用动态规划算法编程实现0-1背包问题_0-1背包问题中,设有4个物品

一、问题描述

用动态规划算法编程实现0-1背包问题
现有4件物品需要放入背包中；物品的重量分别为2，3，4，7；物品的价格分别对应为1，3，5，9；背包所能承受的最大重量为10。需要通过算法实现将物品放入背包中且实现背包中的价值和最大。

（一）思路分析

1. 动态规划解题步骤：分阶段；求解每一阶段；得到最优解
2. 自底向上：建立一个二维数组m[i][j]表示在背包剩余重量为j的情况下，考虑第i个物品是否需要放入，是否值得放入。
3. 在考虑物品 i 是否放入遇到的几种情况分析：
   （1）物品 i 的重量大于背包剩余量时不能放入
   （2）物品 i 的重量小于背包剩余重量时考虑是否值对放入。判断标准m[ i+1][j-wj]+vi是否大于m[ i +1][ j ];大于时可以放入，小于时不可放入。

（二）数据整理

将已知的数据进行整理，并定义一些即将用到的数据

二、解题大致过程

1. 分析物品4:WeightV[4][1] = 7 WeightV[4][2] = 9
   （只要物品4的重量WeightV[4][1]<背包剩余重量m[i][j]中的j均可放入）
   
2. 分析物品3:WeightV[3][1] = 4 WeightV[3][2] = 5
   （1）m[ i+1 ][ j ]=0 分类：
   如果 j < WeightV[3][1]：m[ i ][ j ]=0;
   

如果 j >WeightV[3][1]：m[ i ][ j ]=WeightV[3][2];
（2）m[ i+1 ][ j ] ！=0 分类：
m[i3+ 1][j - WeightV[3][2]] + WeightV[3][2] <= m[3 + 1][j]

m[i3+ 1][j - WeightV[3][2]] + WeightV[3][2] >= m[3 + 1][j]
物品3无此类情况发生
依次对物品进行分析，得到最终图：

三、部分代码

void Bag()
{
	int i = 0, j = 0;
	//对第n行进行判断并赋值
	for (j = 0; j <= cw; j++)
	{
		if (j < WeightV[n][1])
		{
			m[n][j] = 0;
		}
		else
		{
			m[n][j] = WeightV[n][2];
		}
	}
	//对第1-(n-1)行进行判断并赋值
	for (i = n - 1; i >= 1; i--)
	{
		for (j = 0; j <= cw; j++)
		{
			if (m[i + 1][j] == 0)
			{
				if (j < WeightV[i][1])//背包装不下该物品
				{
					m[i][j] = 0;
				}
				else if (j >= WeightV[i][1])//直接装下该物品
				{
					m[i][j] = WeightV[i][2];
				}
			}
			else //背包能装下，需要进行进一步判断是否值得装下
			{
				if (m[i + 1][j - WeightV[i][2]] + WeightV[i][2] <= m[i + 1][j])
				{
					m[i][j] = m[i + 1][j];
				}
				else
				{
					m[i][j] = m[i + 1][j] + WeightV[i][2];
				}
			}
		}
	}
}
void output()
{
	int i = 0, j = 0;
	outfile << "最终形成的m[i][j]如图所示:" << endl;
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (j = 0; j <= cw; j++)
		{
			outfile << setw(3) << m[i][j];
		}
		outfile << endl;
	}
	int t = 1;
	//找装包完成后的最大价值和
	for (j = 0; j <= cw; j++)
	{
		if (m[1][j] > p)
		{
			p = m[1][j];
			t = j;
		}
	}
	//查找取得最大价值和的物品组合
	outfile << "装入背包的物品价值最大和为：" << p << endl;
	outfile << " 装入的物品组合为：" << endl;
	if (m[n][t] != 0)
		outfile << setw(3) << n;
	for (i = n - 1; i >= 1; i--)
	{
		if (m[i][t] == m[i + 1][t]);
		else if (m[i][t] != m[i + 1][t])
			outfile << setw(3) << i;
	}
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
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43
44
45
46
47
48
49
50
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52
53
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55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79

四、结果展示

输入样例：
4 10
2 1
3 3
4 5
7 9
输出样例：
请输入：n（物品数量）、cw（背包限重）
请输入各个物品对应的重量、价格
最终形成的m[i][j]如图所示:
0 0 1 3 5 6 6 9 10 10 12
0 0 0 3 5 5 5 9 9 9 12
0 0 0 0 5 5 5 9 9 9 9
0 0 0 0 0 0 0 9 9 9 9
装入背包的物品价值最大和为：12
装入的物品组合为：
4 2