ieee754双精度浮点数转换_消灭烦人的IEEE754困惑--知识梳理

引言

最近被数值计算的问题困扰，索性做一个梳理，与君分享，温故而知新。

在计算机的世界中，浮点数的表示范围有限。存在无穷多个不能用浮点数表示的数，或者说，浮点数只是近似地表示某一个数。有些情况下0.1+0.2！=0.3。

目录

1. 什么是IEEE-754？
2. 指数偏移值--阶码
3. 规约与非规约以及其它特殊值
4. 浮点数的舍入
5. 浮点数的运算----加法运算
6. 浮点数的运算----乘法运算

什么是IEEE-754？

IEEE二进制浮点数算术标准（IEEE 754）是20世纪80年代以来最广泛使用的浮点数运算标准，为许多CPU与浮点运算器所采用。这个标准定义了表示浮点数的格式（包括负零-0）与反常值（denormal number），一些特殊数值（无穷∞与非数值NaN），以及这些数值的“浮点数运算符”。 常见的四种浮点数值表示方式：单精确度（32位）、双精确度（64位）、延伸单精确度（43比特以上，很少使用）与延伸双精确度（79比特以上，通常以80位实现）。C语言的float通常是指IEEE单精确度，而double是指双精确度。

https://zh.wikipedia.org/wiki/IEEE_754​zh.wikipedia.org

我以网上能找到的ieee 754 float32在线转换器为例，简单易懂。标准的ieee 754格式由三部分组成，符号位Sign，指数项expoent，以及尾数部分mantissa。它的值可以用

指数偏移值--阶码

浮点数表示法中指数域的编码值，等于指数的实际值加上某个固定的值，IEEE 754标准规定该固定值为

以单精度浮点数为例，它的指数域是8个比特，固定偏移值是

单精度浮点数的指数部分实际取值是从-126到127。（其中-127和128被用作特殊值处理，我们一会儿会讲到）若指数实际值位12（十进制），那么在该编码模式下的编码值就为12+127=139。

你肯定心中会问？干嘛要以实际值加上固定的偏移值的办法表示浮点数的指数？？？其实好处是可以用长度为e个比特的无符号整数来表示所有的指数取值。我们常常把指数部分称为：阶码。

规约与非规约以及其它特殊值

罗列了一下，由于这种阶码+尾数的表示方式，使得浮点数的值形式有多种。

• 零：指数0，小数0；
• 非规范化：指数0，小数 大于0小于1；
• 规范化：指数
  ，小数[1,2);
• 无穷：指数
  ，小数0；
• NaN：指数
  ，小数非0。

以上规律直接总结为三条：

1. 如果指数是0并且尾数的小数部分是0，这个数±0（和符号位相关）
2. 如果指数 =
   ,并且尾数的
   小数部分是0，这个数是±∞（同样和符号位相关）
3. 如果指数 =
   ,并且尾数的
   小数部分非0，这个数表示为非数（NaN）。

在此以32位单精度浮点为例，我来列一下这些类别下的数字。懂得了这些规律后，再来看规约数的表达，其实简单的一笔。

类别 正负号 实际指数 有偏移指数 指数域 尾数域 数值

零 0 -127 0 0000 0000 000 0000 0000 0000 0000 0000 0.0

最小规约数 * -126 1 0000 0001 000 0000 0000 0000 0000 0000 ±2−126≈ ±1.18×10-38

最大的规约数 * 127 254 1111 1110 111 1111 1111 1111 1111 1111 ±(2−2−23) × 2127≈ ±3.4×1038

正无穷 0 128 255 1111 1111 000 0000 0000 0000 0000 0000 +∞

浮点数的舍入

好了，在了解数长什么样以后，再来说说舍入的问题。从硬件的角度来说，舍入是因为数bit位宽高于寄存器的bit位宽，那只能将多出来的位丢掉。实际上丢掉的方式有许多。IEEE列出了4种不同的标准：

1. round to nearest. 舍入到最接近，在一样接近的情况下偶数优先(当存在两个数一样接近的时候，则取其中的偶数（在二进制中是以0结尾的）)
2. 朝正无穷舍入 ceil（1.324） = 2
3. 朝负无穷舍入 floor（1.234）= 1
4. 朝0舍入，就是截断（int） 1.324= 1

浮点数的运算

浮点数加法

浮点数的加法运算分成下面步骤：

• 对阶： 对齐阶码，使两数的小数点位置对齐，小阶向大阶对齐。
• 尾数求和：对阶完对尾数求和。
• 规格化：尾数必须规格化成1.M的形式。
• 舍入：由于规格化的引入，必然导致精度的损失。
• 校验判断：最后一步是校验结果是否溢出。若阶码上溢则置为溢出，下溢则置为机器零。

以0.2+0.4为例：

对阶过程：

0.2 => 0 01111101 (0)11001100110011001100110

0.4 => 0 01111101 (1)10011001100110011001100

尾数求和：

(0)11001100110011001100110 + (1)10011001100110011001100 => (10)01100110011001100110010

尾数规格化：

0 01111101 (10)01100110011001100110010 => 0 01111110 (1)00110011001100110011001

注意0已经被移除了这就是舍入

校验判断

0.2 + 0.4 => 0 01111110 (1)00110011001100110011001 => 1.1999999285/2 => 0.5999999643 （并不等于0.6）

当然知道了这些 还不算，我来说说怎么做乘法。

浮点数乘法

我以这张图来说明这个过程。

浮点乘法包括符号位异或、指数相加和尾数相乘三部分。

1. 首先符号位和指数位运算相对简单，只涉及到异或操作。
2. 尾数相乘部分较复杂，涉及多个部分积的产生及累加，以及累加结果的舍入。因此，提高浮点乘法器的性能主要是针对尾数相乘部分的。现行的浮点乘法器大多采用图中的结构，由于尾数在舍入过程中可能溢出，舍入后还需要规格化，因此舍入逻辑需要两个规格化过程（即舍入前规格化和舍入后规格化）。

好了说到这儿，谁在提精度问题，直接开启fighting模式。

有关乘法器的内部设计和truncation等近似技术在神经网络冗余计算中的作用，我将在下一篇介绍中进行介绍。