几道经典的概率题_经典概率问题

1. 设某种病菌在人口中的带菌率为0.03，当检查时，由于技术及操作的不完善以及种种特殊原因，使带菌者未必会检查出阳性反应，而不带菌者也可能呈阳性反应。
 
假定：
   P(阳性 | 带菌) = 0.99，    P(阴性 | 带菌) = 0.01
   P(阳性 | 不带菌) = 0.05，   P(阴性 | 不带菌) = 0.95
 
现在某人检出阳性，问“他带菌”的概率为多少？

【解答】

  根据题意，P(带菌) = 0.03，P(不带菌) = 0.97，根据条件概率公式可得：

$$P(带菌|阳性)=\frac{P(阳性|带菌)P(带菌)}{P(阳性|带菌)P(带菌)+P(阳性|不带菌)P(不带菌)}$$

$$=\frac{0.99\times 0.03}{0.99\times 0.03+0.05\times 0.97}\approx 0.380$$

  由此可见，即使检查出阳性，也不可过早下结论，认为他一定带菌率，因为这种可能性尚不足40% 。

  不妨用同样的思路，计算一下检查结果为阴性，而实际带菌的概率：
$$P(带菌|阴性)=\frac{P(阴性|带菌)P(带菌)}{P(阴性|带菌)P(带菌)+P(阴性|不带菌)P(不带菌)}$$

$$=\frac{0.01\times 0.03}{0.01\times 0.03+0.95\times 0.97}\approx 0.0003$$

  可见，检查出阴性而实际带菌的概率大约为0.03% 。
 

2. 有三个盒子$C_1,C_2,C_3$，各有100个球，其中$C_1$盒含白球80个，红球10个，黑球10个；$C_2$盒含白球10个，红球80个，黑球10个；$C_3$盒含白球10个，红球10个，黑球80个。现在从这三个盒子里随机地抽出一个(每盒被抽的概率为1/3)，然后从所抽的盒子里随机抽出一个球(每个球被抽的概率为0.01)，结果抽的是白球。
 
问：这个球是从$C_1$中抽出的可能性有多大？

【解答】

  根据题意，我们可知：

• $P(C_1)$表示从$C_1$中取球的概率，$P(C_1)=1/3$
• $P(C_2)$表示从$C_2$中取球的概率，$P(C_2)=1/3$
• $P(C_3)$表示从$C_3$中取球的概率，$P(C_3)=1/3$
• $P(A|C_1)$表示从$C_1$中取出白球的概率，$P(A|C_1)=0.8$
• $P(A|C_2)$表示从$C_2$中取出白球的概率，$P(A|C_2)=0.1$
• $P(A|C_3)$表示从$C_3$中取出白球的概率，$P(A|C_3)=0.1$

  于是，由条件概率公式得：
$$P(C_1|A)=\frac{P(A|C_1)P(C_1)}{P(A|C_1)P(C_1)+P(A|C_2)P(C_2)+P(A|C_3)P(C_3)}$$

$$=\frac{0.8}{0.8+0.1+0.1}=0.8$$

3. 【古典概率计算】一批产品共有 $N$ 个，其中废品有 $M$ 个。现从中随机选取 $n$ 个，问“其中恰好有 $m$ 个废品”的概率是多少？

【解答】

  从 $N$ 个产品中取出 $n$ 个，不同的取法有 $C_N^n$ 种；随机选取 $n$ 个，其中恰好有 $m$ 个废品有 $C_M^m\ast C_{N-M}{/}^{n-m}$ 种取法。

  因此：
$$P(随机选取n个，其中恰好有m个废品)=\frac{C_M^m\ast C_{N-M}^{n-m}}{C_N^n}$$