零基础制作平衡小车【连载】12---平衡小车控制原理_倒立摆小车平衡控制原理

前言

截止目前，初代小车已经调试完毕，功能上只能直立，后期还会加上更多功能。

前面关于pid的内容也已经更新完毕，如果你是跟着我的教程走的话，那么现在的你最起码对PID已经有所了解了，那么后面我就主要讲解一下平衡小车的控制原理。结合理论和实践，彻底学会PID。

一、平衡小车为什么会倒？

说到这，那就不得不复习一下高中的物理知识-----受力分析。先看看下面一张图–单摆，来个受力分析：

受力分析说明：
如图所示,单摆摆长为L,摆球质量为m,从平衡位置О运动到某点A(不是最高点）时的速度为V,此时摆线拉力为T,摆角为θ。对摆球所受重力和拉力进行受力分析，此时小球应该只受两个力，一个是重力mg，一个是线的拉力T。把重力进行分解为径向分力F’( = mgcosθ）和切向分力F( = mgsinθ)：

径向:T - mgcosθ = mv’/L(径向合力充当物体做圆周运动的向心力)
切向:F= mgsinθ (切向合力充当物体做简谐运动的回复力)

径向力我们不用管，我们来分析一下切向力。
1.假设空气没有阻力
由于小球一直受到一个切向力，那么小球会一直做自有震荡运动
2.假设空气阻力很小
空气阻力会慢慢消耗切向力，小球会停下来，但是时间会很长
3.假设空气阻力很大
空气阻力会慢慢消耗切向力，小球也会停下来，但是时间先对与2会缩短

因为在空气中运动的单摆，由于受到空气的阻尼力，单摆最终会停止在垂直平衡位置。空气的阻尼力与单摆运动速度成正比，方向相反。阻尼力越大，单摆越会尽快在垂直位置稳定下来。

看到这里，我们在联想一下平衡小车，看看有什么区别。下图是平衡小车倾斜时上方某一点的受力分析：

平衡小车有个现象，当你没有上电时，小车如果机械结构比较好的情况下，在垂直的时候是可以单独直立不到的。但是只要稍微有点角度，他就会顺着这个角度加速倒下。因为在垂直的时候，小车受到的回复力=mgsinθ，而θ=0，因此回复力等于0,。此时只有一个mg和地面对小车的支撑力，两者相抵消，受力平衡，从而直立不到。但是稍微有点角度就会打破这一受力平衡。因为在它偏离平衡位置的时候，所受到的回复力与位移方向相同，而单摆却相反！因此，平衡小车便会加速偏离垂直位置，直到倒下。如何通过控制使得平衡小车能够像单摆一样，稳定在垂直位置呢？要达到这一目的，只有两个办法：一个是改变重力的方向；另一个是增加额外的受力，使得回复力与位移方向相反才行。显然能够做到的只有第二种方法。

二、平衡小车直立原理

怎么增加一个额外力使得回复力与位移方向相反呢？看下图：

让电机旋转，使得小车运动方向和倾倒方向一致。这样就能产生一个力F1，使得小车保持平衡。

那么问题来了，新手都会遇到一个问题，为啥让电机旋转，会使得小车保持平衡？知其然，更要知其所以然

解决这一问题只有一个办法----还是受力分析、在这之前呢，先给大家说一个现象，帮助大家理解。

老司机当然还是要开车呀，当你坐在车里，脚踩油门加速的时候，你会发现，你的上半身会向后仰，仿佛有个人坐在你的大腿上想放倒你。不巧的是后面有个座椅支撑着你，座椅对你产生推背感。

这一现象从物理的角度怎么解释呢？
汽车发动的瞬间你的身体因为惯性会保持静止状态，但因为你的下半身腰部以下（坐立时）都直接接触汽车，因为摩擦力的缘故会伴随车子向前移动。于是见证奇迹的时刻到了，你下半身随着车子移动，上半身因为惯性保持不动，结果就变成了下身拉动上身即出现了你所谓的身体后仰状态。类比我们的平衡小车，当电机旋转时，会产生一个力使得小车下半身向倾倒方向加速，这个力会使得上半身产生一个回复力与位移方向相反，这样就能保持平衡了。

下图为受力分析图，图中省略一部分受力，比如摩檫力、轮子对上半身的支持力等等，主要是F和-F1COSθ。

受力分析之后就能列出回复力Y的关系式了：

又因为在实际运用当中，平衡小车摆动角度很小，因此进行线性化简化。并假设负反馈控制是车轮加速度 a 与偏角 θ 成正比，比例为 k。代入公式得出：

如果比例k>g ，（ g是重力加速度）那么回复力的方向便于位移方向相反了，这样就能使小车直立了。

为了使得倒立摆能够尽快地在垂直位置稳定下来，还需要增加阻尼力。虽然存在着空气和摩擦力等阻尼力，相对阻尼力比较小。因此需要另外增加控制阻尼力。增加的阻尼力与偏角的速度成正比，方向相反。最终得出下图公式：

综上所述可得控制车轮加速度的控制算法：

式中 θ 为小车倾角，θ’ 为角速度，k 、k1 均为比例系数。

这就是小车直立环的推导过程，乍一看这个公式其实就是PD控制器。

三、速度环的引入

平衡小车的最高境界是什么？一个字：稳
怎么稳？立在那不动。怎么不动？保持直立并且速度为0（保持直立也有可能是匀速运动）。怎么速度为0？加入速度环。
加入速度环的原因还有以下两点：
1.配合直立环，让小车更加稳定
2.为后面远程遥控做基础

四、串级PID

由于速度环和直立环都是控制小车电机的转速，因此两者需串在一起。又因为平衡小车最主要的是直立，因为速度环的输出作为直立环的输入，直立环的输出最终作用到小车电机上。最终形成下图框图的形式：

总结

重点理解直立原理，受力分析图。知识点都不难，回忆回忆高中物理就能分析出来了。
至此，理论部分已经差不多了，把理论部分理解透彻，代码部分也就好理解了。代码实现见下一节。