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【详解】数据结构及算法详解_数据结构与算法分析

作者：繁依Fanyi0 | 2024-04-08 21:50:26

踩

数据结构与算法分析

1 算法的衡量标准

1.1 算法

解决问题的办法，是一种独立的存在的解决问题的方法和思想，它不依赖于代码。代码只不过是对算法的一种表达和实现。

1.2 数据结构

存储和组织数据的方式

1.3 时间复杂度

在规模量级上对算法的衡量，表示一个算法随着问题规模不断变化的最主要趋势

计算规则（6条）
- 基本操作：只有常数项，时间复杂度为O(1）
- 顺序结构：时间复杂度按加法进行计算
- 循环结构、递归结构：时间复杂度按乘法进行计算
- 分支结构：时间复杂度取最大值
- 判断一个算法的效率时，往往只需要关注操作数量的最高次项，忽略系数、低阶及常数项
- 在没有特殊说明的情况下，我们所分析的算法的时间复杂度都是指最坏时间复杂度（提供了一种保证，表明算法在此种程度的基本操作中一定能完成工作。）
- 函数嵌套，时间复杂度按乘法计算

O(1）执行次数恒定的计算

1.4 空间复杂度

一个算法在运行过程中临时消耗内存的大小的度量

1.5 算法的复杂度

算法的时间复杂度和空间复杂度的合称

1.6 算法五大特性

①输入: 算法具有0个或多个输入

②输出: 算法至少有1个或多个输出

③有穷性: 算法在有限的步骤之后会自动结束而不会无限循环，并且每一个步骤可以在可接受的时间内完成

④确定性：算法中的每一步都有确定的含义，不会出现二义性

⑤可行性：算法的每一步都是可行的，也就是说每一步都能够执行有限的次数完成

1.7 常见时间复杂度

执行次数函数举例	阶	非正式术语
12	O(1)	常数阶
2n+3	O(n)	线性阶
3n2+2n+1	O(n2)	平方阶
5log2n+20	O(logn)	对数阶
6n3+2n2+3n+4	O(n3)	立方阶

时间复杂度曲线
- 所消耗的时间从小到大:
  - O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n2) < O(n3)
  - 时间复杂度越低，效率越高

2 数据结构

2.1 数据结构

数据对象中数据元素之间的关系-

内置数据结构：list、元组、字典等
扩展数据结构：栈、队列等

2.1.1 程序 = 数据结构（问题载体） + 算法

高效的程序需要在数据结构基础上设计和选择算法

2.1.2 元素外置：地址和数据分开存储

地址存储占用的内存空间
- 32位操作系统：4位
- 64位操作系统：8位

2.1.3 数据结构

1 线性结构

1.1 顺序表

一体式顺序表
分离式顺序表

1.2 链表

单链表
- 元素域：存放具体数据
- 链接域：存放下一个节点的位置

1.3 栈

1.3.1 特点：

① 一种运算受限的线性表，仅允许在表的一端进行插入和删除运算,这一端被称为栈顶，相对地，把另一端称为栈底.

② 处理数据的时候符合先进后出（FILO）特点
1.3.2 作用：函数里面有可能要使用到局部变量, 不能总是用全局变量. 而局部变量在函数使用完毕之后就销毁了, 那么将局部变量存储在栈中既能不浪费空间又能及时销毁.

1.3.3 代码实现

1 链表实现栈

class Node:
    def __init__(self, data, next=None):
        self.data = data
        self.next = next

class LinkedStack:
    def __init__(self):
        # 最上面的元素
        self.top = None

    def push(self, value: int):
        newtop = Node(value)
        newtop.next = self.top
        self.top = newtop

    def pop(self):
        if self.top:
            value = self.top.data
            self.top = self.top.next
            return value


if __name__ == "__main__":
    stack = LinkedStack()
    for i in range(9):
        stack.push(i)

    for i in range(9):
        ele = stack.pop()
        print(ele)
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1.4 队列

特点：

① 一种操作受限的线性表，只允许在表的头部（front）(队头)进行删除操作，而在表的尾部（rear）（队尾）进行插入操作。

② 处理数据的时候符合先进先出（FIFO）特点
作用：

在任务处理类的系统中，先把用户发起的任务请求接收过来存到队列中，然后后端开启多个应用程序从队列中取任务进行处理，队列可以起到了缓冲压力的作用

代码实现

列表队列优化

# 尾部入  头部出

class ArrayQueue:
    def __init__(self, capacity):# capacity 容量
        # 申请固定长度空间
        self.__items = [0]*capacity
        self.__capacity = capacity
        # 头部指针
        self.__head = 0
        # 尾部指针(下一个元素添加到这个位置)
        self.__tail = 0

    def getItmes(self):
        return self.__items

    def enqueue(self, item):
        # 如果存满了,返回False
        if self.__head==0 and self.__tail==self.__capacity:
            return False
        # 没有存满,指针到最后了  需要先把元素往前挪
        if self.__tail==self.__capacity:
            # 指针到最后了,容量没有满
            for i in range(0, self.__tail - self.__head):
                self.__items[i] = self.__items[i + self.__head]
            # 修改尾部指针
            self.__tail = self.__tail - self.__head
            # 修改头部指针
            self.__head = 0
        # 元素添加
        self.__items[self.__tail] = item
        self.__tail += 1
        return True

    def dequeue(self):
        # 非空
        if self.__head != self.__tail:
            item = self.__items[self.__head]
            # 把头部往后移动1位
            self.__head += 1
            return item
        else:
            return None

arrayQ = ArrayQueue(6)
arrayQ.enqueue(10)
arrayQ.enqueue(20)
print(arrayQ.getItmes())
print(arrayQ.dequeue())
print(arrayQ.getItmes())
arrayQ.enqueue(30)
arrayQ.enqueue(40)
arrayQ.enqueue(50)
arrayQ.enqueue(60)
arrayQ.enqueue(70)
print(arrayQ.getItmes())
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链表实现队列

# 节点
class Node:
    def __init__(self, data, next=None):
        # 数据
        self.data = data
        # 链接域
        self.next = next

class LinkedQueue:
    def __init__(self):
        self.__head = None
        self.__tail = None

    def enqueue(self, value):
        '''入队列'''
        new_node = Node(value)
        if self.__tail:
            # 非空
            self.__tail.next = new_node
        else:
            # 空链表
            self.__head = new_node
        # 尾部指向新的节点
        self.__tail = new_node

    def dequeue(self):
        if self.__head:
            # 头部不为空
            # 获取头部元素
            value = self.__head.data
            # 头部指向原来的下一个节点
            self.__head = self.__head.next
            if not self.__head:
                # 如果头部指向None 链表为空
                self.__tail = None
            return value


if __name__ == "__main__":
    linkQ = LinkedQueue()
    linkQ.enqueue(10)
    linkQ.enqueue(20)
    linkQ.enqueue(30)

    print(linkQ.dequeue())
    print(linkQ.dequeue())
    print(linkQ.dequeue())
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双端队列

特点：

一种具有队列和栈的性质的数据结构
双端队列中的元素可以从两端弹出，其限定插入和删除操作在表的两端进行
双端队列可以在队列任意一端入队和出队

2 非线性结构

3 排序算法

3.1 排序

使一串记录，按照其中的某个或某些关键字的大小，递增或递减的排列起来的操作。

3.2 算法稳定性

假定在待排序的记录序列中，存在多个具有相同的关键字的记录，若经过排序，这些记录的相对次序保持不变,则称这种排序算法是稳定的, 否则称为不稳定的。

3.3 排序算法

不稳定算法: 选择排序、快速排序、希尔排序、堆排序
稳定算法: 冒泡排序、插入排序、归并排序和基数排序

3.3.1 代码实现

1 冒泡排序

特点：

重复地走访过要排序的元素列，依次比较两个相邻的元素，如果顺序（如从大到小、首字母从从Z到A）错误就把他们交换过来。走访元素的工作是重复地进行直到没有相邻元素需要交换，也就是说该元素列已经排序完成

名字由来：因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端（升序或降序排列），就如同碳酸饮料中二氧化碳的气泡最终会上浮到顶端一样，故名“冒泡排序”
复杂度分析：
- 最差时间复杂度 : O(n^2)
- 最优时间复杂度 : O(n) # 遍历一遍发现没有任何元素发生了位置交换,终止排序
- 算法稳定性 : 稳定算法
- 原地排序：是

# n-1+n-2+...+1
def bubble_sort(alist):
    '''冒泡排序'''
    length = len(alist)
    count= 0
    for i in range(length-1):
        flag = False
        for j in range(length-1-i):
            count+=1
            if alist[j] > alist[j+1]:
                alist[j], alist[j+1] = alist[j+1], alist[j]
                flag = True

        if not flag:
            break

    print(count)
# 4+3+2+1
if __name__ == '__main__':
    # l = [5,3,4,7,2]
    l = [2,3,4,5,7]
    bubble_sort(l)
    print(l)
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2 选择排序

特点：

第一次从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，存放在序列的起始位置，然后再从剩余的未排序元素中寻找到最小（大）元素，然后放到已排序的序列的末尾. 以此类推，直到全部待排序的数据元素的个数为零.
复杂度分析：
- 最差时间复杂度 : O(n^2)
- 最优时间复杂度 : O(n^2)
- 算法稳定性 : 不稳定算法
- 原地排序：是

def select_sort(alist):
    # 5
    length = len(alist)
    for i in range(length-1):
        # 设置目标
        # targetIndex = i
        # 设置最小值索引
        minIndex = i
        for j in range(i+1,length):
            if alist[j] < alist[minIndex]:
                minIndex = j
        # 如果目标和最小值索引不同 交换
        if minIndex!=i:
            alist[i], alist[minIndex] = alist[minIndex], alist[i]

if __name__ == '__main__':
    alist = [1,3,4,10,0,1000,88]
    select_sort(alist)
    print(alist)
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3 插入排序

特点：

将一个数据插入到已经排好序的有序数据中，从而得到一个新的、个数加一的有序数据，算法适用于少量数据的排序。（每步将一个待排序的记录，按排序要求插入到前面已经排序的数据中适当位置上，直到全部插入完为止）
复杂度分析：
- 最差时间复杂度:O(n^2)
- 最优时间复杂度:O(n)
- 算法稳定性: 稳定的排序方法
- 原地排序：是

def insert_sort(alist):
    length = len(alist)
    for i in range(1,length):
        # i每一次需要排序的结束索引
        # 0 - 1
        for j in range(i,0,-1):
            if alist[j] < alist[j-1]:
                alist[j], alist[j-1] = alist[j-1], alist[j]
            else:
                break

if __name__ == '__main__':
    alist = [1, 100, 99, 20, 5, 1000]
    insert_sort(alist)
    print(alist)
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4 快速排序

特点：

通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。
排序流程：

(1) 首先设定一个分界值，通过该分界值将数组分成左右两部分

(2) 将大于或等于分界值的数据集中到数组右边，小于分界值的数据集中到数组的左边，此时，左边部分中各元素都小于或等于分界值，而右边部分中各元素都大于或等于分界值

(3) 然后，左边和右边的数据可以独立排序。对于左侧的数组数据，又可以取一个分界值，将该部分数据分成左右两部分，同样在左边放置较小值，右边放置较大值。右侧的数组数据也做类似处理

(4) 重复上述过程，可以看出，这是一个递归定义。通过递归将左侧部分排好序后，再递归排好右侧部分的顺序，当左、右两个部分各数据排序完成后，整个数组的排序也就完成了
复杂度分析：
- 最优时间复杂度: O(nlogn)
- 最差时间复杂度: O(n^2)
- 算法稳定性: 不稳定
- 原地排序：是

def quick_sort(alist,start,end):
    if start>=end:
        return
    # 界限值
    mid = alist[start]
    # 左右游标
    left = start
    right = end
    while left < right:
        # 从右边开始找寻小于mid的值 归类到左边
        while alist[right] >= mid and left < right:
            right -= 1
        alist[left] = alist[right]
        # 从左边开始找寻大于mid的值 归类到右边
        while alist[left] < mid and left < right:
            left += 1
        alist[right] = alist[left]
    # left=right
    alist[left] = mid
    # 排序左边
    quick_sort(alist,start,left-1)
    # 排序右边
    quick_sort(alist,left+1,end)


if __name__ == '__main__':
    alist = [5,9,8,7,6,4,3,2,1]
    quick_sort(alist,0,len(alist)-1)
    print(alist)
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4 二分查找

4.1 二分查找

特点

分查找又称折半查找，它是一种效率较高的查找方法，①必须采用顺序存储结构 ②必须按关键字大小有序排列。
基本思想

数组分为三部分，依次是中值前，中值，中值后，将要查找的值与中值进行比较，若小于中值则在中值前面找，若大于中值则在中值后面找，等于中值时直接返回。
复杂度分析
- 最差时间复杂度: O(logn)
- 最优时间复杂度: O(1)

4.2 代码实现

4.2.1 递归版本

def binary_search(alist, item):
    # 数列的长度
    n = len(alist)
    if n==0:
        return False
    # 递归的结束条件
    # 中间值索引
    mid = n // 2
    if item == alist[mid]:
        return True
    elif item < alist[mid]:
        # 左边
        return binary_search(alist[:mid],item)
    elif item > alist[mid]:
        # 右边
        return binary_search(alist[mid+1:],item)

if __name__ == '__main__':
    alist = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]
    print(binary_search(alist, 5))
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4.2.2 递归优化版本

def binary_search_achieve(alist, item, start, end):
    """二分查找"""
    if start > end:
        return -1
    # 中间值索引
    mid = (start + end) // 2

    if item == alist[mid]:
        return mid
    elif item < alist[mid]:
        return binary_search_achieve(alist, item, start, mid - 1)
    elif item > alist[mid]:
        return binary_search_achieve(alist, item, mid + 1, end)


def binary_search(alist, item):
    return binary_search_achieve(alist, item, 0, len(alist) - 1)


# 40亿 32  2^32
if __name__ == '__main__':
    alist = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
    print(binary_search(alist, 8))
    print(binary_search(alist, 100))
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4.2.3 非递归版本

def binary_search(alist, item):
    """二分查找"""

    # 设置起始位置 获取中间值
    start = 0
    end = len(alist) - 1
    # 必须要=  需要比较最后的一个元素是否是需要的数据
    while start <= end:
        # 获取中间值
        # mid = (start+end)//2
        # end//2+start//2
        mid = start+(end-start)//2
        # start+(end-start)//2
        if item == alist[mid]:
            return mid
        elif item < alist[mid]:
            end = mid - 1
        elif item > alist[mid]:
            start = mid + 1

    # 没有找到想要找的数字
    return -1

# 最好 O(1) 最坏 O(logn)
if __name__ == '__main__':
    alist = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]
    print(binary_search(alist, 1))
    print(binary_search(alist, 5))
    print(binary_search(alist, 100))
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4.2.4 二分查找-位置

def binary_search_first(alist, item):
    """二分查找 如果找到返回索引  没有找到返回-1"""

    # 设置起始位置 获取中间值
    start = 0
    end = len(alist) - 1
    # 必须要=  需要比较最后的一个元素是否是需要的数据
    while start <= end:
        # 获取中间值
        mid = (start + end)//2

        if item == alist[mid]:
            # 索引为0 不需要继续查找
            if mid==0 or alist[mid-1]!=item:
                return mid
            else:
                end = mid - 1
        elif item < alist[mid]:
            end = mid - 1
        elif item > alist[mid]:
            start = mid + 1

    # 没有找到想要找的数字
    return -1
# 最好 O(1) 最坏 O(logn)
if __name__ == '__main__':
    alist = [1,2,3,4,5,5,5,6,7,8,9]
    # print(binary_search(alist, 1))
    # print(binary_search(alist, 1))
    # 获取最后一个5
    # print(binary_search_last(alist, 5))
    print(binary_search_first(alist, 5))
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31
32

4.2.5 第一个位置

def binary_search(alist, item):
      """二分查找 如果找到返回索引  没有找到返回-1"""
  
      # 设置起始位置 获取中间值
      start = 0
      end = len(alist) - 1
      # 必须要=  需要比较最后的一个元素是否是需要的数据
      while start <= end:
          # 获取中间值
          mid = (start + end)//2
  
          if item == alist[mid]:
              # 判断是否是第一个3
              if mid==0 or alist[mid-1]!=item:
                  return mid
              else:
                  end = mid - 1
          elif item < alist[mid]:
              end = mid - 1
          elif item > alist[mid]:
              start = mid + 1
  
      # 没有找到想要找的数字
      return -1
  # 最好 O(1) 最坏 O(logn)
  if __name__ == '__main__':
      alist = [1,2,3,3,3,4,5]
      print(binary_search(alist, 3))
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
13
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28

4.2.6 最后一个位置

def binary_search(alist, item):
    """二分查找 如果找到返回索引  没有找到返回-1"""

    # 设置起始位置 获取中间值
    start = 0
    maxIndex = len(alist) - 1
    end = maxIndex
    # 必须要=  需要比较最后的一个元素是否是需要的数据
    while start <= end:
        # 获取中间值
        mid = (start + end)//2

        if item == alist[mid]:
            if mid == maxIndex or alist[mid+1]!=item:
                return mid
            else:
                start = mid + 1
        elif item < alist[mid]:
            end = mid - 1
        elif item > alist[mid]:
            start = mid + 1

    # 没有找到想要找的数字
    return -1
# 最好 O(1) 最坏 O(logn)
if __name__ == '__main__':
    alist = [1,2,3,3,3,4,5]
    print(binary_search(alist, 3))
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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5 非线性数据结构-树

5.1 特点

一种非线性结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合. 它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。

①每个节点有零个或多个子节点

②没有父节点的节点称为根节点

③每一个非根节点有且只有一个父节点

④除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树

名字由来：因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的.

拓展：线性结构和非线性结构
- 线性结构：数据元素之间存在着“一对一”的线性关系的数据结构
  - 特点
    
    ①集合中必存在唯一的一个"第一个元素”
    
    ②集合中必存在唯一的一个"最后的元素"
    
    ③除最后元素之外，其它数据元素均有唯一的"后继"
    
    ④除第一元素之外，其它数据元素均有唯一的"前驱”
- 非线性结构：一个结点元素可能对应多个直接前驱和多个后继的数据结构

5.2 树的术语

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度
叶节点或终端节点：度为零的节点
父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中节点的最大层次
堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林

5.3 树的分类

5.3.1 无序树

树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树

5.3.2 有序树

树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树
- 霍夫曼树（用于信息编码）：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树
- B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多于两个的子树

1 二叉树

特点：每个节点最多含有两个子树的树，通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）
分类
- 完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d(d>1)。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列的二叉树。
- 满二叉树：所有叶节点都在最底层的完全二叉树
- 平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树
- 排序二叉树（二叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称二叉搜索树、有序二叉树）
基本要求

（1）若左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值

（2）若右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值

（3）左、右子树也分别为二叉排序树

排序二叉树包含空树
存储方式
- 顺序存储：将数据结构存储在固定的数组中，虽然在遍历速度上有一定的优势，但因所占空间比较大，是非主流二叉树存储方式。
- 链式存储：由于对节点的个数无法掌握，常见树的存储表示都转换成二叉树进行处理，子节点个数最多为2
应用场景

①xml，html等，那么编写这些东西的解析器的时候，不可避免用到树
②路由协议就是使用了树的算法
③mysql数据库索引
④文件系统的目录结构
⑤所以很多经典的AI算法其实都是树搜索，此外机器学习中的decision tree也是树结构
性质：

性质1: 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>0）
性质2: 深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点（k>0）
性质3: 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1
性质4: 最多有n个结点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)
性质5: 对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i＋1 , 其父节点的编号必为i//2（i＝1 时为根,除外）