【通信原理】二、确知信号_确知信号的功率

一、确知信号类型

如果信号s(t)满足下述条件：
$$s(t)=s(t+T_0)-\infty <t<+\infty$$
则为周期信号最小$T_0$为此信号的周期，$\frac{1}{T_0}$为基频$f_0$

通常把信号的功率定义为电流在单位电阻上消耗的功率，s(t)代表信号电压或者电流时间波形，则能量为：
$$E={\int }_{-\infty }^{+\infty }{s}^2(t)dt$$
平均功率为：
$$E=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{+T/2}{s}^2(t)dt$$
我们将信号分为两类：

1. 能量信号：能量为有限正值，平均功率为0
2. 功率信号：能量无穷大，平均功率为正有限值

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二、信号的频域性质

功率信号的频谱

对于周期为$T_0$的函数s(t)，其频谱为下列积分变换：
$$C_n=C(n{f}_0)=\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{+T_0/2}s(t)e^{-j2\pi n{f}_{0}t}dt$$
对于$C_n$，有：
C n = { a 0 2 n = 0 1 2 ( a n − j b n ) n > 0 1 2 ( a n + j b n ) n < 0 C_n=

$$\begin{cases} \dfrac{a_0}{2}& \quad n=0\\ \\ \dfrac{1}{2}(a_n-jb_n)& \quad n>0\\ \\ \dfrac{1}{2}(a_n+jb_n)& \quad n<0\\ \end{cases}$$ Cn​=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​2a0​​21​(an​−jbn​)21​(an​+jbn​)​n=0n>0n<0​
而$a_n$与$b_n$的值为：
$$\{\begin{array}{rl}{a}_n=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{+T/2}s(t)\cos \frac{2\pi nt}{T}dt& (n=0、1、2、...)\\ & \\ b_n=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{+T/2}s(t)\sin \frac{2\pi nt}{T}dt& (n=0、1、2、...)\end{array}$$

说明$C_n$与$C_{-n}$互为共轭复数
周期性函数可以傅里叶展开为:
$$s(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{C}_n{e}^{j2\pi nt/T_0}$$

当s(t)为实函数，且为偶信号时，由函数的奇偶性可得$C_n$只有实部

能量信号的频谱密度

能量信号s(t)的傅里叶变换S(f)为频谱密度:
$$S(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }s(t)e^{-j2\pi ft}dt$$
比较周期功率信号和能量信号的频谱：

• S(f)连续，而$C_n$是离散的
• S(f)单位为(V/Hz)，$C_n$的单位为(V)
  同样的，能量信号频谱密度正频率和负频率互为共轭复数

单位门函数

r e c t ( t / τ ) = G τ ( t ) = { 1 ∣ t ∣ ≤ τ / 2 0 ∣ t ∣ ≥ τ / 2 rect(t/\tau)=G_\tau(t)= \left\{

$$\begin{aligned} 1\quad&\lvert t\rvert\leq\tau/2 \\ 0\quad&\lvert t\rvert\geq\tau/2 \\ \end{aligned}$$ \right. rect(t/τ)=Gτ​(t)={10​∣t∣≤τ/2∣t∣≥τ/2​
傅里叶变换得：
$$G_{\tau }(f)=\tau Sa(\pi f\tau )$$

冲激函数

其定义为：
{ ∫ − ∞ ∞ δ ( t ) d t = 1 δ ( t ) = 0 t ≠ 0 \left\{

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1\\ \\ \delta(t)=0\qquad t\ne0 \end{aligned}$$ \right. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​∫−∞∞​δ(t)dt=1δ(t)=0t​=0​
性质有：
$$\delta (t)=\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{k}{\pi }Sa(kt)$$
频谱密度$$\Delta (f)=1$$，故冲激函数各个频率分量均匀分布在整个频率轴上

冲激函数的筛选特性：

$$f(t_0)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-t_0)dt$$
和单位阶跃函数的关系：
$$u^{\prime }(t)=\delta (t)$$

一些常用信号的傅里叶变换

能量信号的能量频谱密度

能量信号s(t)的能量E定义为:
$$E={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^2(t)dt$$
由巴塞伐尔定理得:
$$E={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^2(t)dt={\int }_{-\infty }^{\infty }|S(f){|}^{2}df$$
能量谱密度定义为：
$$G(f)=|S(f){|}^2(J/Hz)$$

功率信号的功率谱密度

对于一个功率信号而言，其功率谱密度为：
$$P(f)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}|S_T(f){|}^2$$
则功率为：
$$P={\int }_{-\infty }^{\infty }P(f)df$$

对于周期功率信号而言，其功率谱密度结合前面得公式可得:
P ( f ) = ∑ − ∞ ∞ ∣ C ( f ) ∣ 2 δ ( f − n f 0 ) C ( f ) = { C n f = n f 0 0 e l s e P(f)=\sum_{-\infty}^{\infty}\lvert C(f)\rvert^2\delta(f-nf_0)\\ \\ C(f)=

$$\begin{cases} C_n\quad&f=nf_0\\ 0\quad&else \end{cases}$$ P(f)=−∞∑∞​∣C(f)∣2δ(f−nf0​)C(f)={Cn​0​f=nf0​else​

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三、确知信号得时域性质

能量信号的自相关函数

能量信号的自相关函数定义为：
$$R(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }s(t)s(t+\tau )dt-\infty <\tau <\infty$$
自相关函数只与时间差有关，与时间无关
自相关函数与能量谱密度得关系为一对傅里叶变换：
$$R(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }|S(f){|}^2{e}^{j2\pi f\tau }df$$

功率信号自相关函数

功率信号的自相关函数定义为：
$$R(\tau )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}s(t)s(t+\tau )dt-\infty <\tau <\infty$$
对于周期信号，自相关函数为：
$$R(\tau )=\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_0/2}s(t)s(t+\tau )dt-\infty <\tau <\infty$$
同样的，对于功率信号也有：
$$R(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }P(f)e^{j2\pi f\tau }df$$
自相关函数都为偶函数

能量信号的互相关系数

对与两个能量信号，互相关函数为：
$$R_{12}(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}_1(t)s_2(t+\tau )dt-\infty <\tau <\infty$$
表示一个能量信号延迟后与另一个能量信号得相关程度，同样也只和时间差有关。要注意两个信号相乘由顺序先后：
$$R_{21}(\tau )=R_{12}(-\tau )$$

互能量谱密度：
$$S_{12}(f)=S_1^{\ast }(f)S_2(f)$$
$R_{12}(\tau )$傅里叶变换后得到$S_{12}(f)$

功率信号的互相关函数

对与两个功率信号，互相关函数为：
$$R_{12}(\tau )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{s}_1(t)s_2(t+\tau )dt-\infty <\tau <\infty$$
对于周期信号，互相关函数为：
$$R_{12}(\tau )=\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_0/2}{s}_1(t)s_2(t+\tau )dt-\infty <\tau <\infty$$
同样的，互功率谱：
$$C_{12}=(C_n{)}_1^{\ast }(C_n{)}_2$$
$R_{12}(\tau )$$傅里叶变换后得到$$C_{12}$