数据结构与算法——30. 广度、深度优先搜索及骑士周游问题_广度优先搜索能生成骑士周游图吗

一、广度优先搜索（Breadth First Search，BFS）

在前面的词梯问题中，在单词关系图建立完成以后，需要继续在图中寻找词梯问题的最短序列，这就需要用到“广度优先搜索（Breadth First Search，BFS）”。BFS是搜索图的最简单算法之一，也是其它一些重要的图算法的基础。

给定图G，以及开始搜索的起始顶点s。BFS搜索所有从s可到达顶点的边。而且在达到更远的距离k+1的顶点之前，BFS会找到全部距离为k的顶点。（看不懂没关系，看完后面的举例就明白了）

可以想象为以s为根，构建一棵树的过程，从顶部向下逐步增加层次。广度优先搜索能保证在增加层次之前，添加了所有兄弟节点到树中。

1. BFS算法过程

我们从fool开始搜索，从fool可以到达的顶点有foul、foil、cool、pool，完成第一轮，距离为1。然后再依次以这四个顶点为起点，寻找下一步可以到达的顶点fail、poll，完成第2轮，距离等于2。然后是第三轮……。如此反复，直到抵达目标sage为止。

但有些顶点之间的距离是不确定的，比如fool到pool，可以直接到达，距离为1；也可以通过cool到达，距离为2。

为了跟踪顶点的加入过程，并避免重复顶点，要为顶点增加3个属性：

1. 距离（distance）：从起始顶点到此顶点路径长度；
2. 前驱顶点（predecessor）：可反向追溯到起点；
3. 颜色（color）：标识了此顶点是尚未发现（白色）、已经发现（灰色）、还是已经完成探索（黑色）。

还需要用一个队列Queue来对已发现的顶点进行排列，已经发现的放到队首，完成探索的放到队尾。以此决定下一个要探索的顶点（队首顶点）。

算法过程：

从起始顶点s开始，作为刚发现的顶点，标注为灰色，距离为0，前驱为None。将s加入队列，接下来是个循环迭代过程：

1. 从队首取出一个顶点作为当前顶点；
2. 遍历当前顶点的邻接顶点；
3. 如果是尚未发现的白色顶点，则将其颜色改为灰色（已发现），距离增加1，前驱顶点为当前顶点，加入到队列中；
4. 遍历完成后，将当前顶点设置为黑色（已探索过），循环回到步骤1的队首取当前顶点。

2. python实现

def bfs(g,start):  # 参数：图，起点
  # 起点的距离设置为1
  start.setDistance(0)
  # 起点的前驱设置为None
  start.setPred(None)
  vertQueue = Queue()
  # 将起点放入队首
  vertQueue.enqueue(start)
  while (vertQueue.size() > 0):
    # 取出队列的队首元素作为当前顶点
    currentVert = vertQueue.dequeue()
    # 遍历当前顶点的邻接顶点
    for nbr in currentVert.getConnections():
      if (nbr.getColor() == 'white'):
        nbr.setColor('gray')
        nbr.setDistance(currentVert.getDistance() + 1)
        nbr.setPred(currentVert)
        vertQueue.enqueue(nbr)
    # 当前顶点探索完成，设置为黑色
    currentVert.setColor('black')

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在以FOOL为起始顶点，遍历了所有顶点，并为每个顶点着色、赋距离和前驱之后。就可以通过一个回途追溯函数来确定FOOL到任何单词顶点的最短词梯！

def traverse(y):  # y是目标单词
    x = y
    while (x.getPred()):
        print(x.getId())
        x = x.getPred()
    print(x.getId())

traverse(g.getVertex('sage'))
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3. 算法分析

BFS算法主体是两个循环的嵌套：

• while循环对每个顶点访问一次，所以是$O(|V|)$，V是顶点数量；

• 而嵌套在while中的for，由于每条边只有在其起始顶点u出队的时候才会被检查一次，而每个顶点最多出队1次，所以边最多被检查1次，一共是$O(|E|)$，E是边的数量。

综合起来BFS的时间复杂度为$O(|V|+|E|)$。

建立BFS树之后，回溯顶点到起始顶点的过程，最多为$O(|V|)$。创建单词关系图也需要时间，最多为$O(|V{|}^2)$。

二、图的应用：骑士周游问题

在一个国际象棋棋盘上，一个棋子“马”（骑士），按照“马走日”的规则，从一
个格子出发，要走遍所有棋盘格恰好一次。把一个这样的走棋序列称为一次“周游”。

在8×8的国际象棋棋盘上，合格的“周游”数量有$1.305\times 10^{35}$这么多，走棋过程中失败的周游就更多了。

采用图搜索算法，是解决骑士周游问题最容易理解和编程的方案之一，解决方案还是分为两步：

1. 首先将合法走棋次序表示为一个图；
2. 采用图搜索算法搜寻一个长度为（$行\times 列-1$）的路径，路径上包含每个顶点恰一次。

1. 构建骑士周游图

将棋盘和走棋步骤构建为图的思路：

• 将棋盘格作为顶点；
• 按照“马走日”规则的走棋步骤作为连接边；
• 建立每一个棋盘格的所有合法走棋步骤能够到达的棋盘格关系图。

比如下面的“马”，它的下一步合法移动可以表示为右边的图：

它可以走的合法格子最多8个，如果“马”最初在一个靠边的位置，那么就能走的格子就少于8个。

合法走棋位置函数：

def genLegalMoves(x,y,bdSize):
    newMoves = []
    """
    “马”走日，可以前往的格子最多有8个
    通过对“马”的当前位置（x、y）进行加减，得到合法的移动位置
    """
    moveOffsets = [(-1,-2),(-1,2),(-2,-1),(-2,1),
                   ( 1,-2),( 1,2),( 2,-1),( 2,1)]
    # 依次将偏移量加到“马”的当前位置上，保存新的位置
    for i in moveOffsets:
        newX = x + i[0]
        newY = y + i[1]
        # 确保不会走出棋盘，将落在棋盘内的移动位置，追加到合法移动列表中
        if legalCoord(newX,bdSize) and \
                        legalCoord(newY,bdSize):
            newMoves.append((newX,newY))
    return newMoves


def legalCoord(x,bdSize):
    # 确保不会走出棋盘
    if x >= 0 and x < bdSize:
        return True
    else:
        return False
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构建走棋关系图：

def knightGraph(bdSize):
    ktGraph = Graph()
    for row in range(bdSize):
       # 遍历每个格子
       for col in range(bdSize):
           nodeId = posToNodeId(row,col,bdSize)
           # 单步合法走棋
           newPositions = genLegalMoves(row,col,bdSize)
           for e in newPositions:
               nid = posToNodeId(e[0],e[1],bdSize)
               # 添加边和顶点
               ktGraph.addEdge(nodeId,nid)
    return ktGraph


def posToNodeId(row, column, board_size):
    return (row * board_size) + column
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骑士周游图：

8×8棋盘生成的图，具有336条边，相比起全连接的4096条边，仅8.2%，还是稀疏图。

2. 骑士周游问题算法实现

用于解决骑士周游问题的图搜索算法是深度优先搜索（Depth First Search）。

相比前述的广度优先搜索，其逐层建立搜索树的特点。深度优先搜索是沿着树的单支尽量深入向下搜索，如果到无法继续的程度还未找到问题解，就回溯上一层再搜索下一支。

后面会介绍DFS的两个实现算法：
一个DFS算法用于解决骑士周游问题，其特点是每个顶点仅访问一次；
另一个DFS算法更为通用，允许顶点被重复访问，可作为其它图算法的基础。

深度优先搜索解决骑士周游的关键思路：

• 如果沿着单支深入搜索到无法继续（所有合法移动都已经被走过了）时，路径长度还没有达到预定值（8×8棋盘为63），那么就清除颜色标记，返回到上一层。换一个分支继续深入搜索。
• 引入一个栈来记录路径，并实施返回上一层的回溯操作。

python代码实现：

def knightTour(n,path,u,limit):
        """
        :param n: 层次，当前走了多少步
        :param path: 路径，走过的格子
        :param u: 当前顶点
        :param limit: 搜索总深度限制，比如8*8=63
        """
        u.setColor('gray')
        # 当前顶点加入路径列表末尾（这个列表用来模拟栈）
        path.append(u)
        # 搜索深度没有到达限制时，继续深入搜索
        if n < limit:
            # 对所有合法移动逐一深入
            nbrList = list(u.getConnections())
            i = 0
            done = False
            while i < len(nbrList) and not done:
                # 选择白色未经过的顶点深入
                if nbrList[i].getColor() == 'white':
                    # 层次加1，递归深入
                    done = knightTour(n+1, path, nbrList[i], limit)
                i = i + 1
            # 都无法完成总深度，回溯，试本层下一个顶点
            if not done: 
                path.pop()
                u.setColor('white')
        else:
            done = True
        return done
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下图就是骑士周游问题的一个解：

3. 骑士周游问题算法分析与改进

（1）算法分析

上述算法的性能高度依赖于棋盘大小：
就$5\times 5$棋盘而言，约1.5秒可以得到一个周游路径。但$8\times 8$棋盘，则要半个小时以上才能得到一个解。

目前实现的算法，其复杂度为$O(k^n)$，其中n是棋盘格数目。这是一个指数时间复杂度的算法！其搜索过程表现为一个层次为n的树。

（2）算法改进

对nbrList的灵巧构造，以特定方式排列顶点访问次序。可以使得$8\times 8$棋盘的周游路径搜索时间降低到秒级！这个改进算法被特别以发明者名字命名：Warnsdorff算法。

初始算法中nbrList，直接以原始顺序来确定深度优先搜索的分支次序。新的算法，仅修改了遍历下一格的次序。将u的合法移动目标棋盘格排序为：具有最少合法移动目标的格子优先搜索：

def orderByAvail(n):
    resList = []
    for v in n.getConnections():
        if v.getColor() == 'white':
            c = 0
            for w in v.getConnections():
                if w.getColor() == 'white':
                    c = c + 1
            resList.append((c,v))
    resList.sort(key=lambda x: x[0])
    return [y[1] for y in resList]
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4. 启发式规则（heuristic）

采用先验的知识来改进算法性能的做法，称作为“启发式规则”。

启发式规则经常用于人工智能领域；可以有效地减小搜索范围、更快达到目标等等；

如棋类程序算法，会预先存入棋谱、布阵口诀、高手习惯等“启发式规则”，能够在最短时间内，从海量的棋局落子点搜索树中定位最佳落子。例如：黑白棋中的“金角银边”口诀，指导程序优先占边角位置等等

三、深度优先搜索（Depth First Search，DFS）

骑士周游问题是一种特殊的对图进行深度优先搜索，其目的是建立一个没有分支的最深的深度优先树，表现为一条线性的包含所有节点的退化树，从0开始直接到63，没有别的岔路。

通用的深度优先搜索目标是在图上进行尽量深的搜索，连接尽量多的顶点，必要时可以进行分支（创建了树）。有时候深度优先搜索会创建多棵树，称为“深度优先森林”。

深度优先搜索同样要用到顶点的“前驱”属性，来构建树或森林。另外要设置“发现时间”和“结束时间”属性：

• 前者是在第几步访问到这个顶点（设置灰色）
• 后者是在第几步完成了此顶点探索（设置黑色）

这两个新属性对后面的图算法很重要。

带有DFS算法的图实现为Graph的子类，顶点Vertex增加了成员Discovery及Finish，图Graph增加了成员time用于记录算法执行的步骤数目。

1. python代码实现

class DFSGraph(Graph):
    def __init__(self):
        super().__init__()
        self.time = 0

    def dfs(self):
        for aVertex in self:
            # 所有顶点初始化为白色
            aVertex.setColor('white')
            # 建立一棵树
            aVertex.setPred(-1)
        # 如果还有未包括的顶点，则建森林
        for aVertex in self:
            if aVertex.getColor() == 'white':
                self.dfsvisit(aVertex)

    def dfsvisit(self,startVertex):
        startVertex.setColor('gray')
        self.time += 1
        startVertex.setDiscovery(self.time)
        for nextVertex in startVertex.getConnections():
            if nextVertex.getColor() == 'white':
                nextVertex.setPred(startVertex)
                # 深度优先递归访问
                self.dfsvisit(nextVertex)
        startVertex.setColor('black')
        self.time += 1
        startVertex.setFinish(self.time)
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图解示例，灰色的为“刚刚发现或开始探索”，白色的为“未发现”，黑色的为“探索完成”：

2. 算法分析

DFS构建的树，其顶点的“发现时间”和“结束时间”属性，具有类似括号的性质：

• 一个顶点的“发现时间”总小于所有子顶点的“发现时间”；
• “结束时间”则大于所有子顶点“结束时间”；
• 比子顶点更早被发现，更晚被结束探索。

比如，上图中B的“发现时间”为2，小于C、D、E、F的“发现时间”；“结束时间”为11，大于C、D、E、F的“结束时间”。

DFS运行时间同样也包括了两方面：

• dfs函数中有两个循环，每个都是$|V|$次，所以是$O(|V|)$；
• dfsvisit函数中的循环则是对当前顶点所连接的顶点进行，而且仅有在顶点为白色的情况下才进行递归调用，所以对每条边来说只会运行一步，所以是$O(|E|)$；
• 加起来就是和BFS一样的$O(|V|+|E|)$。