OFDM原理及MATLAB仿真

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前言

本文讲解了 OFDM 相关概念及原理，并通过 MATLAB 仿真模拟一个 OFDM 时域及频域波形图。

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一、OFDM 总体概述

1、OFDM 概述

OFDM（Orthogonal Frequency Division Multiplexing）即正交频分复用技术，是一种特殊的多载波传输方案，它可以被看作是一种调制技术，也可以被当作一种复用技术。简而言之就是用多个相互正交的子载波搭载信息进行传输。

下面对正交频分复用字面意思进行理解：

• 正交：可区分
• 频分：多个载波
• 复用：频率可重复使用

为了形象的理解，下面以 OFDM 频谱图进行讲解

图中每一种颜色的“小山包”都是代表一个子载波，图中有 6 个子载波

①、那么如何体现出的正交呢？也就是上面提出的可区分
答：其中一个子载波的中心频率是其他子载波的信号的零点，也就是说在每一个子载波中心频率处，当前子载波的具有巨大的信号强度，可以检测到最大的能量，其他子载波信号强度都为 0，检测到的能量为 0，如此达到了可区分的目的，即为正交。

②、如何体现出了频分呢？也就是上面说的多个载波
答：图中不仅一个子载波，具有 6 个子载波，每个子载波的中心频率不同，达到了一个频分的目的，即为频分

③、如何体现出了复用呢？也就是上面说的频率可重复使用
答：从图中前两个子载波可以看到它们在频率上有重叠的部分，也就是达到了频率可重复使用的目的，即为复用

2、OFDM 优点

早期发展的无线网络或移动通信系统，是使用单载波调制（Single-carrier Modulation）技术，单载波调制是将要传送的信号（语音或数据），隐藏在一个载波上，再藉由天线传送出去。信号若是隐藏于载波的振幅，则有 AM、ASK 调制系统；信号若是隐藏于载波的频率，则有 FM、FSK 调制系统；信号若是隐藏于载波的相位，则有 PM、PSK 调制系统。

使用单载波调制技术的通讯系统，若要增加传输的速率，所须使用载波的带宽必须更大，即传输的符元时间长度（Symbol Duration）越短，而符元时间的长短会影响抵抗通道延迟的能力。若载波使用较大的带宽传输时，相对的符元时间较短，这样的通讯系统只要受到一点干扰或是噪声较大时，就可能会有较大的误码率（Bit Error Ratio，BER）。

为降低解决以上的问题，因此发展出多载波调制（Multi-carrier Modulation）技术，其概念是将一个较大的带宽切割成一些较小的子通道（Subchannel）来传送信号，即是使用多个子载波（Subcarrier）传来送信号，利用这些较窄的子通道传送时，会使子通道内的每一个子载波的信道频率响应看似平坦，这就是分频多任务（Frequency Division Multiplexing，FDM）观念。

因为带宽是一个有限的资源，若频谱上载波可以重迭使用，那就可以提高频谱效率（Spectrum Efficiency，η），所以有学者提出正交分频多任务（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）的技术架构。FDM 与 OFDM两者最大的差异，在OFDM 系统架构中每个子信道上的子载波频率是互相正交，所以频谱上虽然重迭，但每个子载波却不受其他的子载波影响。

如上图所示，OFDM 所须的总带宽较小，倘若可以提供的载波总带宽是固定的，则 OFDM 系统架构将可以使用更多的子载波，使得频谱利用效率增加，提高传输量，而能应付高传输量需求的通讯应用。

上面没看明白如何提高了频带利用率？那就继续往下看，这些形象的图一定能让你看明白！！！
常规 FDM，两路信号频谱之间有间隔，互相不干扰，如下图所示

常规 FDM，两路信号频谱之间有间隔，互相不干扰

为了更好的利用系统带宽，子载波的间距可以尽量靠近些。如下图所示

存在潜在干扰的 FDM

继续靠近，近到完全等同于奈奎斯特带宽（后面有详述），使频带的利用率达到了理论上的最大值

OFDM

二、OFDM 基本原理

1、基本思想

OFDM 它的基本思想是在频域内将所给信道分成许多子信道，各个子信道之间保持正交。高速的数据流被分配到多个正交的子信道上进行传输，从而使子信道上的符号速率大幅度降低，单个数据符号的持续时间大大加长，因而具备了较强的抗时延扩展能力，降低了由于高速传输容易引起的符号间干扰（ISI）的影响。通常在 OFDM 符号送入信道前加保护间隔，只要保护间隔大于信道的最大时延扩展，那么理论上就可以完全消除 ISI 的影响，而通常的做法是加入循环前缀（CP），在有的系统中还加入循环后缀（CS），这是 OFDM 系统比较有特色的处理技术，在正交频分复用（OFDM）是多载波调制（MCM）技术的一种。

多载波调制的基本思想是把数据流串并变换为 N 路速率较低的子数据流，用这些子数据流分别去调制 N 路子载波以后，再并行传输。由于子数据流的速率是原来速率的 1/N，也就是说，符号周期扩大为原来的 N 倍，远大于信道的最大延迟扩展，这样，多载波调制就把一个宽带频率选择性信道划分成了 N 个窄带平坦衰落信道，这样均衡比较简单，从而具有很强的抗多径衰落以及抗脉冲干扰的能力，这样特别适合于高速无线数据传输。OFDM 是一种子载波相互混叠的多载波调制，因此它除了具有上述多载波调制的优势外，还具有更高的频谱利用率。OFDM 选择时域相互正交的子载波，它们虽然在频域互相混叠，却仍能在接收端被分离出来。

2、OFDM 调制和解调

OFDM 发射机将信息比特流映射成一个 PSK 或 QAM 符号序列，之后将符号序列转换成 N 个并行符号流，每 N 个经过串/并转换的符号被不同的子载波调制。

频域信号 $X[k]$ 调制频率为 $f_k=k/T_{sym}$ 的子载波，其中载波数量为 $N=6$，即 $k=0,1,2,...,5$。在接收机，利用子载波的正交性，可以解调这些信号。注意，原来符号 $X[k]$ 的周期为 $T_s$，由于串/并转换，通过并行发射 $N$ 个符号，$N$ 个符号的传输时间扩展为 $N{T}_s$，它是单个 OFDM 符号的持续时间 $T_{sym}$，即 $T_{sym}=N{T}_s$。OFDM 符号是 N 个并行符号的复合信号，其周期为 $T_{sym}。

如下图所示，显示了所有子载波间正交性的一种典型实现。在发射机和接收机分别使用 IDFT、IFFT 和 DFT、FFT，可以实现这种多载波调制和解调。

3、OFDM 系统的发射机和接收机框图

OFDM 系统的发射机和接收机框图如下图所示，这里的相关概念就不详细讲解了，如有感兴趣的读者可以阅读《MIMO-OFDM 无线通信技术及 MATLAB 实现》这本书籍，书里面有对相关概念进行了详细的讲解。

三、OFDM 系统数学模型

1、sinc 函数

问：常见于各种教材、论文的 OFDM 频谱图一般是多个 sinc 函数的叠加，那么为什么是 sinc 函数？
答：因为实际 OFDM 信号不可能是无限长的，而有限长的 OFDM 信号实际可以看做与矩形窗函数的乘积

矩形窗函数可以定义如下：
g ( t ) = { 1 ， 0 ≤ ∣ t ∣ ≤ T 0 ， ∣ t ∣ ≥ T g(t)=

$$\begin{cases} 1，0\leq|t|\leq T \\ 0，|t|\geq T \\ \end{cases}$$ g(t)={1，0≤∣t∣≤T0，∣t∣≥T​
对其进行傅里叶变换：
$$G(j\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-jwt}\mathrm{d}t=\frac{sin(\omega T/2)}{\omega /2}$$

由于时域相乘等效于频域卷积，因此 OFDM 信号反映到频谱，就成为各个不同位置的冲击响应与 sinc 函数的卷积。

对于 OFDM信号，形象点说在时域上是信号的叠加，在频域上是多个子载波并列。

OFDM（正交频分复用）信号的时域表达式可以表示为多个子载波的叠加。假设有 N 个子载波，每个子载波的频域符号为 $X[k]$，其中 $k$ 表示子载波的索引（从 0 到 N-1）。

2、OFDM 时域表达式

每个子载波的频域符号经过反快速傅里叶变换（IFFT）得到时域符号 $x[n]$，其中 n 表示时域的离散时间点（从 0 到 N-1）。那么 OFDM 信号的时域表达式可以表示为：
$$x[n]=\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\cdot e^{j2\pi nk/N}$$

3、OFDM 频域表达式

每个子载波的频域符号经过快速傅里叶变换（FFT）得到频域符号 $X[k]$，其中 k 表示子载波的索引（从 0 到 N-1）。那么 OFDM 信号的频域表达式可以表示为：
$$X[k]=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\cdot e^{-j2\pi nk/N}$$

四、OFDM 时域及频域仿真

1、绘制时域及频域波形

①、MATLAB 源码

% ======================== 绘制时域波形图=======================
Fs = 1000;                                % 总的采样率
N = 1024;                                % 总的子载波数
T = N / Fs;                              % 信号绘制为一个周期的长度
x = 0 : 1/Fs : T-1/Fs;                   % 生成时间向量，用于绘制波形
Numscr = 4;                              % 绘制的子载波数量
s_data = 1;                              % 初始相位
y = zeros(Numscr, numel(x));             % 初始化存储每个子载波的复数值的矩阵
ini_phase = repmat(s_data, 1, numel(x));  % 生成与时间长度相匹配的初始相位向量
for k = 0 : Numscr-1                      % 循环遍历要绘制的子载波数量
    for n = 0 : numel(x)-1                % 循环遍历时间序列
        y(k+1, n+1) = ini_phase(n+1) * exp(1i * 2 * pi * k * n / N);  % 计算每个时间点上每个子载波的复数值
    end
end
figure(1);
plot(x, real(y));                         % 绘制时域波形
xlabel('时间/s');                          % 设置 X 轴标签为“时间”
ylabel('幅度/V');                          % 设置 Y 轴标签为“幅度”

% ======================== 绘制频域波形图=======================
f = (-Fs/2 : Fs/numel(x) : Fs/2-Fs/numel(x));
y_fft = zeros(Numscr, numel(x));
for k = 1 : Numscr
    y_fft(k, :) = abs(fftshift(fft(y(k,:)))) / N;  % 计算每个子载波的频谱
end
figure(2)
plot(f, y_fft(1,:), f, y_fft(2,:), f, y_fft(3,:), f, y_fft(4,:));
grid on;
xlim([-10, 10]);                          % 将 x 轴范围限制在 -10 到 10 之间
xlabel('频率/Hz');
ylabel('幅度/V');
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
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31

②、仿真结果分析

OFDM 时域波形图如下：

OFDM 时域波形图

可以验证上面的那句话：“对于 OFDM信号，形象点说在时域上是信号的叠加”。目前的图形是子载波分别绘制出来的结果，还未相加。

OFDM 频谱图如下：

OFDM 频谱图

与理想的 sinc 波形相比甚远，这样肯定不行。若在时域进行补零，如下。

2、优化 OFDM 频谱图第一版本

①、MATLAB 核心源码

补 1024 * 20 个 0：

a = 20;
y1 = zeros(Numscr, a * N);
y_combined = horzcat(y, y1);              % 水平拼接两个矩阵
f = (-Fs/2 : Fs/((a+1)*N) : (Fs/2-Fs/((a+1)*N)));
y_fft = zeros(Numscr, (a+1)*N);
for k = 1 : Numscr
    y_fft(k, :) = abs(fftshift(fft(y_combined(k,:)))) / N;  % 计算每个子载波的频谱
end
1
2
3
4
5
6
7
8

②、仿真结果分析

优化后的 OFDM 频谱图如下：

一次优化后的 OFDM 频谱图

原因分析：时域尾部补零等效于频域插值，让频谱图形变得圆滑。

虽然图形比较理想，但频谱图小于等于 0 的部分我们没有看到：我们绘制的频谱图幅值都是大于等于 0 的。当然必然是大于等于 0 的，因为我们是取模进行绘制，也是正确的，但是怎么获得这种图：

3、优化 OFDM 频谱图第二版本

要绘制上图的图形，取模肯定是不行的，我们可以尝试取实部

①、MATLAB 核心源码

a = 20;
y1 = zeros(Numscr, a * N);
y_combined = horzcat(y, y1);              % 水平拼接两个矩阵
f = (-Fs/2 : Fs/((a+1)*N) : (Fs/2-Fs/((a+1)*N)));
y_fft = zeros(Numscr, (a+1)*N);
for k = 1 : Numscr
    y_fft(k, :) = real(fftshift(fft(y_combined(k,:)))) / N;  % 计算每个子载波的频谱
end
1
2
3
4
5
6
7
8

②、仿真结果分析

优化后的 OFDM 频谱图如下：

二次优化后的 OFDM 频谱图

如此，获得了比较接近的频谱图。

五、资源自取

OFDM 时域及频域 MATLAB 仿真

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总结

• 本文首先在 OFDM 总体概述部分对 OFDM 的基本概念进行了介绍，并强调了使用 OFDM 的优点是什么；
• 其次对 OFDM 的原理进行了基本的介绍，其中包括 OFDM的基本思想、OFDM 调制解调思想、OFDM系统的发射机和接收机组成框图；
• 然后对 OFDM 的数学模型进行了分析，包括时域及频域；
• 最后对 OFDM的时域及频域波形进行了 MATLAB 仿真，针对仿真过程中遇到的问题也进行了分析及解决。

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