人工智能在教育上的应用3-脑洞大开高中数学与人工智能的出题方向，未来的趋势方向

大家好，我是微学AI，今天脑洞大开，想到高中数学与人工智能的出题方向，未来的趋势方向。在当前人工智能迅速发展的背景下，将高中数学知识与人工智能技术相结合，不仅可以加深学生对数学概念的理解，还能激发他们对人工智能的兴趣。本文通过自己的奇思妙想，结合人工智能技术的高中数学题目。

人工智能背景下的高中数学题目

【题目1】在卷积神经网络中，池化层（如最大池化层）通常用于减少特征图的空间维度，从而降低模型的计算复杂度和过拟合的风险。池化层通过在输入特征图上滑动一个池化窗口，并对该窗口内的值应用某种聚合函数（例如取最大值或平均值）来生成输出特征图。
池化操满足公式：
$$\text{输出尺寸}=\frac{\text{输入尺寸}-\text{池化窗口大小}}{\text{步长}}+1$$
有一个特征图尺寸为$16\ast 16$。假设使用了一个最大池化层，其池化窗口大小为$2\ast 2$，步长也为$2$。通过两次池化后，特征图的新尺寸是多少？

$A.16\ast 16$
$B.8\ast 8$
$C.4\ast 4$
$C.2\ast 2$

【题目2】激活函数在人工神经网络中起着至关重要的作用，它们为模型引入了非线性特性，使得神经网络能够学习和模拟复杂的函数。在神经网络的发展初期，感知机模型仅包含线性函数，这限制了它们的能力，只能处理线性可分的问题。常见的激活函数，如Sigmoid、ReLU、Tanh等，用于引入非线性因素，使得神经网络能够学习和模拟复杂函数。Sigmoid函数为：$\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$
问：给定函数 $f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$，求函数的导数 $f^{\prime }(x)$。

$A.f^{\prime }(x)=(1-f(x){)}^{-2}$
$B.f^{\prime }(x)=f(x)(1-f(x))$
$C.f^{\prime }(x)=f(x)(1+f(x))$
$D.f^{\prime }(x)=(1+f(x))(1-f(x))$

【题目3】在计算机视觉中YOLO系列模型通常用于目标检测任务，YOLO模型通常会以某种规则在图片上生成一系列锚框，将这些锚框当成可能的候选区域。
那么如何衡量锚框跟真实框之间的关系呢？在检测任务中，使用交并比（Intersection of Union，IoU）作为衡量指标。
具体计算公式如下：$$IoU=\frac{A_1\cap A_2}{A_1\cup A_2}$$,
其中$A_1$和$A_2$分别为锚框和真实框。设集合$A_1$和$A_2$是平面上两个圆的内部区域，其中$A_1$的半径为$r_1$，$A_2$的半径为$r_2$，且$A_1$和$A_2$的中心之间的距离为$d$。其中，$r_2>r_1$，$A_1\cap A_2$表示两个圆的重叠区域面积，$A_1\cup A_2$表示两个圆的并集区域面积，当$d=r_2-r_1$时，求$IoU$的值。

$A.\frac{r_1}{r_2}$
$B.\frac{2\pi r_1^2}{r_2^2}$
$C.\frac{r_2^2}{r_1^2}$
$D.\frac{r_1^2}{r_2^2}$

【题目4】随着AI大模型的飞速发展，大模型的基础架构其实是从Transformer模型也逐渐发展起来的。Transformer 模型是由编码器和解码器两个部分组成，其中编码器负责将输入序列转换为表示，解码器负责将编码后的表示转换为输出序列。
当文本输入Transformer 模型之前，位置编码是重要的步骤，位置编码公式通常使用正弦和余弦函数来赋予模型输入序列中单词的位置信息。具体公式如下：
$$P(E_{pos},2i)=\sin \left(\frac{E_{pos}}{10000^{2i/d_{model}}}\right)$$
$$P(E_{pos},2i+1)=\cos \left(\frac{E_{pos}}{10000^{2i/d_{model}}}\right)$$
其中： $P$是位置编码的值。 $E_{pos}$是位置编码的维度，$d_{model}$是输入的维度。
题目:假设输入序列的维度$d_{model}$为4,输入序列长度为5。则输入序列中第3个单词的位置编码值为多少?

答案

【题目1】
解答：要计算经过两次最大池化操作后的特征图尺寸，我们可以按照给定的池化操作公式逐步计算。我们可以计算第一次池化后的尺寸：
$$\text{输出尺寸}=\frac{16-2}{2}+1=\frac{14}{2}+1=7+1=8$$

我们再次应用公式来计算第二次池化后的尺寸：
$$\text{输出尺寸}=\frac{8-2}{2}+1=\frac{6}{2}+1=3+1=4$$

因此，第二次池化之后的特征图尺寸为 $4\times 4$。选$C$

【题目2】Sigmoid 函数的导数及其单调性
解答：Sigmoid 函数定义为:
$$f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$$
我们可以通过链式法则求其导数:
$$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x}{)}^2}=\frac{1}{1+e^{-x}}(1-\frac{1}{1+e^{-x}})$$
为了简化表达式，我们可以进一步化简:
$$f^{\prime }(x)=f(x)(1-f(x))$$
这表明导数始终为正，因此函数在整个定义域内单调递增。选$B$

【题目3】IoU 值的计算
解答：当两圆的中心距离 $d=r_2-r_1$ 时，两圆内切$A_1$在$A_2$内部。此时，重叠区域面积 $A_1\cap A_2=A_1$，并集区域面积 $A_1\cup A_2=A2$
$$A_{\text{union}}=S_{A_2}=\pi r_2^2$$
因此 IoU 的值为:
$$IoU=\frac{A_1\cap A_2}{A_1\cup A_2}=\frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2}=\frac{r_1^2}{r_2^2}$$
故选$D$

【题目4】
解答：给定 $d_{model}=4$ 和序列长度为 5，则对于第三个单词（即位置 pos=3），位置编码的计算方式如下：
$$P(3,2i)=\sin \left(\frac{3}{10000^{2i/4}}\right),P(3,2i+1)=\cos \left(\frac{3}{10000^{2i/4}}\right)$$
由于 $d_{model}=4$，我们有 2 个位置编码维度（$i=0$ 和 $i=1$）:
$$P(3,0)=\sin \left(\frac{3}{10000^0}\right)=\sin \left(\frac{3}{1}\right)=\sin (3)$$
$$P(3,1)=\cos \left(\frac{3}{10000^0}\right)=\cos \left(\frac{3}{1}\right)=\cos (3)$$
$$P(3,2)=\sin \left(\frac{3}{10000^{2/4}}\right)=\sin \left(\frac{3}{100}\right)$$
$$P(3,3)=\cos \left(\frac{3}{10000^{2/4}}\right)=\cos \left(\frac{3}{100}\right)$$