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我是Tina表姐,毕业于中国人民大学,对数学建模的热爱让我在这一领域深耕多年。我的建模思路已经帮助了百余位学习者和参赛者在数学建模的道路上取得了显著的进步和成就。现在,我将这份宝贵的经验和知识凝练成一份全面的解题思路与代码论文集合,专为本次赛题设计,旨在帮助您深入理解数学建模的每一个环节。
让我们先来分析本次的A题!
长三角数学建模(ABC三题)完整内容可以在文章末尾领取!
本次A题的第一个问题是在西湖游船上掉落到西湖里一款华为 Mate 60 Pro 手机,可能的掉落范围以及最优搜索策略是什么。
问题 1建模:
问题1:
可能的掉落范围为手机掉落点的周围区域,最优搜索策略为通过探测器扫描水面,确定手机掉落的具体位置,再通过潜水员进行打捞。
设手机掉落点为 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0),探测器扫描半径为 r r r,则手机可能的掉落范围为以 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)为圆心, r r r为半径的圆形区域,即:
( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 ≤ r 2 (x-x_0)^2+(y-y_0)^2 \leq r^2 (x−x0)2+(y−y0)2≤r2
最优搜索策略为通过探测器扫描水面,确定手机掉落的具体位置 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0),再通过潜水员进行打捞。设探测器扫描的角度为 θ \theta θ,则探测器扫描的范围为以手机掉落点为圆心, θ \theta θ为半径的扇形区域,即:
− θ 2 ≤ arctan y − y 0 x − x 0 ≤ θ 2 -\frac{\theta}{2} \leq \arctan{\frac{y-y_0}{x-x_0}} \leq \frac{\theta}{2} −2θ≤arctanx−x0y−y0≤2θ
因此,最优搜索策略为确定探测器扫描的角度 θ \theta θ,使得扫描范围最小,即:
min
θ
θ
2
=
min
θ
arctan
y
−
y
0
x
−
x
0
\min_{\theta} \frac{\theta}{2} = \min_{\theta} \arctan{\frac{y-y_0}{x-x_0}}
θmin2θ=θminarctanx−x0y−y0
因此,最优搜索策略为通过探测器扫描水面,确定手机掉落的具体位置 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0),再通过潜水员进行打捞。
# 导入必要的库 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 定义西湖的大小和形状 lake_size = (1000, 1000) lake_shape = (100, 100) # 定义手机的大小和形状 phone_size = (10, 20) phone_shape = (1, 2) # 定义手机的掉落位置 phone_position = (500, 500) # 生成西湖的网格 lake_grid = np.zeros(lake_size) lake_grid[phone_position[0]:phone_position[0]+phone_size[0], phone_position[1]:phone_position[1]+phone_size[1]] = 1 # 可视化西湖和手机的掉落位置 plt.imshow(lake_grid, cmap='gray') plt.show() # 定义搜索策略,从手机掉落位置向四个方向搜索,每次搜索距离为手机的大小 search_strategy = [(0, phone_size[0]), (0, -phone_size[0]), (phone_size[1], 0), (-phone_size[1], 0)] # 定义搜索范围,搜索范围为手机掉落位置周围手机大小的两倍 search_range = (phone_position[0]-phone_size[0]*2, phone_position[0]+phone_size[0]*2, phone_position[1]-phone_size[1]*2, phone_position[1]+phone_size[1]*2) # 定义搜索函数 def search(grid, position, size, shape, strategy, range): # 调用搜索函数,得到搜索结果 search_result = search(lake_grid, phone_position, phone_size, phone_shape, search_strategy, search_range) # 可视化搜索结果 # 打印搜索结果 print("最优搜索策略为:", search_result)
来看问题 2:在京杭大运河拱宸桥附近,从游船上掉落到水里一款华为 Mate 60 Pro 手机,请你们研究手机可能的掉落范围以及最优搜索策略。
建模思路:
具体建模步骤:
掉落范围:假设手机掉落的位置为(x,y),游船的位置为(a,b),水的深度为h,则手机可能的掉落范围为以(a,b)为中心,半径为h的圆。
最优搜索策略:假设游船的速度为v,手机掉落的时间为t,则游船在手机掉落后的t时间内可以移动的最大距离为vt。因此,最优搜索策略为以游船为中心,半径为vt的圆内搜索,即在这个圆内移动游船,直到找到手机为止。
掉落范围:圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = h^2
最优搜索策略:圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = (vt)^2
# 导入必要的库 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.optimize import minimize # 定义西湖的水域范围 x_min = 119.913 x_max = 120.217 y_min = 30.159 y_max = 30.297 # 定义手机的掉落范围 x_phone_min = 119.913 x_phone_max = 120.217 y_phone_min = 30.159 y_phone_max = 30.297 # 定义搜索范围 # 定义搜索步长 step = 0.001 # 定义目标函数,即手机与搜索范围的距离 # 定义约束条件,即搜索范围内的点 def constraint(x): return np.array([x[0]-x_search_min, x_search_max-x[0], x[1]-y_search_min, y_search_max-x[1]]) # 定义初始点 x0 = np.array([x_search_min, y_search_min]) # 使用scipy.optimize.minimize函数进行优化 # 打印最优解 print('最优搜索点为:', res.x) # 绘制搜索范围和手机掉落范围
问题 3:在西湖游船上掉落到西湖里一张居民身份证,请你们研究该身份证可能的掉落范围以及最优搜索策略。
针对问题3,我们可以将身份证视为一个二维平面上的点,假设身份证掉落在水中后,其位置不会发生变化,即身份证在水中的位置为固定点。因此,我们可以将问题3转化为求解身份证掉落在水中的固定点的位置。
首先,我们需要确定身份证掉落在水中的可能范围。根据题目中给出的信息,我们可以假设水是静水,即没有水流的影响。此外,我们可以假设身份证掉落的位置在水面以下一定的深度范围内,即身份证不会掉落到水底下。因此,我们可以将身份证掉落的可能范围限定为一个二维平面上的圆形区域。
其次,我们需要确定身份证掉落的最优搜索策略。我们可以将水面视为一个二维平面上的网格,每个网格代表一个搜索点。假设打捞人员可以在水面上任意位置进行搜索,我们可以将搜索范围限定为一个圆形区域,该圆形区域的半径为打捞人员的搜索半径。在搜索过程中,打捞人员可以通过观察水面的变化来判断身份证的掉落位置,从而缩小搜索范围。因此,我们可以将搜索过程看作是一个由大范围到小范围的逐步缩小的过程。
综上所述,我们可以将问题3建模为一个二维平面上的搜索问题。我们可以通过调整搜索半径和搜索步长来优化搜索策略,从而提高打捞成功率。
身份证的掉落范围可以用一个长方形来表示,假设身份证的长为l,宽为w,则身份证的掉落范围可以表示为:
S = { ( x , y ) ∣ 0 ≤ x ≤ l , 0 ≤ y ≤ w } S = \{(x,y)|0 \leq x \leq l, 0 \leq y \leq w \} S={(x,y)∣0≤x≤l,0≤y≤w}
其中,x和y分别表示身份证在水平和垂直方向上的位置。由于身份证的重心位置可能不同,因此可以考虑身份证的重心位置为掉落点,即:
( x 0 , y 0 ) = ( l 2 , w 2 ) (x_0, y_0) = (\frac{l}{2}, \frac{w}{2}) (x0,y0)=(2l,2w)
因此,身份证的掉落范围可以进一步表示为:
S = { ( x , y ) ∣ x 0 − l 2 ≤ x ≤ x 0 + l 2 , y 0 − w 2 ≤ y ≤ y 0 + w 2 } S = \{(x,y)|x_0 - \frac{l}{2} \leq x \leq x_0 + \frac{l}{2}, y_0 - \frac{w}{2} \leq y \leq y_0 + \frac{w}{2} \} S={(x,y)∣x0−2l≤x≤x0+2l,y0−2w≤y≤y0+2w}
最优搜索策略为通过水中的浮力来确定身份证的位置,可以通过以下步骤来实现:
通过这种方法,打捞人员可以快速地确定身份证的位置,并成功地将其打捞出水面。
# 导入必要的库 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 定义西湖的范围 x_min, x_max = 119.85, 120.25 y_min, y_max = 30.15, 30.35 # 定义身份证的尺寸 id_width, id_height = 8.6, 5.4 # 定义搜索范围 search_range = 1 # km # 计算身份证可能的掉落范围 id_range = search_range * 1000 / 111 # 转换为经纬度 # 计算身份证可能的掉落位置 id_x_range = np.arange(x_min, x_max, id_range) id_y_range = np.arange(y_min, y_max, id_range) # 绘制身份证可能的掉落范围图 plt.figure(figsize=(10,8)) plt.scatter(id_x_range, id_y_range, s=10, c='b', marker='o') plt.xlim(x_min, x_max) plt.ylim(y_min, y_max) plt.xlabel('Longitude (°)') plt.ylabel('Latitude (°)') plt.title('Possible Range of ID Card in West Lake') plt.show() # 计算最优搜索策略 # 定义搜索步长 step = 0.01 # km # 定义搜索方向 directions = [(1, 0), (-1, 0), (0, 1), (0, -1), (1, 1), (-1, -1), (1, -1), (-1, 1)] # 定义最优搜索策略函数 def optimal_strategy(x, y): # 返回最优搜索策略 return optimal_x, optimal_y # 计算最优搜索策略 optimal_x, optimal_y = optimal_strategy(120.1, 30.2) # 绘制最优搜索策略图 # 输出最优搜索策略 print("The optimal search strategy is to start from ({:.2f}, {:.2f}) and end at ({:.2f}, {:.2f}).".format(optimal_x, optimal_y, optimal_x + id_width, optimal_y + id_height))
针对掉落在水里的手机或身份证等物品,为提升快速打捞成功率,请给打捞人员提供相关建议。
问题 4
通过以上研究,针对掉落在水里的手机或身份证等物品,为提升快速打捞成功率,请给打捞人员提供相关建议。
建议一:提前准备打捞工具
在游船上或者水边,打捞人员可以提前准备好打捞工具,如打捞网、钩子等,以便在发生物品掉落的情况下,能够快速进行打捞。
建议二:根据物品的特征选择最优打捞策略
针对不同的物品,打捞人员可以选择不同的打捞策略。例如,对于手机这类较小的物品,可以使用打捞网进行打捞;对于身份证这类较大的物品,可以使用钩子进行打捞。
建议三:根据水域情况选择最优打捞策略
水域的情况也会影响打捞的效率,例如水流的大小、水深等。打捞人员可以根据水域情况选择最优的打捞策略,如对于水流较大的水域,可以选择使用长杆钩子进行打捞。
建议四:利用辅助工具提升打捞成功率
打捞人员可以利用一些辅助工具来提升打捞成功率,例如使用潜水装备来进行打捞,或者使用水下摄像机来帮助定位物品的位置。
建议五:加强打捞技能培训
打捞人员可以通过加强打捞技能培训,提升他们的打捞能力和效率。例如,可以学习如何使用打捞工具、如何判断物品掉落的位置等。
建议六:建立打捞预案
景区可以建立打捞预案,明确打捞人员的职责和打捞流程,以便在发生物品掉落的情况下能够快速响应和进行打捞。同时,也可以建立打捞队伍,定期进行打捞演练,提高打捞效率和成功率。
为提升快速打捞成功率,建议打捞人员采用以下策略:
根据物品掉落的位置和水流情况,确定最可能的掉落范围。可以利用水流模拟软件,如FLUENT,来模拟水流的速度和方向,从而预测物品可能漂移的范围。
配备专业的打捞设备,如水下摄像机、水下机器人等,可以帮助打捞人员更快地定位物品的具体位置。
采用多种打捞手段,如潜水、拖网、人工打捞等,以增加打捞成功的概率。
利用水下摄像机等设备,可以帮助打捞人员更快地确定物品的具体位置,从而减少打捞时间。
对于较大的水域,可以采用分区搜索的方式,将水域划分为多个区域,然后分别进行搜索,可以有效地缩小搜索范围,提高搜索效率。
针对不同类型的物品,可以采用不同的打捞手段。例如,对于较小的物品,可以采用水下机器人进行搜索和打捞,对于较大的物品,可以采用拖网等方式进行打捞。
建立专业的打捞团队,提高打捞人员的专业水平和配合能力,从而提高打捞成功率。
打捞成功率的数学公式为:
打捞成功率 = (打捞成功次数 / 总打捞次数) * 100%
其中,总打捞次数为打捞人员进行打捞的总次数,打捞成功次数为成功打捞出物品的次数。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
# 定义打捞策略函数
def search_strategy(item, water_area):
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里面包含有本次竞赛一手资料与分析!
另外在赛中,我们也会陪大家一起解析建模比赛
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