插值算法_线性插值

  插值，通俗来说当在一个离散的事件中，想知道某一个位置确定的值时，就可以利用插值方式计算得到，即利用已知数据估计未知位置数值。插值的方式有很多，下面介绍几种常用的插值方式。

一、最近邻插值(Nearest Neighbour Interpolation)

  最近邻插值法也成为零阶插值法，下图是一个一维的最近邻插值原理图，坐标轴上各点 xi-1，xi，xi+1 … 两两对半等分间隔 (红色虚线划分)，以每个坐标点划分出各自的区域，最近邻插值的原理就是，各插值坐标点的值等于所在邻域坐标点的值。
  例如，插值点 x 位于坐标点 xi 的邻域，那么其值 f(x) 就等于 f(xi)。

                  图1 一维最近邻插值原理图
  对于二维情况来说，同理，只是插值位置的值由一维中的某个坐标点变为二维平面中的某点决定。如下图2所示，插值点P的值由与他位置最相近的Q11决定：

                  图2 二维最近邻插值示意图
这也是线性插值的基本原理之一。

二、单线性插值

  下图3是一个一维的线性插值示意图，不同于最近邻插值，线性插值是将坐标轴上各点 xi-1，xi，xi+1 … 的值两两直接相连为线段，得到一条连续的约束函数。在这种插值中，例如插值坐标点x，根据约束函数可以求出其值应为 f(x)。相当于两点确定一条直线，从而线段上所有点的坐标就都可以确定了。若想插值的点在确定的线段外，也可以用这种方式求得，只是这种插值方式被称为线性外插。
  因为每两个坐标点之间的约束函数曲线是一次线性的线段，对插值结果而言是“线性” 的，所以该方法称为线性插值。

                  图3 单线性插值示意图

三、双线性插值（bilinear Interpolation）

  一维中的插值推广到二维就被称为双线性插值，也就是在一个平面中求某个点的值，也就是在两个方向上各进行一次单线性插值，假如灰度值未知的插值点为P (x, y)，就是我们要求的插值点，计算方式为：

                 图4 双线性插值原理

四、三线性插值

  三线性插值就是双线性插值的三维扩展，根据周围八个点计算插值点C：

                  图5 三线性插值原理图
（1）首先在x轴上进行插值（横向），分别求出4个边界上的蓝色的点C00，C01，C10，C11；
（2）再在y轴上进行插值（纵向），得到绿色的C0和C1两点；
（3）最后在z轴上进行插值得到插值点C。

五、双三次插值（BiCubic Interpolation）

  双三次插值又叫立方卷积插值/ 双立方插值，它是利用了待求像素点在源图像中相邻的16个像素点的值，即这16个像素点的加权平均。在数值分析中，双三次插值是算是双线性插值的一种，与三线性插值不同。这种插值方法需要使用两个多项式插值三次函数，每个方向使用一个。

                 图6 双三次插值俯视原理图
  设待求插值点为图中 (i+u, j+v)，已知其周围的 16 个像素坐标点 (网格) 的灰度值，所以需要计算 16 个点各自的权重。以像素坐标点 (i, j) 为例，因为该点在 y 轴和 x 轴方向上与待求插值点 (i+u, j+v) 的距离分别为 u 和 v，权重一般利用权重核计算，权重核有很多种，包括Bicubic、Mitchell和Lanczos等，

（1）常用的Bicubic核函数：

其中a一般取-0.5，函数波形图为：

利用该核函数可以计算出周围16个像素点的权重W；
再利用插值点像素值求解公式有：

其中A、C的S(***)表示权重，代入上面的A、C，再代入f(x,y)即得到所求点的插值结果。
（2）Lanczos核函数
不同位置的权重L(x)为：

函数波形图：（不同的α值分别代表缩小和放大图像）

计算出所有16个点的权重后，对16个值取加权平均，公式如下：

x为待插值位置，i为现有采样位置，S i为现有位置的像素值，则S(x)即为插值得到的i处的插值结果。
以上过程扩展到二维情况为：

  双三次插值不仅考虑到周围四个直接相邻像素点灰度值的影响，还考虑到它们灰度值变化率的影响。因此克服了前两种方法的不足之处，能够产生比双线性插值更为平滑的边缘，计算精度很高，处理后的图像像质损失最少，效果是最佳的。

参考资料：
https://blog.csdn.net/weixin_41311617/article/details/88943092
https://blog.csdn.net/weixin_42546737/article/details/110850247
https://blog.csdn.net/weixin_42463482/article/details/82830628
https://blog.csdn.net/qq_39478403/article/details/105796249
https://blog.csdn.net/wgx571859177/article/details/78963267