【论文笔记】Mamba: Linear-Time Sequence Modeling with Selective State Spaces_mamba arxiv

原文链接：https://arxiv.org/abs/2312.00752

1. 引言

基石模型（FM）的主干网络通常是序列模型，处理任意的输入序列。但现代FM主要基于Transformer这一序列模型，及其核心的注意力。但是，自注意力仅能在上下文窗口中密集地传递信息，而无法建模窗口外部的数据；此外，其尺度与窗口长度成二次方关系。注意力相关高效的改进牺牲了其有效性，因此也未被有效地用于不同领域。

最近，结构状态空间序列模型（SSM）作为序列建模的有前景方法，可被理解为RNN与CNN的结合，并受经典状态空间模型的启发。这类模型能高效计算，且尺度与序列长度成比例关系。此外，在部分模态下，还可建模长距离依赖关系，且在连续信号（如音频与视觉）下取得了成功。但对于离散且信息密集的数据（如文本）则不那么有效。

本文提出选择性状态空间模型，在前面的工作上做出改进，达到Transformer的建模能力，且尺度随序列长度线性增大。

选择机制：过去的方法缺乏以数据依赖的方式高效选择数据的能力（关注或忽视特定输入）。本文通过将SSM的参数基于输入参数化，设计选择机制，使模型过滤无关信息并记忆相关信息。

硬件感知的算法：所有之前的SSM需要是时不变和输入不变的，以高效计算。本文使用硬件感知的算法来克服这一问题，递归地使用扫描而非卷积计算模型，且不实现扩展状态以避免在GPU内存层次结构的不同层进行IO访问。这样，实施速度在理论上和现代硬件上均能超过过去的方法（伪线性时间）。

结构：本文将之前的SSM结构与Transformer的MLP组合为块（Manba），一种包含了选择性状态空间的简单而同质的结构设计。

选择性SSM与其扩展Manba均为完全递归的模型，适合作为以序列为输入的通用基石模型的主干网络。其关键属性为：

1. 高质量：选择性能为密集模态（语言、基因组）带来强性能；
2. 快速训练和推断：训练时的计算与存储尺度均随序列长度线性变化，推断时自回归地展开模型使得每步只需常数时间，因为无需过去元素的缓存。
3. 长上下文：质量与效率使其能在1M长度序列上产生性能提升。

在语言、音频、基因组等领域上的实验表明，Mamba只需更少的参数量就能达到Transformer相同的性能，且速度更快。

2. 状态空间模型

结构状态空间模型（S4）与RNN、CNN以及经典状态空间模型相关。其受到特定连续系统的启发，该连续系统通过隐状态$h(t)\in {\mathbb{R}}^N$映射1维函数或序列$x(t)\in \mathbb{R}\to y(t)\in \mathbb{R}$。

S4模型由4个参数定义（$\Delta ,A,B,C$），包含序列到序列的两阶段变换（式(1)）：
h ′ ( t ) = A h ( t ) + B x ( t ) ( 1 a ) h t = A ˉ h t − 1 + B ˉ x t ( 2 a ) K ˉ = ( C B ˉ , C A ˉ B ˉ , ⋯   , C A ˉ k B ˉ , ⋯   ) ( 3 a ) y ( t ) = C h ( t ) ( 1 b ) y t = C h t ( 2 b ) y = x ∗ K ˉ ( 3 b )

$$\begin{matrix} h'(t)=Ah(t)+Bx(t)&(1a)&h_t=\bar Ah_{t-1}+\bar Bx_t&(2a)&\bar K=(C\bar B,C\bar A\bar B,\cdots,C\bar A^k\bar B,\cdots)&(3a)\\ y(t)=Ch(t)&(1b)&y_t=Ch_t&(2b)&y=x*\bar K&(3b) \end{matrix}$$ h′(t)=Ah(t)+Bx(t)y(t)=Ch(t)​(1a)(1b)​ht​=Aˉht−1​+Bˉxt​yt​=Cht​​(2a)(2b)​Kˉ=(CBˉ,CAˉBˉ,⋯,CAˉkBˉ,⋯)y=x∗Kˉ​(3a)(3b)​

离散化：第一阶段通过固定公式$\bar{A}=f_A(\Delta ,A),\bar{B}=f_B(\Delta ,A,B)$，将连续参数（$\Delta ,A,B$）转化为离散参数（$\Delta ,\bar{A},\bar{B}$）。其中$f_A,f_B$被称为离散规则。例如，零阶保持（ZOH）由下式定义：
$$\bar{A}=\exp (\Delta A),\bar{B}=(\Delta A{)}^{-1}(\exp (\Delta A)-I)\cdot \Delta B$$

离散化可为连续时间系统赋予额外特性，如分辨率不变性或保证模型被恰当地归一化。同时，离散化也与RNN的门控机制有关（见3.5节）。离散化可被简单地视为SSM前向过程计算图的第一步。一些类型的SSM可以直接参数化$(\bar{A},\bar{B})$，而绕过离散化步骤。

计算：得到离散化的模型后，可通过线性递归（式(2)）或全局卷积（式(3)）方式计算。通常会使用卷积模式进行并行训练（可一次获取整个序列），然后切换为递归模式进行自回归推断（一次只能获取一个时间步长的数据）。

线性时不变（LTI）：式(1)(2)(3)的特点是模型动态随时间恒定，即$\Delta ,A,B,C$与$\bar{A},\bar{B}$恒定，称为LTI。LTI SSM与任何线性递归或卷积等价，因此可将LTI视为这些模型的总括术语。

目前位置，由于效率限制，所有的结构SSM均为LTI的（如通过卷积计算）。LTI模型在特定类型的数据上有局限性，本文则移除这一约束并克服效率瓶颈。

结构与维度：结构SSM需要强制矩阵$A$的结构，如对角矩阵。这样$A\in {\mathbb{R}}^{N\times N},B\in {\mathbb{R}}^{N\times 1},C\in {\mathbb{R}}^{1\times N}$均可由$N$个数表达。若输入序列$x$的批量大小为$B$，长度为$L$，通道数为$D$，则会对每个通道独立应用SSM。此时，总的隐状态维度为$DN$，整个序列的计算需要$O(BLDN)$的时间与存储。

通用状态空间模型：状态空间可以表达任何带有隐状态的递归过程，如马尔科夫决策过程、动态因果建模、卡尔曼滤波器、隐马尔科夫模型、线性动态系统、递归模型等。

SSM的结构：SSM可合并到端到端神经网络架构中。如线性注意力（含递归的自注意力近似，可视为退化线性SSM）、H3（门控连接之间加SSM，或在SSM层前加卷积）、Hyena（将H3的S4替换为MLP参数化的全局卷积）、RetNet（添加额外门控并使用更简单的SSM，使用多头注意力的变体而非卷积从而可并行计算）、RWKV（基于另一线性注意力近似的RNN，包含LTId递归，可视为两个SSM之比）。

3. 选择性状态空间模型

3.1 动机：选择为一种压缩方式

序列建模的基本问题是将上下文压缩为更小的状态。高效的模型需要小状态，而有效的模型需要包含上下文所有必要信息的状态。Transformer没有压缩上下文，因此是有效但低效的；递归模型有有限状态，是高效的，但其有效性受到上下文压缩程度的限制。

合成任务中的选择性复制与归纳头均需要内容感知的推理，这说明了LTI模型的缺陷。从递归角度看，其常数动态（$\bar{A},\bar{B}$）不能使其选择上下文中正确的信息，或以输入依赖的方式影响隐状态。从卷积角度看，静态卷积核不能建模变化的输入输出关系。

本文提出建立序列模型的基本原则是选择性（或上下文感知能力），能够关注或过滤输入，得到序列状态。选择机制可以控制信息沿序列维度的传播与交互。

3.2 使用选择改进SSM

为模型引入选择性的方法之一是将影响序列交互的参数（如RNN的递归动态或CNN的卷积核）改为输入依赖的。

为SSM（算法1）添加选择机制的算法如算法2所示。主要的改动为将$B$与$C$改为输入的函数，使其参数与时间相关（维度$L$表明参数为时变的）。这使得SSM失去了与卷积的等价性。

本文设置$s_B(x)={\mathtt{Linear}}_N(x),s_C(x)={\mathtt{Linear}}_N(x),s_{\Delta }(x)={\mathtt{Broadcast}}_D({\mathtt{Linear}}_1(x))$，${\tau }_{\Delta }=\mathtt{softplus}$。其中${\mathtt{Linear}}_d$的输出维度为$d$。

3.3 选择性SSM的高效实施

由于时变的SSM失去了卷积计算能力，因此其计算效率受到了影响。

3.3.1 过去模型的动机

• 尽管递归模式比卷积模式更为灵活，但需要计算大小为$(B,L,D,N)$的隐状态$h$。因此，往往采用更为高效的卷积模式，绕过隐状态计算，并设置大小为$(B,L,D)$的卷积核。
• LTI SSM使用双循环-卷积形式，$N$倍地增加有效的状态维度，而不影响效率。

3.3.2 选择性扫描概述：硬件感知的状态扩展

本文使用三种经典技巧处理选择性SSM的效率问题：核融合，并行扫描和重计算。注意到：

• 递归计算的FLOP为$O(BLDN)$，而卷积计算为$O(BLD\log (L))$，且前者的常系数更小。因此长序列和不大的状态维度下，递归模式的FLOP更低。
• 递归的顺序性与大存储消耗为两大挑战。为解决后者，本文不计算完整状态$h$。

由于多数操作（包括扫描）会受限于存储带宽，本文使用核融合以减小存储器IO的次数，从而进行加速。

具体来说，不在GPU的高带宽存储器（HBM）中加载大小为$(B,L,D,N)$的扫描输入$(\bar{A},\bar{B})$，而直接从较慢的HBM加载SSM参数$(\Delta ,A,B,C)$到较快的SRAM中，并在SRAM中进行离散化与递归。最后将大小为$(B,L,D)$的输出写入HBM。

为避免顺序递归，可以使用并行扫描算法进行并行化。

为避免存储反向传播时必要的中间状态，在反向传播时对其进行重计算。因此，融合的选择扫描层与用FlashAttention优化的Transformer有着相同的存储需求。

完整的选择性SSM层如下图所示。

3.4 简化的SSM结构

如图所示，本文将H3中的线性注意力与MLP合并。

首先，将模型维度$D$乘以可控的扩张因子$E$。此时，大多数参数位于线性投影层，SSM的参数占比很小。复制该块并插入标准归一化和残差连接，得到的Mamba。激活函数$\sigma$使用SiLU或Swish。最后，额外使用可选的归一化层（LayerNorm）。

3.5 选择机制的特性

3.5.1 与门控机制的联系

RNN的经典门控机制是本文SSM选择性机制的实例。

3.5.2 选择机制的解释

可变间距：选择性使得模型可以跳过输入中的噪声token，这在各种模态中（尤其是离散模态）无处不在。

过滤上下文：尽管更多的上下文应该导致严格更高的性能，但许多序列模型在长上下文下并没有提升。这是因为它们不能忽略无关上下文（如全局卷积），而选择性模型可以在任何时刻重置状态，以删除无关的历史，因此性能可以随序列长度增加而单调递增。

边界重置：当多个独立序列被缝合时，Transformer可以通过注意力掩膜使其保持分离，而LTI模型会在各序列间传递信息。选择性SSM也可在边界处重置状态。

对$\Delta$的理解：$\Delta$控制了对当前输入$x_t$关注或忽略程度的平衡，其泛化了RNN的门控。大的$\Delta$会重置状态$h$并关注当前输入，而小的$\Delta$则保留状态并忽视当前输入。SSM可视为按照时间步长$\Delta$进行离散化，$\Delta \to \infty$表示系统关注当前输入而忽略其状态，而$\Delta \to 0$则表明瞬态输入被忽略。

对$A$的解释：尽管$A$也可是选择性的，但$\Delta$的选择性就可保证$\bar{A}=\exp (\Delta A)$的选择性。

对$B$与$C$的理解：改变$B$或$C$，可以对输入$x_t$是否影响状态$h_t$或状态$h_t$是否影响输出$y_t$进行细粒度控制，即允许模型根据内容（输入）或上下文（隐状态）调节递归动态。

3.6 额外的模型细节

实数&复数：许多SSM使用复数状态$h$以获取强性能，但某些设置下实数状态可能更好。这可能与数据模态相关，其中复数状态对连续模态有帮助，而实数状态对离散模态更好。

初始化：在复数（实数）情况下，本文使用S4D-Lin（S4D-Real）作为默认初始化方法，将$A$的第$n$个元素定义为$-1/2+ni$（$-(n+1)$）。

$\Delta$的参数化：$\Delta$被初始化为${\tau }_{\Delta }^{-1}(\mathtt{Uniform}([0.001,0.1]))$。此外，可将维度1泛化为更大的维度$R$（设置为$D$的因数），且将广播操作视为另一线性投影，从而得到$s_{\Delta }$的另一形式：$s_{\Delta }(x)={\mathtt{Linear}}_D({\mathtt{Linear}}_R(x))$。

4. 经验评估

4.5 速度与存储基准

在长序列下，本文高效的SSM扫描比最快的注意力实施还快，且推断速度比同等大小的Transformer快很多。注意由于无需缓存$KV$，因此Manba可以设置更大的批量大小。

4.6 模型消融

4.6.1 结构

• 过去LTI SSM的性能均相近。
• 将复数S4替换为实数，不会太影响性能，因为实数SSM可能是硬件高效的。
• 将上述任一方法替换为选择性SSM能极大地提高性能。
• Mamba的结构与H3的性能相近（当使用选择性层时，会略高）。

4.6.2 选择性SSM

考虑为$\Delta ,B,C$之间不同的组合添加选择性，实验表明$\Delta$为最关键的参数，因其与RNN门控相关。

不同的SSM初始化方法在不同模态上的表现可能有较大差异。

增大$\Delta ,B,C$的维度，可以较小的参数量适中地增加性能。

增加状态大小$N$可以极小的参数量极大地提高性能。