（二十五）各向同性张量(函数)

1. 各向同性张量

定义 在直角坐标系（标准正交基不变）中，若某张量的分量值不随基的正交变换而变化，则称该张量为欧氏空间中的各向同性张量。即，

对 $r$ 阶张量 $\mathbf{\Phi }$:
$$\mathbf{\Phi }={\Phi }_{i_1{i}_2\dots i_r}{\vec{e}}_{i_1}\otimes {\vec{e}}_{i_2}\otimes \cdots \otimes {\vec{e}}_{i_r}={\Phi }_{i_1^{\prime }{i}_2^{\prime }\dots i_r^{\prime }}{\overrightarrow{e^{\prime }}}_{i_1}\otimes {\overrightarrow{e^{\prime }}}_{i_2}\otimes \cdots \otimes {\overrightarrow{e^{\prime }}}_{i_r}$$
其中，
$${\overrightarrow{e^{\prime }}}_{i_t}=\mathbf{Q}\cdot {\vec{e}}_{i_t}(t=1,2,\dots ,r;i_t=1,2,3)，\mathbf{Q}为任意正交仿射量$$
若
$${\Phi }_{i_1{i}_2\dots i_r}={\Phi }_{i_1^{\prime }{i}_2^{\prime }\dots i_r^{\prime }}$$
则将 $\mathbf{\Phi }$ 称作各向同性张量，记 $$\mathbf{\Phi }\in iso$$

定义一种新的符号记法：
$$\mathbf{Q}\circ \mathbf{\Phi }\triangleq {\Phi }_{i_1{i}_2\dots i_r}(\mathbf{Q}\cdot {\vec{e}}_{i_1})\otimes (\mathbf{Q}\cdot {\vec{e}}_{i_2})\otimes \cdots \otimes (\mathbf{Q}\cdot {\vec{e}}_{i_r})$$
那么，
$$\forall \mathbf{Q}\in {\mathcal{O}}_3，\mathbf{Q}\circ \mathbf{\Phi }=\mathbf{\Phi }⟺\mathbf{\Phi }\in iso$$

2. 各项同性张量的实例

2.1. 标量(零阶张量)

标量都是各向同性的，即：
$$for\forall \phi \in {\mathcal{T}}_0(V)，\phi \in iso$$

2.2. 向量(一阶张量)

若
$$\vec{v}\in iso$$
那么，
$$\forall \mathbf{Q}\in {\mathcal{O}}_3，\vec{v}=v_i{\vec{e}}_i=v_i(\mathbf{Q}\cdot {\vec{e}}_i)$$
取
$$\mathbf{Q}=-\mathbf{G}$$
则
$$v_i{\vec{e}}_i=-v_i{\vec{e}}_i⟹2v_i{\vec{e}}_i=2\vec{v}=0⟹\vec{v}=0$$
故，向量中只有零向量是各向同性的，即：
$$for\vec{v}\in {\mathcal{T}}_1(V)，\vec{v}\in iso⟺\vec{v}=0$$

2.3. 仿射量(二阶张量)

若
$$\mathbf{T}\in iso$$
那么，
$$\forall \mathbf{Q}\in {\mathcal{O}}_3，\mathbf{T}=\mathbf{Q}\circ \mathbf{T}=T_{ij}(\mathbf{Q}\cdot {\vec{e}}_i)\otimes (\mathbf{Q}\cdot {\vec{e}}_j)=T_{ij}(\mathbf{Q}\cdot {\vec{e}}_i)\otimes ({\vec{e}}_j\cdot {\mathbf{Q}}^T)=\mathbf{Q}\cdot \mathbf{T}\cdot {\mathbf{Q}}^T$$
故，
$$\mathbf{Q}\cdot \mathbf{T}=\mathbf{T}\cdot \mathbf{Q}$$
设 $\lambda$ 与 $\vec{r}$ 分别为 $\mathbf{T}$ 的右特征值与右特征向量，即
$$\mathbf{T}\cdot \vec{r}=\lambda \vec{r}$$
则有：
$$\mathbf{T}\cdot \mathbf{Q}\cdot \vec{r}=\mathbf{Q}\cdot (\mathbf{T}\cdot \vec{r})=\lambda \mathbf{Q}\cdot \vec{r}$$
即
$$(\mathbf{T}-\lambda \mathbf{G})\cdot \mathbf{Q}\cdot \vec{r}=0$$
根据 $\mathbf{Q}$ 的任意性，知：
$$\mathbf{T}=\lambda \mathbf{G}(\lambda 为\mathbf{T}的特征值)$$
换而言之，仿射量只有球形张量是各向同性的。

2.4. 三阶张量

考虑特殊的三阶张量——置换张量

现有两组直角坐标系，且二者满足正交变换的关系，即：
∀ Q ∈ O 3 ， { e ′ ⃗ 1 , e ′ ⃗ 2 , e ′ ⃗ 3 } = { Q ⋅ e ⃗ 1 , Q ⋅ e ⃗ 2 , Q ⋅ e ⃗ 3 } \forall\bold{Q}\in\mathcal{O}_3，\{\vec{e'}_1,\vec{e'}_2,\vec{e'}_3\} =\{\bold{Q}\cdot\vec{e}_1,\bold{Q}\cdot\vec{e}_2,\bold{Q}\cdot\vec{e}_3\} ∀Q∈O3​，{e′ 1​,e′ 2​,e′ 3​}={Q⋅e 1​,Q⋅e 2​,Q⋅e 3​}
则，
$$ϵ={ϵ}^{ijk}{\vec{e}}_i\otimes {\vec{e}}_j\otimes {\vec{e}}_k={ϵ}^{i^{\prime }{j}^{\prime }{k}^{\prime }}{\vec{e}}_{i^{\prime }}\otimes {\vec{e}}_{j^{\prime }}\otimes {\vec{e}}_{k^{\prime }}$$
其中
ϵ i j k = e i j k g ϵ i ′ j ′ k ′ = e i ′ j ′ k ′ g ′ = e i ′ j ′ k ′ [ e ⃗ 1 ′ e ⃗ 2 ′ e ⃗ 3 ′ ] = e i ′ j ′ k ′ [ Q ⋅ e ⃗ 1 Q ⋅ e ⃗ 2 Q ⋅ e ⃗ 3 ] = e i ′ j ′ k ′ d e t ( Q ) [ e ⃗ 1 e ⃗ 2 e ⃗ 3 ] = e i ′ j ′ k ′ d e t ( Q ) g = e i j k d e t ( Q ) g = ϵ i j k d e t ( Q )

$$\begin{aligned} &\epsilon^{ijk}=\frac{e^{ijk}}{\sqrt{g}}\\\\ &\epsilon^{i'j'k'}=\frac{e^{i'j'k'}}{\sqrt{g'}} =\frac{e^{i'j'k'}}{\begin{bmatrix}\vec{e}_{1'}&\vec{e}_{2'}&\vec{e}_{3'}\end{bmatrix}}\\\\ &\qquad=\frac{e^{i'j'k'}}{\begin{bmatrix}\bold{Q}\cdot\vec{e}_{1}&\bold{Q}\cdot\vec{e}_{2}&\bold{Q}\cdot\vec{e}_{3}\end{bmatrix}}\\\\ &\qquad=\frac{e^{i'j'k'}}{det(\bold Q)\begin{bmatrix}\vec{e}_{1}&\vec{e}_{2}&\vec{e}_{3}\end{bmatrix}}\\\\ &\qquad=\frac{e^{i'j'k'}}{det(\bold Q)\sqrt{g}}\\\\ &\qquad=\frac{e^{ijk}}{det(\bold Q)\sqrt{g}}=\frac{\epsilon^{ijk}}{det(\bold Q)} \end{aligned}$$ ​ϵijk=g ​eijk​ϵi′j′k′=g′ ​ei′j′k′​=[e 1′​​e 2′​​e 3′​​]ei′j′k′​=[Q⋅e 1​​Q⋅e 2​​Q⋅e 3​​]ei′j′k′​=det(Q)[e 1​​e 2​​e 3​​]ei′j′k′​=det(Q)g ​ei′j′k′​=det(Q)g ​eijk​=det(Q)ϵijk​​
因此 三阶张量 $\lambda ϵ(\lambda \in R)$ 在旋转正交变换（无镜面反射）下是各向同性的。

2.5. 四阶张量

定理 在直角坐标系中，四阶各向同性张量 $\mathbf{\Phi }$ 的分量可写为：
$${\Phi }_{ijkl}=\lambda {\delta }_{ij}{\delta }_{kl}+\alpha {\delta }_{ik}{\delta }_{jl}+\beta {\delta }_{il}{\delta }_{jk}(具有对称性：{\Phi }_{ijkl}={\Phi }_{klij})$$
其中，$\lambda ,\alpha ,\beta \in R$。令
$$\alpha =\mu +\nu ；\beta =\mu -\nu$$
则有
$${\Phi }_{ijkl}=\lambda {\delta }_{ij}{\delta }_{kl}+\mu ({\delta }_{ik}{\delta }_{jl}+{\delta }_{il}{\delta }_{jk})+\nu ({\delta }_{ik}{\delta }_{jl}-{\delta }_{il}{\delta }_{jk})$$
进一步，若四阶张量关于前两个指标或后两个指标还具有对称性：

以前两个指标对称为例，交换 $i，j$ 指标：
$${\Phi }_{jikl}=\lambda {\delta }_{ij}{\delta }_{kl}+\mu ({\delta }_{jk}{\delta }_{il}+{\delta }_{jl}{\delta }_{ik})+\nu ({\delta }_{jk}{\delta }_{il}-{\delta }_{jl}{\delta }_{ik})$$
两式相加得：
$${\Phi }_{ijkl}=\frac{1}{2}({\Phi }_{ijkl}+{\Phi }_{jikl})=\lambda {\delta }_{ij}{\delta }_{kl}+\mu ({\delta }_{ik}{\delta }_{jl}+{\delta }_{il}{\delta }_{jk})（\ast ）$$
根据上式可知：

• 关于前两个指标 $i$ $j$ 对称 $⟹{\Phi }_{ijkl}={\Phi }_{jikl}={\Phi }_{ijlk}={\Phi }_{klij}$
• 关于后两个指标 $k$ $l$ 对称 $⟹{\Phi }_{ijkl}={\Phi }_{ijlk}={\Phi }_{jikl}={\Phi }_{klij}$

对（*）式采用实体记法：
$$\mathbf{\Phi }=\lambda \mathbf{G}\otimes \mathbf{G}+2\mu \stackrel{4s}{\mathbf{I}}（\ast \ast ）$$
其中,
$$\stackrel{4s}{\mathbf{I}}=\frac{1}{2}({\delta }_{ik}{\delta }_{jl}+{\delta }_{il}{\delta }_{jk}){\vec{e}}_i\otimes {\vec{e}}_j\otimes {\vec{e}}_k\otimes {\vec{e}}_l$$
若令
{ I m ≜ 1 3 G ⊗ G I s ≜ I 4 s − I m

$$\begin{cases} \bold{I}_m\triangleq\dfrac{1}{3}\bold{G}\otimes\bold{G}\\\\ \bold{I}_s\triangleq\stackrel{4s}{\bold I}-\bold{I}_m \end{cases}$$ ⎩ ⎨ ⎧​Im​≜31​G⊗GIs​≜I4s​−Im​​
二者满足：
$$\{\begin{array}{l}{\mathbf{I}}_m:{\mathbf{I}}_m=\frac{1}{9}\mathbf{G}\otimes \mathbf{G}:\mathbf{G}\otimes \mathbf{G}=\frac{1}{9}(g^{mn}{g}_{mn})\mathbf{G}\otimes \mathbf{G}={\mathbf{I}}_m\\ \\ {\mathbf{I}}_s:{\mathbf{I}}_s=(\stackrel{4s}{\mathbf{I}}-{\mathbf{I}}_m):(\stackrel{4s}{\mathbf{I}}-{\mathbf{I}}_m)={\mathbf{I}}_s\\ \\ {\mathbf{I}}_m:{\mathbf{I}}_s={\mathbf{I}}_s:{\mathbf{I}}_m=0\end{array}$$
则有：
$$\mathbf{\Phi }=3\lambda {\mathbf{I}}_m+2\mu ({\mathbf{I}}_s+{\mathbf{I}}_m)=(3\lambda +2\mu ){\mathbf{I}}_m+2\mu {\mathbf{I}}_s$$
令
$$k\triangleq \lambda +\frac{2}{3}\mu$$
则：
$$\mathbf{\Phi }=3k{\mathbf{I}}_m+2\mu {\mathbf{I}}_s（\ast \ast \ast ）$$
通过上式来表示满足对前两个指标或后两个指标具有对称性的四阶各向同性张量，便于进行两个此类四阶张量的双点积运算。

3. 各向同性张量函数

定义 自变量为张量的函数称作称作张量函数，其函数值可以是标量也可以是高阶张量。

定义 （1）当自变量和函数值在任意正交变换 $\mathbf{Q}\in {\mathcal{O}}_3$ 下保持原有函数关系不变，则称该函数为各向同性张量函数；（2）当自变量和函数值在任意正常正交变换 $\mathbf{Q}\in {\mathcal{O}}_3^{+}$ 下保持原有函数关系不变，则称该函数为半各向同性张量函数。即，

对于张量函数：
$$\mathbf{F}(\mathbf{A},\mathbf{B},\dots )$$
（1）若满足：
$$\forall \mathbf{Q}\in {\mathcal{O}}_3，\mathbf{Q}\circ \mathbf{F}=\mathbf{F}(\mathbf{Q}\circ \mathbf{A},\mathbf{Q}\circ \mathbf{B},\dots )$$
则称 $\mathbf{F}$ 为各向同性张量函数。
（2）若满足：
$$\forall \mathbf{Q}\in {\mathcal{O}}_3^{+}，\mathbf{Q}\circ \mathbf{F}=\mathbf{F}(\mathbf{Q}\circ \mathbf{A},\mathbf{Q}\circ \mathbf{B},\dots )$$
则称 $\mathbf{F}$ 为半各向同性张量函数。

4. 仿射量的主不变量是函数值为标量的各向同性函数

命题 仿射量 $\mathbf{B}$ 的三个主不变量是标量值的各向同性函数。

证明：第一主不变量：
$${\mathcal{C}}_1(\mathbf{B})=tr(\mathbf{B})$$
根据迹的运算性质：
$$\forall \mathbf{Q}\in {\mathcal{O}}_3，tr(\mathbf{Q}\circ \mathbf{B})=tr(\mathbf{Q}\circ \mathbf{B})=tr(\mathbf{Q}\cdot \mathbf{B}\cdot {\mathbf{Q}}^T)=tr(\mathbf{B}\cdot {\mathbf{Q}}^T\cdot \mathbf{Q})=tr(\mathbf{B})（证毕）$$
第二主不变量：
$${\mathcal{C}}_2(\mathbf{B})=\frac{1}{2}(t{r}^2(\mathbf{B})-tr({\mathbf{B}}^2))$$
其前一项已证明是各向同性的，现关注第二项，由于
$$tr[(\mathbf{Q}\circ \mathbf{B}{)}^2]=tr[(\mathbf{Q}\cdot \mathbf{B}\cdot {\mathbf{Q}}^T)\cdot (\mathbf{Q}\cdot \mathbf{B}\cdot {\mathbf{Q}}^T)]=tr(\mathbf{Q}\cdot {\mathbf{B}}^2\cdot {\mathbf{Q}}^T)=tr({\mathbf{B}}^2)（证毕）$$
第三主不变量：
$${\mathcal{C}}_3(\mathbf{B})=det(\mathbf{B})$$
由于
$$det(\mathbf{Q}\circ \mathbf{B})=det(\mathbf{Q}\cdot \mathbf{B}\cdot {\mathbf{Q}}^T)=det(\mathbf{Q})det({\mathbf{Q}}^T)det(\mathbf{B})=de{t}^2(\mathbf{Q})det(\mathbf{B})=det(\mathbf{B})（证毕）$$

5. 仿射量的 k 阶矩是函数值为标量的各向同性函数

二阶张量 $\mathbf{B}$ 的 $k\in N$ 阶矩：
$${\mathcal{C}}_k^{\ast }(\mathbf{B})=tr({\mathbf{B}}^k)$$
因为
$$tr[(\mathbf{Q}\circ \mathbf{B}{)}^k]=tr[(\mathbf{Q}\cdot \mathbf{B}\cdot {\mathbf{Q}}^T{)}^k]=tr(\mathbf{Q}\cdot {\mathbf{B}}^k\cdot {\mathbf{Q}}^T)=tr({\mathbf{B}}^k\cdot {\mathbf{Q}}^T\cdot \mathbf{Q})=tr({\mathbf{B}}^k)$$
故二阶张量 $\mathbf{B}$ 的 $k$ 阶矩是各向同性标量值函数。