限定条件下的均值不等式求最值问题[整理]

前言

注意理解$a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$，$a,b>0$，注意理解字母$a$，$b$能代表的内涵，比如可以是数字，字母；可以是单项式，多项式，可以是整式，分式，指数式，对数式，三角式，只要满足正定等三个条件即可使用，如果不满足此时只能依托对应的对勾函数的单调性求解最值。

回顾反思

均值不等式的使用技巧

①负化正；②拆添项；③凑系数；④在指数位置使用；

⑤连续多次使用；⑥组合使用；⑦在限定条件下使用；

$ax+\cfrac{b}{x}$型，其中$x>0$，$a,b>0$，形成思维定势，

⑧当均值不等式失效时，利用对勾型函数$ax+\cfrac{b}{x}$型$x>0$，$(a,b>0)$的单调性求解；

案例分析

模型：已知$m>0，n>0$，$2m+n=3$，求$\cfrac{2}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。 ¹

思考：上述求解过程和给定$m>0，n>0$，求$\cfrac{2n}{m}+\cfrac{2m}{n}$的最小值，有什么不同？

引申拓展

简单层次

变式01已知已知$x>0，y>0$，$\cfrac{2}{y}+\cfrac{1}{x}=\cfrac{3}{xy}$，求$\cfrac{2}{x}+\cfrac{1}{y}$的最小值。

限定条件用数学背景给出

变式02已知直线$ax+by-6=0(a，b>0)$过圆$x^2+y^2-2x-4y=0$的圆心(或直线平分此圆)，求$\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}$的最小值。²

变式03已知正项等比数列$\{a_n\}$满足：$a_7=a_6+2a_5$，若存在两项$a_m，a_n$，使得$a_ma_n=16a_1^2$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。³

变式04【2017宝鸡市三检】设向量$\overrightarrow{OA}=(1，-2)$，$\overrightarrow{OB}=(a，-1)$，$\overrightarrow{OC}=(-b，0)$，其中$O$为坐标原点，$a，b>0$，若$A,B,C$三点共线，则$\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}$的最小值为多少？⁴

变式05已知$a>0，b>0$，且函数$f(x)=-x^3+2ax^2+bx+1$在$x=1$处有极值，求$\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}$的最小值。⁵

还有没有其他的形式给出呢？⁶

限定条件隐含在题目中

变式06求$f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}(0<x<2)$的最小值。⁷

思路完善

【模式1】：已知$m>0，n>0$，$2m+n=3$，求$\cfrac{2}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值。

分析：$\cfrac{2}{m}+\cfrac{1}{n}=\cfrac{1}{3}(\cfrac{2}{m}+\cfrac{1}{n})(2m+n)$$=\cfrac{1}{3}(5+\cfrac{2n}{m}+\cfrac{2m}{n})\geqslant \cfrac{1}{3}(5+2\sqrt{4})=3$

特征和思路：给定条件是整式，求分式的最值，常数代换,乘常数再除常数，部分使用均值不等式；

【模式2】：已知$\cfrac{2}{m}+\cfrac{1}{n}=2，m>0，n>0$，求 $2m+n$的最小值。

特征和思路：给定条件是分式，求整式的最值，常数代换,乘常数再除常数，部分使用均值不等式；

【模式3】：已知$\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}=1，a>0，b>0$，求$\cfrac{2}{a-1}+\cfrac{1}{b-2}$的最小值。⁸

特征和思路：给定条件是分式，求分式的最值，变量集中，再使用均值不等式；

【模式4】：已知$2a+b=1，a>0，b>0$，求 $a^2+2b^2$的最小值。

特征和思路：给定条件是整式，求整式的最值，变量集中，用函数求解最值； 法2：数形结合；

看完这些内容，你难道不觉得我们很需要好好的改造我们的学习方法吗，比如说留意限定条件的各种可能的给出方式；

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1. 分析：$\cfrac{2}{m}+\cfrac{1}{n}=\cfrac{1}{3}(\cfrac{2}{m}+\cfrac{1}{n})(2m+n)$$=\cfrac{1}{3}(5+\cfrac{2n}{m}+\cfrac{2m}{n})\geqslant \cfrac{1}{3}(5+2\sqrt{4})=3$
   当且仅当$\cfrac{2n}{m}=\cfrac{2m}{n}$且$2m+n=3$时，即$m=n=1$取得等号。
   即$\cfrac{2}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值为$3$。↩

2. 详解：圆心即$(1，2)$，直线经过圆心，则有$a+2b-6=0$，即$a+2b=6$。
   到此，题目为$a+2b=6，a>0，b>0$，求$\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}$的最小值。可仿模型解决。↩

3. 详解：由$a_7=a_6+2a_5$，得到$a_5\cdot q^2=a_5\cdot q+2a_5$，解得$q=2$或$q=-1$(舍去负值)，
   即数列的通项公式为$a_n=a_1\cdot 2^{n-1}$；
   这样由$a_m\cdot a_n=16a_1^2$，得到$(a_1)^2\cdot 2^{m-1}\cdot 2^{n-1}=16a_1^2$，即$2^{m-1}\cdot 2^{n-1}=16=2^4$
   即$m+n=6，m >0，n >0$，求$\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}$的最小值，这样不就好解多了吗？↩

4. 详解：由三点共线的向量表达方式可知，存在实数$\lambda$，使得$\overrightarrow{OA}=\lambda \overrightarrow{OB}+(1-\lambda)\overrightarrow{OC}$，
   即$(1，-2)=\lambda(a，-1)+(1-\lambda)(-b，0)$即$\begin{cases}\lambda a-(1-\lambda)b=1\\ -\lambda=-2 \end{cases}$，即$2a+b=1$，
   这样题目就转化为已知$2a+b=1，a>0，b>0$，求$\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}$的最小值，这不就是上述题目吗？↩

5. 详解：$f'(x)=-3x^2+4ax+b$，$f'(1)=-3+4a+b=0$，
   到此即相当于已知$4a+b=3$，$a>0$，$b>0$，求$\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}$的最小值。↩

6. 以线性规划的形式给出；以概率中的数学期望的形式给出；以正态分布的形式给出；↩

7. 详解：法1，导数法；
   法2：注意到隐含条件$x+(2-x)=2，x>0，2-x>0$，则容易看到题目其实为
   已知$x+(2-x)=2$，$x>0，2-x>0$，求$f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}(0<x<2)$的最小值。
   $f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}$
   $=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x})\times 2$
   $=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x})[x+(2-x)]$
   $=\cfrac{1}{2}(1+4+\cfrac{2-x}{x}+\cfrac{4x}{2-x})$
   $\ge \cfrac{1}{2}(5+2\sqrt{4})=\cfrac{9}{2}$，
   当且仅当$\cfrac{2-x}{x}=\cfrac{4x}{2-x}$且$0<x<2$时，
   即$x=\cfrac{2}{3}$时取得等号。
   故$f(x)$的最小值为$\cfrac{9}{2}$。↩

8. 已知$\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}=1，a>0，b>0$，得到$0<\cfrac{2}{b}<1$，得到$b>2$，
   由$\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}=1$，解得$a=\cfrac{b}{b-2}$，
   代入$\cfrac{2}{a-1}+\cfrac{1}{b-2}=\cfrac{2}{\frac{b}{b-2}-1}+\cfrac{1}{b-2}$$=b-2+\cfrac{1}{b-2}$$\geqslant 2$
   当且仅当$b-2=\cfrac{1}{b-2}$时，即$b=3$，$a=3$时取到等号；↩