二项分布的期望方差证明_二项分布方差的详细证明

前置技能

从组合数公式可以直接推出： $k\mathrm{C}_n^k = n\mathrm{C}_{n-1}^{k-1}$

同样地，你可以得到 $(k-1)\mathrm{C}_{n-1}^{k-1} = (n-1)\mathrm{C}_{n-2}^{k-2}$ (禁止套娃)

你还要熟悉二项式定理：

\[(p+q)^n = \sum_{k=0}^n \mathrm{C}_n^k p^k q^{n-k}

\]

你还要知道二项分布的概率和期望公式：

若 $X\sim B(n,p)$，则 $P(x = k) = C_n^k \ p^k \ (1-p)^{n- k}$，$E(X) = np$

回归正题

第一步当然是定义式啦

\[\begin{aligned}

D(X) &=\sum_{k=0}^{n}\left[k-E(X)\right]^{2} \cdot p_{k} \\

&=\sum_{k=0}^{n}(k-n p)^{2} \cdot \mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k} \\

\end{aligned}

\]

看到 $(k-np)^2$ 是不是就很想把它拆开？

\[\begin{aligned}

D(X) &=\sum_{k=0}^{n}(k^2-2knp+n^2p^2) \cdot \mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k} \\

& =\color{Red}{\sum_{k=0}^{n} k^{2} \cdot \mathrm{C}_{n