如何通俗理解并快速写出麦克斯韦方程组？_麦克斯韦方程组物质方程

引言

所谓“当初电磁学的烂，原理用时火葬场”，哈？你问我说快速写出麦克斯韦方程组除了研究生复试时还能有啥用又不是小学生？这种圣经你光电学生不得烂熟于心关键时刻装逼用吗？ヽ(`Д´)ﾉ（才不是为了水博客啊混蛋(╯‵□′)╯︵┻━┻）

先列方程（以后还方便自己查阅）

麦克斯韦方程组

f ( x ) = { ▽ ⋅ D ⃗ = ρ ▽ ⋅ B ⃗ = 0 ▽ × H ⃗ = ∂ D ⃗ ∂ t + J ⃗ ▽ × E ⃗ = − ∂ B ⃗ ∂ t D ⃗ = ε E ⃗ B ⃗ = μ H ⃗ J ⃗ = σ E ⃗ f(x)=\left\{

$$\begin{aligned} \bigtriangledown \centerdot \vec{D} = \rho \\ \bigtriangledown \centerdot \vec{B} = 0 \\ \bigtriangledown \times \vec{H} = \frac{\partial \vec{D} }{\partial t} + \vec{J} \\ \bigtriangledown \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B} }{\partial t} \\ \vec{D}=\varepsilon\vec{E} \\ \vec{B}=\mu\vec{H} \\ \vec{J}=\sigma\vec{E} \end{aligned}$$ \right. f(x)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​▽⋅D =ρ▽⋅B =0▽×H =∂t∂D ​+J ▽×E =−∂t∂B ​D =εE B =μH J =σE ​

基本概念

D——electric displacement 电位移矢量 electric flux density 电通量密度

B——magnetic induction 磁感应强度

H——magnetic field intensity 磁场强度

E——electric intensity 电场强度

（这里插播下我的一点小理解，委实说可能是出于高中先入为主的缘由，我一直都对$\vec{D}$和$\vec{H}$有一种天生的排斥或者不理解，现在重新理解了下，我认为电场强度$\vec{E}$和磁场强度$\vec{H}$，都是基于源而言，但在实际问题传输中往往需要考虑传输介质的影响，所以需要引入相对应的物理量电通量密度$\vec{D}$和磁感应强度$\vec{B}$）

J——Current volume density 电流体密度

$\rho$——volume charge density电荷体密度

$\epsilon$——Dielectric constant介电常数

$\mu$——Permeability磁导率

$\sigma$——electroconductibility电导率

（然后我们就发现这些单位符号命名真的跟英语名称没多大关系……）

散度：某一点的散度就是该点矢量场通量源的密度 公式表示为$▽\cdot$

旋度：矢量场在某点的旋度大小是矢量场在该点的最大环量强度，其方向是在该点取最大环量强度的方向。公式表示为$▽\times$

电场是有源无旋场，磁场是有旋无源场。

把上述麦克斯韦方程组分为如下源方程，传输方程和物质方程这三类。

源方程 source equation​s

f ( x ) = { ▽ ⋅ D ⃗ = ρ ▽ ⋅ B ⃗ = 0 f(x)=\left\{

$$\begin{aligned} \bigtriangledown \centerdot \vec{D} = \rho \\ \bigtriangledown \centerdot \vec{B} = 0 \\ \end{aligned}$$ \right. f(x)={▽⋅D =ρ▽⋅B =0​

我们暂时无须纠结于为什么会有源。

现在你的方程等号右边刚刚好有个电荷$\rho$,你要感知它很困难，于是你只能通过电荷产生的电场强度，也就是闭合曲面内穿过的电场强度的通量（类比于水源与水流）来间接感知，也就是$▽\cdot E$和电荷$\rho$存在正比关系，但是这里很蛋疼的一点就是两者之间好死不死还有个比例系数也就是介电常数$\epsilon$的倒数的关系，那没办法为了方程简洁点，再引入个电位移矢量，即$\vec{D}=\epsilon \vec{E}$，所以方程左边写上$▽\cdot \vec{D}$

上式即为电场高斯原理，物理意义是电荷是电场的散度源，电荷产生电场，或者说电位移矢量起止于存在自由电荷的地方。

类比于上面那个思路，我们其实也可以列出磁场对应的方程，但是很遗憾这个世界有电荷却没有磁荷（虽然科学家们一直在寻找磁单极），所以方程等号右边为0，左边则为表征磁场的磁感应强度B。（用磁场强度H可能更易于理解但出于上式同样道理用磁感应强度B）$▽\cdot \vec{B}$

上式为磁通连续原理，其物理意义是磁场是无散场，磁场没有起止点。

传输方程 propagate equations

f ( x ) = { ▽ × H ⃗ = ∂ D ⃗ ∂ t + J ⃗ ▽ × E ⃗ = − ∂ B ⃗ ∂ t f(x)=\left\{

$$\begin{aligned} \bigtriangledown \times \vec{H} = \frac{\partial \vec{D} }{\partial t} + \vec{J} \\ \bigtriangledown \times \vec{E} = -\frac{\partial\vec{B} }{\partial t} \end{aligned}$$ \right. f(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​▽×H =∂t∂D ​+J ▽×E =−∂t∂B ​​

源方程都是建立在时不变场的基础上，而传输方程都是建立在时变场的情况下。
电流和变化的电场催生出磁场，方程等号右边写下$\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}+\vec{J}$（加号来源于位移电流假说，本质是电荷守恒）,磁场由磁场强度表征，方程等号左边写下$▽\times \vec{H}$

上式为全电流安培环路定律，其物理意义是电流和变化的电场是磁场的旋度源，可以产生磁场，位移电流和传导电流一样都能产生环形磁场。

与上式类似，变化的磁场可以产生电场，同样由于没有磁荷，没有所谓的磁流，所以方程等号右边只写下$-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$。（这里唯一需要记忆的点是方程右边还需要一个负号$-$,负号是来源于楞次定律，本质是能量守恒）方程等号左边写下$▽\times \vec{E}$

上式为法拉第电磁感应定律，其物理意义是变化的磁场可以产生电场，变化的磁场是电场的旋度源，磁感应强度（磁通量密度）的变化会引起环形磁场。

物质方程 matter equations

剩下的三条即为物质方程matter equation。

f ( x ) = { D ⃗ = ε E ⃗ B ⃗ = μ H ⃗ J ⃗ = σ E ⃗ f(x)=\left\{

$$\begin{aligned} \vec{D}=\varepsilon\vec{E} \\ \vec{B}=\mu\vec{H} \\ \vec{J}=\sigma\vec{E} \end{aligned}$$ \right. f(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​D =εE B =μH J =σE ​

这三条只需要记住对应的字母符号物理意义即可写出，这里不加以阐述。

结尾

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