数学规划模型

目录

数学规划概述

一般数学形式

分类

线性规划

完整数学模型

MATLAB求解

非线性规划

完整数学模型 

MATLAB求解

整数规划

最大最小化

完整数学模型

MATLAB求解

多目标规划

完整数学模型

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数学规划概述

数学规划是运筹学的一个分支，其研究目的在给定的条件下（称为约束条件），按照某一衡量指标（称为目标函数）来寻求计划、管理工作中的最优方案（称为最优解）。

规划问题又被认为是求解目标函数在一定约束条件下的极值问题。

一般数学形式

目标函数

约束条件，下标i表示第i各约束条件

x称为决策变量

分类

按照目标函数，约束条件以及决策变量，规划问题可以分为

• 线性规划，目标函数和约束条件都是决策变量的线性表达式
• 非线性规划，目标函数和约束条件含有决策变量的非线性表达式
• 整数规划，约束条件中限制某些或全部决策变量为整数，有线性整数规划模型和非线性证书规划模型之分
• 0-1规划，约束条件中限制某些或全部决策变量为0或1，可看作特殊的整数规划模型
• 多目标规划问题，目标函数不止一个，通常没有绝对的最优解，只有满意解

线性规划

线性规划是指数学规划模型中的目标函数，约束条件全部为严格的线性表达式，并且对决策变量是否为整数没有限制

完整数学模型

• 目标函数，其中为同一维度的列向量。
• 约束条件，第一个式子称为不等式约束，第二个不等式称为等式约束，第三个不等式称为上下界约束

如果是求取目标函数的最大值，可以对目标函数取负，求其最小值的最优解，也即是原来的目标函数的最优解

MATLAB求解

[x,fval]=linprog(C,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0);
% x0表示迭代求解的初始值，但可以不给
% 
% 若不存在不等式约束，则令A=[],b=[]
% 
% 若不存在等式约束，则灵Aeq=[],beq=[]
% 
% 若第i个决策变量没有上界或下界，则灵lb(i)=-inf或ub(i)=+inf
% 
% 返回值x表示目标函数取最小值时x的取值
% 
% fval表示目标函数取得的最小值

非线性规划

完整数学模型 

• 目标函数
• 约束条件

MATLAB求解

[x,fval]=fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@nonlfun,option)
%非线性规划的算法求解出来的是一个局部最优解，故非线性规划中对于初始值x0的选取非常重要
%如果需要求解全局最优解，有两种思路：
%①给定不同的初始值，在里面找到一个最优解‘
%②先用蒙特卡洛模拟，得到一个蒙特卡洛解，然后用这个解作为迭代初值x0
%option选项可以给定求解的算法，有四种可选择，'interior-point(内点法)','sqp(序列二次规划%法)','active-set(有效集法)','trust-region-reflective(信赖域反射算法)'
%@fun表示目标函数，要编写一个独立的m文件，存储目标函数

整数规划

MATLAB求解

[x,fval]=intlinprog(C,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub);
%intcon参数表示决策变量中哪些限制为整数
%其余参数与线性规划求解器linprog的参数相同

最大最小化

完整数学模型

目标函数$min\{max\[f_1(x),f_2(x),...,f_m(x) \]\}$

约束条件

MATLAB求解

[x,fval]=fminimax(@Fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@nonlfun,option)
% 大写@Fun表示该参数与fmincon的@fun有所不同
% @Fun参数表示目标函数用一个函数向量表示
% 即
% f=zeros(m,1)
% f(1)=...
% f(2)=...
% 返回值x为决策变量的取值
% 返回值fval为目标函数向量的极小最优解

多目标规划

完整数学模型

目标函数

约束条件

对目标函数进行加权后转化为一个目标函数，即可用常规的规划求解

根据目标函数之间的权重系数，对权重系数进行敏感性分析，即更改权重，观察规划结果。