【机器学习】DBSCAN基于密度聚类的算法_dbscan聚类算法

在我们学习机器学习的过程中，一定了解K-Means聚类算法，K-Means虽然简单但是其本身具有一定的局限性：
（1）当聚类的大小、密度、形状不同时，K-means 聚类的结果不理想
（2）数据集包含离群点时，K-means 聚类结果不理想
（3）两个类距离较近时，聚类结果不合理
通过下面几幅图可以清晰的看到K-Means的局限性。

针对上面的问题，提出了DBSACN模型。DBSCAN(Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise)是一个比较有代表性的基于密度的聚类算法。与划分和层次聚类方法不同，它将 簇定义为密度相连的点的最大集合，能够把具有足够高密度的区域划分为簇，并可在噪声的空间数据库中发现任意形状的聚类。 因此，DBSCAN算法也能用于异常点检测。

一、基本概念

DBSCAN是一种基于密度的聚类算法，可以根据样本分布的紧密程度决定，同一类别的样本之间是紧密相连的，不同类别样本联系是比较少的。

DBSCAN聚类完成后会产生三种类型的点：

• 核心点：若样本 xi 的 $\epsilon$ 邻域内至少包含了MinPts个点，则为核心点
• 边界点：若样本 xi 的 $\epsilon$ 邻域内包含的点数小于MinPts，但在其他核心点的ε邻域内，则为边界点
• 噪声点：既非核心点也非边界点则为噪声

假设MinPts=4，如下图的核心点、非核心点与噪声的分布：

二、算法原理

2.1 基本定义

DBSCAN算法划分数据集D为核心点、边界点和噪声点，并按照一定的连接规则组成簇类。介绍连接规则前，先定义下面这几个概念：

• 密度直达（directly density-reachable）：若q处于p的 $\epsilon$ 邻域内，且p为核心点，则称q由p密度直达；
• 密度可达（density-reachable）：若q处于p的 $\epsilon$ 邻域内，且p，q均为核心点，则称q的邻域点由p密度可达；
• 密度相连（density-connected）：若p，q均为非核心点，且p，q处于同一个簇类中，则称q与p密度相连。

下图给出了上述概念的直观显示（MinPts）：

其中核心点E由核心点A密度直达，边界点B由核心点A密度可达，边界点B与边界点C密度相连，N为孤单的噪声点。

2.2 算法原理

DBSCAN是基于密度的聚类算法，原理为：只要任意两个样本点是密度直达或密度可达的关系，那么该两个样本点归为同一簇类。

上图的样本点ABCE为同一簇类。因此，DBSCAN算法从数据集D中随机选择一个核心点作为“种子”，由该种子出发确定相应的聚类簇，当遍历完所有核心点时，算法结束。

DBSCAN算法可以抽象为以下几步：

1. 找到每个样本的 $\epsilon$ 邻域内的样本个数，若个数大于等于MinPts，则该样本为核心点；
2. 找到每个核心样本密度直达和密度可达的样本，且该样本亦为核心样本，忽略所有的非核心样本；
3. 若非核心样本在核心样本的 $\epsilon$ 邻域内，则非核心样本为边界样本，反之为噪声。

算法步骤如下：

输入: 包含n个对象的数据库，半径e，最少数目MinPts;
输出:所有生成的簇，达到密度要求。
(1)Repeat
(2)从数据库中抽出一个未处理的点；
(3)IF抽出的点是核心点 THEN 找出所有从该点密度可达的对象，形成一个簇；
(4)ELSE 抽出的点是边缘点(非核心对象)，跳出本次循环，寻找下一个点；
(5)UNTIL 所有的点都被处理。
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2
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4
5
6
7

DBSCAN对用户定义的参数很敏感，细微的不同都可能导致差别很大的结果，而参数的选择无规律可循，只能靠经验确定。

三、算法参数估计

由上一节可知，DBSCAN主要包含两个参数：

• $\epsilon$ ：两个样本的最小距离，它的含义为：如果两个样本的距离小于或等于值 $\epsilon$ ，那么这两个样本互为邻域。
• MinPts：形成簇类所需的最小样本个数，比如MinPts等于5，形成簇类的前提是至少有一个样本的 $\epsilon$ 邻域大于等于5。

【参数估计】 ：

• MinPts参数
  如下图，如果 $\epsilon$ 值取的太小，部分样本误认为是噪声点（白色）； $\epsilon$ 值取的太大，大部分的样本会合并为同一簇类。

同样的，若MinPts值过小，则所有样本都可能为核心样本；MinPts值过大时，部分样本误认为是噪声点（白色），如下图：

根据经验，minPts的最小值可以从数据集的维数D得到，即 $minPts>=D+1$。若minPts=1，含义为所有的数据集样本都为核心样本，即每个样本都是一个簇类；若minPts≤2，结果和单连接的层次聚类相同；因此 minPts必须大于等于3，因此一般认为 $minPts=2\ast dim$，若数据集越大，则minPts的值选择的亦越大。

• $\epsilon$ 参数
  $\epsilon$ 值常常用k-距离曲线（k-distance graph）得到，计算每个样本与所有样本的距离，选择第k个最近邻的距离并从大到小排序，得到k-距离曲线，曲线拐点对应的距离设置为 $\epsilon$ ，如下图：

由图可知或者根据k-距离曲线的定义可知：样本点第k个近邻距离值小于 $\epsilon$ 归为簇类，大于 $\epsilon$ 的样本点归为噪声点。根据经验，一般选择 $\epsilon$ 值等于第（minPts-1）的距离，计算样本间的距离前需要对数据进行归一化，使所有特征值处于同一尺度范围，有利于 $\epsilon$ 参数的设置。

如果(k+1)-距离曲线和k-距离曲线没有明显差异，那么minPts设置为k值。例如k=4和k>4的距离曲线没有明显差异，而且k>4的算法计算量大于k=4的计算量，因此设置MinPts=4。

四、算法实战

k-means聚类算法假设簇类所有方向是同等重要的，若遇到一些奇怪的形状（如对角线）时，k-means的聚类效果很差，本节采用DBSCAN算法以及简单的介绍下如何去选择参数 $\epsilon$ 和MinPts。

随机生成五个簇类的二维数据：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_blobs
from sklearn.cluster import DBSCAN
from sklearn.preprocessing import StandardScaler


# 生成随机簇类数据
X, y =make_blobs(random_state=170,n_samples=600,centers=5)
rng = np.random.RandomState(74)
# 数据拉伸
transformation = rng.normal(size=(2,2))
X = np.dot(X,transformation)
# 绘制延伸图
plt.scatter(X[:,0],X[:,1])
plt.xlabel("Feature 0")
plt.ylabel("Feature 1")
plt.show()
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散点图为：

k-means聚类结果：

按照经验MinPts=2*ndims，因此我们设置MinPts=4。

为了方便参数 $\epsilon$ 的选择，我们首先对数据的特征进行归一化：

#特征归一化
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)
1
2
3

假设 $\epsilon$ =0.5：

# dbscan聚类算法
t0=time.time()
dbscan = DBSCAN(eps=0.12,min_samples = 4)
clusters = dbscan.fit_predict(X_scaled)
# 绘制dbscan聚类结果
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],c=clusters,cmap="plasma")
plt.xlabel("Feature 0")
plt.ylabel("Feature 1")
plt.title("eps=0.5,minPts=4")
plt.show()
t1=time.time()
print(t1-t0)
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12

查看聚类结果：

由上图可知，所有的样本都归为一类，因此 $\epsilon$ 设置的过大，需要减小 $\epsilon$ 。

设置 $\epsilon$ =0.2的结果：

由上图可知，大部分样本还是归为一类，因此 $\epsilon$ 设置的过大，仍需要减小 $\epsilon$ 。

设置 $\epsilon$ =0.12的结果：

结果令人满意，看看聚类性能度量指数：

# 性能评价指标ARI
from sklearn.metrics.cluster import adjusted_rand_score
# ARI指数
print("ARI=",round(adjusted_rand_score(y,clusters),2))

#>
	ARI= 0.99
1
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3
4
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7

由上节可知，为了较少算法的计算量，我们尝试减小MinPts的值。
设置MinPts=2的结果：

其ARI指数为：0.99

算法的运行时间较minPts=4时要短，因此我们最终选择的参数： $\epsilon$ =0.12，minPts=4。

这是一个根据经验的参数优化算法，实际项目中，我们首先根据先验经验去设置参数的值，确定参数的大致范围，然后根据性能度量去选择最优参数。

五、算法优缺点

【优点】：

1）DBSCAN不需要指定簇类的数量；

2）DBSCAN可以处理任意形状的簇类；

3）DBSCAN可以检测数据集的噪声，且对数据集中的异常点不敏感；

4）DBSCAN结果对数据集样本的随机抽样顺序不敏感（细心的读者会发现样本的顺序不一样，结果也可能不一样，如非核心点处于两个聚类的边界，若核心点抽样顺序不同，非核心点归于不同的簇类）；

【缺点】：

1）DBSCAN最常用的距离度量为欧式距离，对于高维数据集，会带来维度灾难，导致选择合适的参数值很难；

2）若不同簇类的样本集密度相差很大，则DBSCAN的聚类效果很差，因为这类数据集导致选择合适的minPts和 $\epsilon$ 值非常难，很难适用于所有簇类。

参考资料

• DBSCAN聚类算法原理总结
• 机器学习（十五）-DBSCAN算法及Python实例