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空间相关分析(三) 局部莫兰指数的理解与计算_局部莫兰指数的结果怎么看
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在上篇中，我们详细地阐述了全局莫兰指数(Global Moran’I)的含义以及具体的软件实操方法。今天，就来进一步地说明局部莫兰指数(Local Moran’I)的含义与计算。
首先说明一下进行局部相关分析的必要性：
- 在全局相关分析中，如果全局莫兰指数显著，我们即可认为在该区域上存在空间相关性。但是，我们还是不知道具体在哪儿些地方存在着空间聚集现象。这个时候就需要局部莫兰指数参与帮助说明。
- 即使全局莫兰指数为0，在局部上也不一定就没有空间聚集现象！(上篇博客中，学生的成绩的例子足以说明，在此不再赘述）
一、公式说明
还是先从公式入手进行理解，相比全局莫兰指数，局部莫兰指数的计算方式要简洁许多，其计算方式如下：
I
i
=
Z
i
S
2
∑
j
≠
i
n
w
i
j
Z
j
\mathit{I_{i}=\frac{Z_{i}}{S^2}\sum\limits_{j\not=i}^{n}w_{ij}Z_{j}}
Ii=S2Zij=i∑nwijZj
其中，
Z
i
=
y
i
−
y
ˉ
Z_{i}=y_{i}-\bar{y}
Zi=yi−yˉ，
Z
j
=
y
j
−
y
ˉ
Z_{j}=y_{j}-\bar{y}
Zj=yj−yˉ，
S
2
=
1
n
∑
(
y
i
−
y
ˉ
)
2
S^2=\frac{1}{n}\sum{(y_i-\bar{y})^2}
S2=n1∑(yi−yˉ)2，
w
i
j
w_{ij}
wij为空间权重值，
n
n
n为研究区域上所有地区的总数，
I
i
I_{i}
Ii则代表第
i
{i}
i个地区的局部莫兰指数。为了方便理解，这里的
y
i
(
j
)
y_{i(j)}
yi(j)还是代表第
i
(
j
)
i(j)
i(j)地区的人均GDP，并将求和号展开（
S
2
S^2
S2总是正的，相当于只是对整个式子进行标准化而已，故这里省略了）：
I
i
=
(
y
i
−
y
ˉ
)
[
w
i
1
(
y
1
−
y
ˉ
)
+
w
i
2
(
y
2
−
y
ˉ
)
+
.
.
.
w
i
(
i
−
1
)
(
y
i
−
1
−
y
ˉ
)
+
w
i
(
i
+
1
)
(
y
i
+
1
−
y
ˉ
)
+
.
.
.
+
w
i
n
(
y
n
−
y
ˉ
)
]
I_{i}=(y_{i}-\bar{y})[w_{i1}(y_{1}-\bar{y})+w_{i2}(y_{2}-\bar{y})+...w_{i(i-1)}(y_{i-1}-\bar{y})+w_{i(i+1)}(y_{i+1}-\bar{y})+...+w_{in}(y_{n}-\bar{y})]
Ii=(yi−yˉ)[wi1(y1−yˉ)+wi2(y2−yˉ)+...wi(i−1)(yi−1−yˉ)+wi(i+1)(yi+1−yˉ)+...+win(yn−yˉ)]
从上式不难看出， I i I_{i} Ii的正负取决于 y i − y ˉ y_{i}-\bar{y} yi−yˉ和后面那一坨。前者可反映出第 i i i个地区的经济发展水平与整个区域的平均水平之间的高低情况，后者则反映出第 i i i个地区的周边地区与整个区域水平之间的高低情况。两个式子都有高低两种可能性，两两组合，共有四种情况。
以表格的方式呈现如下：
| Z i Z_{i} Zi | ∑ j ≠ i n w i j Z j \sum\limits_{j\not=i}^{n}w_{ij}Z_{j} j=i∑nwijZj | I i I_{i} Ii | 含义 |
|---|---|---|---|
| >0 | >0 | >0 | 第i个地区经济发展水平高，周边地区发展水平高 |
| <0 | <0 | >0 | 第i个地区经济发展水平低，周边地区发展水平低 |
| <0 | >0 | <0 | 第i个地区经济发展水平低，周边地区发展水平高 |
| >0 | <0 | <0 | 第i个地区经济发展水平高，周边地区发展水平低 |
关于局部莫兰指数的范围问题在此进行说明：
大部分文献中指出的莫兰指数都是全局莫兰指数，它的范围是-1到1，而局部莫兰指数的范围是没有限制的！详细可参考王庆喜的《区域经济研究实用方法:基于Arcgis,Geoda和R运用》，如下图所示：
二、Moran’I散点图
当然，将上表内容以可视化的方式呈现，就得到了Moran’I散点图。以
Z
i
Z_{i}
Zi为x轴，
∑
j
≠
i
n
w
i
j
Z
j
\sum\limits_{j\not=i}^{n}w_{ij}Z_{j}
j=i∑nwijZj为y轴，将平面区域划分为四个象限，如下图所示：
这里还是以2018年人均GDP为基础数据，利用Geoda进行局部相关分析。操作过程如下：
导入空间权重矩阵——空间分析——单变量局部Moran’I分析
选择PGDP2018后，弹出以下对话框，这里我们先选择Moran散点图
细心地小伙伴可能会发现，下面这张图和全局莫兰指数得到的图是一样的！(emm.上面的那个moran’I 是全局莫兰指数，下面这些散点的横纵坐标的乘积就是各个区县的局部莫兰指数。相当于，一张图涵盖了两种指数的信息。
简单对这张图分析一下：从局部相关的角度来看，第一、三象限的点明显多于第二、四象限的点，即表示"低—低"型和"高—高"型聚集的区县较"高—低"型、"低—高"型的区县更多。更简单地来说，即经济较低(高)的区县在空间上更易聚集。从差异的角度来看，若"低—低"型和"高—高"型区县数量多，即说明此时的空间差异较小。（类比，你胖，周围人也胖，是不是你就胖的不明显啦
顺便提一下，既然全局莫兰指数和局部莫兰指数都称莫兰指数，两者肯定是有关系的，数学公式表达如下：
I
=
∑
i
I
i
S
0
∑
i
Z
i
n
I=\frac{\sum\limits_{i}I_{i}}{S_{0}\frac{\sum\limits_{i}{Z_i}}{n}}
I=S0ni∑Zii∑Ii
更多详细的内容，有兴趣的小伙伴可参考：
Anselin L . Local Indicators of Spatial Association—LISA[J]. Geographical analysis, 1995, 27(2):93-115.
三、LISA聚集图
说到这儿，好像还没说局部莫兰指数怎么检验吧！其实，检验方法一样还是利用Z检验：
Z
i
=
I
i
−
E
(
I
i
)
v
a
r
(
I
i
)
Z_{i}=\frac{I_{i}-E(I_{i})}{\sqrt{var(I_{i})}}
Zi=var(Ii)
Ii−E(Ii)
其实，上面那个moran’I散点图并没有对各个区县的局部莫兰指数进行检验，LISA聚集图在就在给定的显著性水平下，对于那些通过显著性检验的区县以地图的方式呈现出来，绘制的LISA聚集图如下：
Geoda就这一点不好，没法将区县名显示在LISA聚集图上。(有该需要的可以用Arcgis实现
从上图不难看出，重庆市经济发展水平较高的都聚集在渝西南地区，经济水平较低的大多聚集在渝东北地区，少部分聚集在渝东南地区，此外，"高-低"型和"低-高"型聚集区县并没有呈现出来。(若想更全面地展现经济水平聚集情况，光是人均GDP这一个指标肯定是远远不够的)
以上就是本次分享的全部内容~
