结论，除非数据中的跃变，否则解不能具有导数的跃变。

如果$v(x,t)$是(2.2.1)的连续可微解，但在$x=x(s),t=t(s)$曲线上具有跃变，我们必须进一步推广解的概念。为此，我们将(2.2.1)写成守恒形式：

$$(av{)}_x+(bv{)}_t=(c+a_x+b_t)v+d，$$

并在$x,t$平面上的任意闭合有界区域$R$上积分，并具有分段光滑的边界曲线$S$。应用平面上的Green定理，我们得到：

$${\oint }_S(avdt-bvdx)={\iint }_R[(c+a_x+b_t)v+d]dxdt，$$

积分沿着$S$取正方向。这个积分关系对于在任何区域中$v(x,t)$是连续可微的情况是等价于微分方程(2.2.1)，如Green定理和区域$R$的任意性所示。然而，即使$v(x,t)$在某条曲线上有跃变不连续性，这个积分关系仍然有效。

如果我们将积分关系(2.2.22)应用于围绕曲线$x=x(s),t=t(s)$的任意部分的区域$R$，并让边界曲线$S$收敛到跃变曲线，我们得到：

$$(a{t}^{\prime }(s)-b{x}^{\prime }(s))[v]=0，$$

由于限制线积分的项方向相反且$v(x,t)$在曲线的两侧具有不同的限制，跃变在曲线上定义。

虽然积分(2.2.23)仅意味着在曲线的一部分上积分，但问题的任意性暗示了积分项必须为零。可以在练习8.1.9中看到。