
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int main()
{
     int a,b,i;
     scanf("%d",&a);
     scanf("%d",&b);
     i=fmin(a,b);
     while(i)
     {
          if(a%i==0&&b%i==0)
           break;
      i--; 
     } 
 printf("%d",i);
 return 0;
}

②欧几里得算法

辗转相除法原理：用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。这个和更相减损术有着异曲同工之处。

用辗转相除法求 GCD

即 gcd(a，b)=gcd(b，a mod b)。代码如下


int gcd(int a, int b)//一般要求a>=0,b>0.若a=b=0,代码也正确,则返回0
{
    return b? gcd(b, a% b):a;
}

这是最常用的方法,它极为高效

拉梅定理给出了复杂度分析

拉梅定理：用欧几里得算法计算两个正整数的最大公约数,需要的除法次数不会超过两个整数中较小的那个十进制数的位数的 5 倍。

推论：用欧几里得算法求 gcd(a，b),a>b,需要 O((loga)3)次位运算。

欧几里得算法的缺点是需要做取模运算,而高精度的除法取模比较耗时,此时可以使用“更相减损术

和 Stein 算法,它们只用到了减法和移位操作。

③更相减损术

定义：(如果需要对分数进行约分，那么)可以折半的话，就折半(也就是用2来约分)。如果不可以折半的话，那么就比较分母和分子的大小，用大数减去小数，互相减来减去，一直到减数与差相等为止，用这个相等的数字来约分。

算法的计算基于这一性质: gcd(a，b)=gcd(b，a-b)=gcd(a，a-b)。计算步骤:用较大的数减较小的

数,把所得的差与较小的数比较,然后继续做减法操作,直到减数与差相等为止。


int gcd(int a, int b)
{	
	while(a != b)
	{
	if(a> b)   a=a-b;
	else
		b=b-a;
	}
return a;
}

更相减损术虽然避免了欧几里得的取模计算，但是计算次数比欧几里得算法多很多,极端情况下需

要计算 O(max(a，b))次,如a=100,b=1时,需计算 100次

④Stein算法

Stein 算法是更相减损术的改进。求 gcd(a,b)时,可以分为几种情况进行优化。

(1)a 和b 都是偶数。gcd(a,b)=2gcd(a/2,b/2),计算减半。

(2)a 奇b偶。根据原理:若k和y互为质数有 gcd(kx,y)=gcd(x,b)。当k=2,b 为奇数时,有

gcd(a，b)=gcd(a/2,b),即偶数减半。表示 bb 存在2这个因子而 aa 不存在，则将 bb 除以2,，不考虑因子2；

(3)a 偶b奇。gcd(a，b)=gcd(a,b/2),

(4)a 和b 都是奇数。gcd(a,b)=gcd((a+b)/2,(a-b)/2)。

算法的结束条件仍然是 gcd(a,a)=a。

除 2 操作用移位就可以了，所以 Stein 算法只用到加减法和移位;

三 LCM

a 和b 的最小公倍数表示为 lcm(a,b),从算术基本定理推理得到。

算术基本定理：任何大于1的正整数n 都可以唯一分解为有限个的乘积；

①暴力法


#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int main()
{
     int a,b,i;
     scanf("%d",&a);
     scanf("%d",&b);
     i=fmax(a,b);
     while(i)
     {
      if(i%a==0&&i%b==0)
       break;
      i++; 
 } 
 printf("%d",i);
 return 0;
}

可以推出 gcd(a,b)lcm(a,b)=ab,即 lcm(a,b)=ab/gcd(a,b)=a/gcd(a,b)b。

注意，要先作除法再作乘法,如果先作乘法可能会溢出。

②最大公约数法


int lcm(int a, int b)
{
    return a / gcd(a,b) * b;
}

四裴蜀定理

裴蜀定理是关于 GCD的一个定理。

裴蜀定理(Bezout’s Lemma)：如果a 与b 均为整数,则有整数x和y使ax+by=gcd(a,b)。

这个等式称为Bezout 等式

推论:整数a 与b互素当且仅当存在整数 x和y,使ax+by=1.

裴蜀定理很容易证明。

可以这样理解裴蜀定理:对任意x和y, d =ax+by,d 一定是gcd(a,b)的整数倍;最小的 d 是 gcd(a,b).

例题：裴蜀定理

代码


#include<stdio.h>
#define ll long long
int gcd(int a, int b)
{	
	return b? gcd(b,a%b):a;
}
 
int main()
{
	int n,ans=0,tmp,i;
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&tmp);
		if(tmp<0)	tmp=-tmp;
		ans=gcd(ans,tmp); 
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

五算法实践

[蓝桥杯 2019 省 B] 等差数列

数学老师给小明出了一道等差数列求和的题目。但是粗心的小明忘记了一部分的数列，只记得其中 NN 个整数。

现在给出这 NN 个整数，小明想知道包含这 NN 个整数的最短的等差数列有几项？

输入描述

输入的第一行包含一个整数 NN。

第二行包含 NN 个整数 A_1,A_2,··· ,A_NA1,A2,⋅⋅⋅,AN。(注意 A_1A1 ∼ A_NAN 并不一定是按等差数列中的顺序给出)

其中，

输出描述

输出一个整数表示答案。

输入输出样例

示例


5
2 6 4 10 20

样例说明：包含 2、6、4、10、20 的最短的等差数列是 2、4、6、8、10、12、14、16、 18、20。

代码：


#include<stdio.h>
#define ll long long
ll cmp(const void *a,const void *b)
{
	return *(int *)a>*(int *)b;
}
ll gcd(ll a, ll b)
{	
	return b? gcd(b,a%b):a;
}
 
 
int main()
{
	ll n,a[100010],i,x;
	scanf("%lld",&n);
	for(i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&a[i]);
	qsort(&a[1],n,sizeof(a[1]),cmp);
	x=gcd(a[1],a[2]);
	printf("%lld",(a[n]-a[1])/x+1);
	return 0;
}

上述代码运行发现可以通过给出的样例，但其实是不对的。

代码：


#include<stdio.h>
#define ll long long
ll cmp(const void *a,const void *b)
{
	return *(int *)a>*(int *)b;
}
ll gcd(ll a, ll b)
{	
	return b? gcd(b,a%b):a;
}
 
/*
等差数列的项数公式：，an就是等差数列中的最大值，a1就是等差数列中的最小值
题目要求数列最短，因为最大值和最小值已经固定，所以要求的就是公差d
误区：数组两两之间的最小差值并非我们的公差！！！
例如：3，5，8；最小的差值是2，但是这三个数在内的等差数列其公差应该是1，
即3，4，5，6，7，8，所以这个地方我们需要对所有的差值求最大公约数
*/
int main()
{
	ll n,a[100010],i,x=0;
	scanf("%lld",&n);
	for(i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&a[i]);
	qsort(&a[1],n,sizeof(a[1]),cmp);
	for(i=2;i<=n;i++)
		x=gcd(x,a[i]-a[i-1]);
	if(x==0)
		printf("%lld",n);
	else
		printf("%lld",(a[n]-a[1])/x+1);
	return 0;
}

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GCD和LCM算法_lcm gcd

一 整除

定义

性质

二 GCD

1）定义

2）性质

3）GCD编程

①暴力法

②欧几里得算法

③更相减损术

④Stein算法

三 LCM

①暴力法

②最大公约数法

四 裴蜀定理

例题：裴蜀定理

五 算法实践

[蓝桥杯 2019 省 B] 等差数列

一整除

四裴蜀定理

五算法实践