【数理逻辑】命题和联结词 ( 命题 | 命题符号化 | 真值联结词 | 否 | 合取 | 析取 | 非真值联结词 | 蕴涵 | 等价 )_析取,合取,蕴含,等价

一. 命题 概念

1. 命题 概念

( 1 ) 命题逻辑的主要内容 ( 逻辑 推理 命题 | 最小单位 | 最简单最基本部分 )

命题逻辑的主要内容 :

• 1.逻辑, 推理 与 命题 关系 : 逻辑 主要研究 推理过程 , 推理过程 必须 依靠 命题 来表达 ;
• 2.最小单位 : 命题逻辑中 , 命题 是 最小单位 ;
• 3.最简单部分 : 命题 是 数理逻辑中 最基本 , 最简单的部分 ;

---

( 2 ) 什么是命题 ( 陈述句 | 真假 必居 且 只居 其一 )

什么是命题 :

• 1.命题概念 : 命题 是 陈述客观 外界发生事情的陈述句 ;
• 2.真假其一 : 命题是 或为真 或为假 的 陈述句 ;
• 3.命题特征 : ① 陈述句 ; ② 真假必居其一 , 只居其一 ;
• 4.命题判定的说明 : 以下两种情况是命题 ;
  • ① 针对将来发生的事 : 只要是 真假只居其一 , 并且是陈述句 , 那么这就是命题 , 虽然现在不知道是真是假 , 但是必定是 非真既假 ;
  • ② 未证明的定理 : 如 哥德巴赫猜想 , 我们 不知道其真假 , 但是其 如果证明出来 必定是非真既假 的 陈述句 , 因此也是命题 ;

---

2. 命题 举例

( 1 ) 命题举例 ( 非真即假 | 将来会知道 必是真假 | 将来会证明 必是真或假 )

下面句子都是命题 :

• 1.( 8小于10 ; ) : 陈述 8 和 10 之间的关系 , 是 真命题 ; 这件事已经发生了 ;
• 2.( 8大于10 ; ) : 陈述 8 和 10 之间的关系 , 陈述错了 , 是个假命题 ; 这件事是不可能发生的 ; 但其是 陈述句 并且 非真既假 ;
• 3.( 二十一世纪末 , 人类将住在太空 ; ) : 是陈述句 , 还没有发生 , 但肯定是非真即假 , 将来是否发生 不确定 , 但是 我们不知道 不代表不存在 , 在某个时间就会知道 , 如 二十一世纪末最后 1 秒 ;
• 4.( 任一个 > 5 的偶数可表成两个素数的和 - 哥德巴赫猜想 ) : 皇冠上的明珠 , 是一个命题 , 是陈述句 , 但现在不知道真假 ; 但是终究会证明这个猜想 ;
• 5.( $\sqrt{2}$ 的小数展开式中 12345 出现偶数多次 ; ) : 有真假 , 但是真假不知道什么时候知道 ;

---

( 2 ) 不是命题举例 ( 不是陈述句 | 没有做出判断 | 真假不确定 | 悖论 )

不是命题 :

• 1.( 8 大于 10 吗 ? ) : 不是陈述句 , 是 疑问句 ;
• 2.( 请勿吸烟 ! ) : 不是陈述句 , 是 祈使句 , 没有做出判断 , 真假不确定 ;
• 3.( X 大于 Y . ) : 是陈述句 , 但是 真假 不确定 ;
• 4.( 我正在撒谎 . - 悖论 ) : 是陈述句 , 但属于悖论 ;
  • ① 外层含义 : 如果 我在撒谎 , 这个命题为假 ; 如果 我没撒谎 , 这个命题为真 ;
  • ② 如果命题为真 : 说明我在撒谎 , 含义是 这个命题是假 , 出现了矛盾 ;
  • ③ 如果命题为假 : 说明我没有撒谎 , 含义是 这个命题是真的 , 出现了矛盾 ;

---

二. 复合命题 与 命题符号化

1. 联结词 和 复合命题

( 1 ) 复杂命题 引入 ( 复合命题真假由其组成的小命题的真假进行判断 )

复杂命题 : 由 简单命题 能 构造 更加 复杂的命题 ;

• 1.期中考试 , 张三 没有 考及格 ;
• 2.其中考试 , 张三和李四 都 考及格了 ;
• 3.其中考试 , 张三和李四中 有人 考了90分 ;
• 4.如果 张三能考 90 分 , 那么李四 也 能考 90 分 ;
• 5.张三能考 90 分 当且仅当 李四 也能考 90 分 ;

---

( 2 ) 联结词 和 复合命题

联结词 和 复合命题 :

• 1.联结词 : 上述 没有 , 如果 那么 , 等连词 成为 联结词 ;
• 2.复合命题 : 由联结词 和 命题 连接而成的 更加复杂命题 成为 复合命题 ;
• 3.简单命题 : 相对地 , 不能分解成 更简单 的命题 成为简单命题 ;
• 4.复合命题真假 : 复合命题 的 真假 完全 由 构成它 的简单命题 的 真假决定 ;
• 5.简单命题 和 复合命题 的划分 是 相对的 ;

---

2. 命题符号化

( 1 ) 命题符号化

命题符号化 :

• 1.命题符号化 : 将 命题 符号化 , 记为 $p,q,r,\cdots$ , 类似于 代数 中 使用 $a$ 代表 1 数字一样 ;

• 2.符号是变量 :

  • ① 代表数字 : 在代数中 , 使用字母 $a$ 代替 数字 , 具体代表哪个数字 并不确定 , 只知道这是个数字即可 ;
  • ② 代表命题 : 同理 , 命题符号 $p,q,r$ 代替 命题 , 具体代表哪些命题 也不确定 , 只知道这是个命题即可 ;

• 3.常元 和 变元 :

  • ① 常元 : 代数中 字母 a 确定的表示某个数字时 , 称为 常元 ;
  • ② 变元 : 代数中 字母 a 表示不确定的数字时 , 称为 变元 ;

• 4.命题常元 和 命题变元 :

  • ①命题常元 : 命题 $p$ 代表 确定 的命题时 , 称为 命题常元 ;
  • ②命题变元 : 命题 $p$ 代表 不确定 的命题时 , 称为 命题常元 ;

---

( 2 ) 命题符 取值 号化

命题 真假值 符号化 :

• 1.真 ( True ) : 记为 $1$ 或 $T$ ;
• 2.假 ( False ) : 记为 $0$ 或 $F$ ;
• 3.命题取值 : 命题变元 p 取值取值 $0$ 或 $1$ , 取值 $0$ 表示 $p$ 是真命题 , 取值 $1$ 表示 $p$ 是假命题 ;

---

三. 联结词

( 1 ) 否定联结词

否定联结词 :

• 1.定义 : 设 p 为 一个命题 , 复合命题 非p 称为 p 的否定式 , 记为 $\neg p$ ; $\neg$ 成为否定联结词 ;
• 2.真值表 : $\neg p$ 为真 此时 p 为假 ;

---

( 3 ) 合取联结词

合取联结词 :

• 1.定义 : 设 p , q 为 两个命题 , 复合命题 " p 而且 q " 称为 p , q 的合取式 , 记为 $p\wedge q$ , $\wedge$ 称为 合取联结词 ;
• 2.真值表 : $p\wedge q$ 真 当且仅当 p 与 q 同时真 ;

---

( 3 ) 析取联结词

析取联结词 :

• 1.定义 : 设 p , q 为 两个命题 , 复合命题 " p 或者 q " 称为 p , q 的析取式 , 记为 $p\vee q$ ; $\vee$ 称作 析取联结词 ;
• 2.真值表 : $p\vee q$ 为真 , 当且仅当 p 与 q 至少有一个为真 ;

• 3.举例 : 其中考试 , 张三和李四中有人考了90分 ;
  • ① p 代表 张三 考了 90分 ;
  • ② q 代表 李四考了 90 分 ;
  • ③ $p\vee q$ 代表 : 张三 和 李四中有人考了90分 ;

---

( 4 ) 蕴含联结词

蕴含联结词 :

• 1.定义 : 设 p , q 为 命题 , 复合命题 " 如果 p , 则 q " 称为 p 对 q 的 蕴涵式 , 记做 $p\to q$ , 其中 又称 p 为 此蕴涵式 的 前件 , 成 q 为 此蕴涵式 的 后件 ; $\to$ 为 蕴涵联结词 ;
• 2.真值表 : $p\to q$ 假 当且仅当 p 真 而 q 假 ;

• 3.举例 : 如果张三能考 90 分 , 那么李四也能考 90 分 ;

---

( 5 ) 等价联结词

等价联结词 :

• 1.定义 : 设 p , q 为 命题 , 复合命题 " p 当且仅当 q " 称作 p , q 的等价式 , 记做 $p\leftrightarrow q$ , $\leftrightarrow$ 记做等价联结词 ;
• 2.真值表 : $p\leftrightarrow q$ 真 当且仅当 p , q 同时为真 或 同时为假 ;

• 3.举例 : 张三能考 90 分 当且仅当 李四 也能考 90 分

---

三. 命题符号化示例

( 1 ) 命题符号化 ( 仔细看三个例子 )

命题符号化 :

• 1.铁 和 氧 化合 , 但 铁 和 氮 不化合 ;

  • ① 命题 p : 铁和氧化合 ;
  • ② 命题 q : 铁和氮化合 ;
  • ③复合命题 : $p\wedge (\neg q)$ ;

• 2.如果我下班早 , 就去商店看看 , 除非我很累 ;

  • ① 命题 p : 我下班早 ;
  • ② 命题 q : 去商店看看 ;
  • ③ 命题 r : 我很累 ;
  • ④ 复合命题 : $((\neg r)\wedge p)\to q$ : 去商店的前提 是 不累 并且 下班早 ;

• 3.李四是计算机系的学生 , 他住在312室 或 313 室 ;

  • ① 命题 p : 李四是计算机系学生 ;
  • ② 命题 q : 李四住在 312 室;
  • ③ 命题 r : 李四住在 313 室 ;
  • ④ 复合命题 : $p\wedge ((q\vee r)\wedge (\neg (q\wedge r)))$ ;注意 这里 李四 只能住在 312 或者 313 之间的一个, 不能都住进入, 因此需要将 $q\wedge r$ 的情况排除 , $\neg (q\wedge r)$ ;
  • ⑤ 复合命题 : $p\wedge ((q\wedge (\neg r))\vee ((\neg q)\wedge r))$ ; 这里 李四 住在 312 不住在 313, 李四住在 313 不住在 312 只能取其中一种情况 ;

---

( 2 ) 命题符号化 注意点 ( ① 联结词 与 日常词汇不一致 | ② 命题真假根据定义理解 | ③ 不能对号入座 | ④ 有些词也可以表示为五个联结词 )

命题符号化注意点 :

• 1.联结词与日常词汇不完全一致 : 上述 五个联结词 非 , 析取 , 合取 , 蕴涵 , 等价 , 来源于 日常使用的 相应词汇 , 但是不完全一致 ;
• 2.命题真假根据定义理解 : 联结词组成的复合命题的真假值 要根据 它们 的 定义 去理解 , 不能根据日常语言的含义去理解 , 如 肉夹馍之类的 日常含义 ;
• 3.不能对号入座 : 不要 见到 或 就表示成 $\vee$ 析取 , 如上面的住在 312 或 313 的情况 , 要考虑 只住在 312 , 只住在 313 , 同时住在 312 和 313 的情况 ;
• 4.有些词也可以表示为这五个联结词 : 如 “但是” 可以表示成 “$\wedge$” ;

---