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空间相关分析(三) 局部莫兰指数的理解与计算_局部莫兰指数的结果怎么看

局部莫兰指数的结果怎么看

        在上篇中,我们详细地阐述了全局莫兰指数(Global Moran’I)的含义以及具体的软件实操方法。今天,就来进一步地说明局部莫兰指数(Local Moran’I)的含义与计算。

        首先说明一下进行局部相关分析的必要性:

  1. 在全局相关分析中,如果全局莫兰指数显著,我们即可认为在该区域上存在空间相关性。但是,我们还是不知道具体在哪儿些地方存在着空间聚集现象。这个时候就需要局部莫兰指数参与帮助说明。
  2. 即使全局莫兰指数为0,在局部上也不一定就没有空间聚集现象!(上篇博客中,学生的成绩的例子足以说明,在此不再赘述)

一、公式说明

        还是先从公式入手进行理解,相比全局莫兰指数,局部莫兰指数的计算方式要简洁许多,其计算方式如下:
I i = Z i S 2 ∑ j ≠ i n w i j Z j \mathit{I_{i}=\frac{Z_{i}}{S^2}\sum\limits_{j\not=i}^{n}w_{ij}Z_{j}} Ii=S2Zij=inwijZj
        其中, Z i = y i − y ˉ Z_{i}=y_{i}-\bar{y} Zi=yiyˉ Z j = y j − y ˉ Z_{j}=y_{j}-\bar{y} Zj=yjyˉ S 2 = 1 n ∑ ( y i − y ˉ ) 2 S^2=\frac{1}{n}\sum{(y_i-\bar{y})^2} S2=n1(yiyˉ)2 w i j w_{ij} wij为空间权重值, n n n为研究区域上所有地区的总数, I i I_{i} Ii则代表第 i {i} i个地区的局部莫兰指数。为了方便理解,这里的 y i ( j ) y_{i(j)} yi(j)还是代表第 i ( j ) i(j) i(j)地区的人均GDP,并将求和号展开( S 2 S^2 S2总是正的,相当于只是对整个式子进行标准化而已,故这里省略了):
I i = ( y i − y ˉ ) [ w i 1 ( y 1 − y ˉ ) + w i 2 ( y 2 − y ˉ ) + . . . w i ( i − 1 ) ( y i − 1 − y ˉ ) + w i ( i + 1 ) ( y i + 1 − y ˉ ) + . . . + w i n ( y n − y ˉ ) ] I_{i}=(y_{i}-\bar{y})[w_{i1}(y_{1}-\bar{y})+w_{i2}(y_{2}-\bar{y})+...w_{i(i-1)}(y_{i-1}-\bar{y})+w_{i(i+1)}(y_{i+1}-\bar{y})+...+w_{in}(y_{n}-\bar{y})] Ii=(yiyˉ)[wi1(y1yˉ)+wi2(y2yˉ)+...wi(i1)(yi1yˉ)+wi(i+1)(yi+1yˉ)+...+win(ynyˉ)]

        从上式不难看出, I i I_{i} Ii的正负取决于 y i − y ˉ y_{i}-\bar{y} yiyˉ和后面那一坨。前者可反映出第 i i i个地区的经济发展水平与整个区域的平均水平之间的高低情况,后者则反映出第 i i i个地区的周边地区与整个区域水平之间的高低情况。两个式子都有高低两种可能性,两两组合,共有四种情况。

以表格的方式呈现如下:

Z i Z_{i} Zi ∑ j ≠ i n w i j Z j \sum\limits_{j\not=i}^{n}w_{ij}Z_{j} j=inwijZj I i I_{i} Ii含义
>0>0>0第i个地区经济发展水平高,周边地区发展水平高
<0<0>0第i个地区经济发展水平低,周边地区发展水平低
<0>0<0第i个地区经济发展水平低,周边地区发展水平高
>0<0<0第i个地区经济发展水平高,周边地区发展水平低

关于局部莫兰指数的范围问题在此进行说明:
大部分文献中指出的莫兰指数都是全局莫兰指数,它的范围是-1到1,而局部莫兰指数的范围是没有限制的!详细可参考王庆喜的《区域经济研究实用方法:基于Arcgis,Geoda和R运用》,如下图所示:
在这里插入图片描述

二、Moran’I散点图

当然,将上表内容以可视化的方式呈现,就得到了Moran’I散点图。以 Z i Z_{i} Zi为x轴, ∑ j ≠ i n w i j Z j \sum\limits_{j\not=i}^{n}w_{ij}Z_{j} j=inwijZj为y轴,将平面区域划分为四个象限,如下图所示:
在这里插入图片描述
这里还是以2018年人均GDP为基础数据,利用Geoda进行局部相关分析。操作过程如下:
导入空间权重矩阵——空间分析——单变量局部Moran’I分析
在这里插入图片描述
选择PGDP2018后,弹出以下对话框,这里我们先选择Moran散点图
在这里插入图片描述
细心地小伙伴可能会发现,下面这张图和全局莫兰指数得到的图是一样的!(emm.上面的那个moran’I 是全局莫兰指数,下面这些散点的横纵坐标的乘积就是各个区县的局部莫兰指数。相当于,一张图涵盖了两种指数的信息。
在这里插入图片描述
        简单对这张图分析一下:从局部相关的角度来看,第一、三象限的点明显多于第二、四象限的点,即表示"低—低"型和"高—高"型聚集的区县较"高—低"型、"低—高"型的区县更多。更简单地来说,即经济较低(高)的区县在空间上更易聚集。从差异的角度来看,若"低—低"型和"高—高"型区县数量多,即说明此时的空间差异较小。(类比,你胖,周围人也胖,是不是你就胖的不明显啦

顺便提一下,既然全局莫兰指数和局部莫兰指数都称莫兰指数,两者肯定是有关系的,数学公式表达如下:
I = ∑ i I i S 0 ∑ i Z i n I=\frac{\sum\limits_{i}I_{i}}{S_{0}\frac{\sum\limits_{i}{Z_i}}{n}} I=S0niZiiIi

更多详细的内容,有兴趣的小伙伴可参考:
Anselin L . Local Indicators of Spatial Association—LISA[J]. Geographical analysis, 1995, 27(2):93-115.

三、LISA聚集图

说到这儿,好像还没说局部莫兰指数怎么检验吧!其实,检验方法一样还是利用Z检验:
Z i = I i − E ( I i ) v a r ( I i ) Z_{i}=\frac{I_{i}-E(I_{i})}{\sqrt{var(I_{i})}} Zi=var(Ii) IiE(Ii)
其实,上面那个moran’I散点图并没有对各个区县的局部莫兰指数进行检验,LISA聚集图在就在给定的显著性水平下,对于那些通过显著性检验的区县以地图的方式呈现出来,绘制的LISA聚集图如下:

左图为重庆市区县经济发展水平LISA聚集图,右图为行政区地图

Geoda就这一点不好,没法将区县名显示在LISA聚集图上。(有该需要的可以用Arcgis实现

从上图不难看出,重庆市经济发展水平较高的都聚集在渝西南地区,经济水平较低的大多聚集在渝东北地区,少部分聚集在渝东南地区,此外,"高-低"型和"低-高"型聚集区县并没有呈现出来。(若想更全面地展现经济水平聚集情况,光是人均GDP这一个指标肯定是远远不够的)

以上就是本次分享的全部内容~

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