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代数重建算法（ART）_art算法
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代数重建算法
一、算法原理
代数重建算法属于解析算法地一种，解析算法有如下特点：
- 方程的到处是连续的，到实现时才予以离散化。
- 投影数据必须完全，分布必须均匀。相邻射线间隔相等，相邻投影角度相等，投影应覆盖360度。（即使投影角度不全，数据不全，迭代类算法可能会比变换域方法有更好的结果）
- 积分路线为直线
- 重建算法效率高，重建速度快。
滤波投影算法（FBP）变换域方法计算速度快、成像精度高；缺点：投影数据齐全，不全则影响图像的质量；
ART算法首先给重建区域一个初值，一般为零，再将所得投影残值残差一个个沿其射线方向均匀地反投影回去，不断地对图像进行矫正，直到满足所需要求，然后结束迭代过程。
二、ART算法实现步骤
ART 算法公式为: x j ( k + 1 ) = x j k + λ k p i − ∑ m = 1 M a i m x m ∑ m = 1 M a i m 2 a i j x_{j}^{(k+1)} = x_{j}^{k} + \lambda^{k}\frac{p_{i} -\sum_{m = 1}^{M}a_{im}x_m }{\sum_{m=1}^{M}a_{im}^{2}a_{ij} } xj(k+1)=xjk+λk∑m=1Maim2aijpi−∑m=1Maimxm
其中，k为迭代次数，1≤i≤N .λ为松弛因子（0<λ<2）
每一个方程都要对各
x
j
x_{j}
xj的值修正一次，也就是说，第i条射线，对各个
x
j
x_{j}
xj值（该射线所通过的像素）修正了以后，再用第（i+1）条射线对各
x
j
x_{j}
xj的值进行修正，直到各
x
j
x_{j}
xj值达到收敛要求为止。
ART算法实现步骤如下：
- 给未知量 x j x_{j} xj赋初值 x j ( k ) x_{j}^{(k)} xj(k) = x j ( 0 ) x_{j}^{(0)} xj(0) (j = 1,2,3…,M)
- 计算第i个投影的估计值 p ~ i \tilde{p} _{i} p~i = ∑ j = 1 M a i j x j ( k ) \sum_{j=1}^{M}a_{ij}x_{j}^{(k)} ∑j=1Maijxj(k)
- 计算误差 △ i \bigtriangleup_i △i = p ~ \tilde{p} p~ - p ~ i \tilde{p} _{i} p~i
- 计算第j个未知量的修正值 C i j C_{ij} Cij = △ i \bigtriangleup_i △i a i j ∑ j = 1 M a i j 2 \frac{a_{ij}}{\sum_{j=1}^{M}a_{ij}^2} ∑j=1Maij2aij
- 对 x j x_{j} xj的值进行修正： x j ( k + 1 ) x_{j}^{(k+1)} xj(k+1) = x j ( k ) x_{j}^{(k)} xj(k) + λ ( k ) C i j \lambda^{(k)}C_{ij} λ(k)Cij
- 对 k = k+1；重复步骤（2）到（5），直到完成所有投影方程，即完成第一轮迭代。
- 以上一轮迭代的结果作为初值，重复到（2）到（6）进行新一轮迭代，直到取得到适合收敛要求的结果为止。
三、特点
再利用ART算法重建时，如果投影数据不足，会导致重建结果出现信息缺失、不完整的情况；分布不均会导致图像细节无法得到展现。并且在重建的过程中会出现噪声和伪影，影响图像的质量和准确性。
四、Radon变换
在ART算法中，首先需要获得图像的投影数据，即在不同方向上从不同角度获取的图像投影。Radon变换可以将二维图像转换为一维投影数据，这些数据是通过从不同角度测量图像的吸收率或密度来获得的。因此，Radon变换帮助ART算法获取了图像的投影数据，为后续的重建过程提供了必要的信息。
ART算法通过迭代地更新重建图像来逐步逼近原始图像。在每次迭代中，算法利用测量的投影数据与当前估计的图像进行比较，并更新图像以使其投影尽可能接近实际测量值。Radon变换可以将当前估计的图像投影与实际测量的投影进行比较，从而确定需要更新的图像像素值。
Radon变换还用于执行反投影操作，将投影数据转换回图像空间。在每次迭代中，算法通过将投影数据反投影到图像空间来更新图像的像素值。这有助于将投影数据中的信息反映到重建图像中，从而提高了重建的准确性。
五、ART算法步骤
初始化：在ART算法中，首先需要对重建图像进行初始化。通常情况下，可以将重建图像的所有像素值初始化为零或其他适当的值。此外，还需要初始化投影数据和重建参数，如迭代次数、收敛条件等。
投影数据的处理：获取的投影数据需要被处理以适应ART算法的需求。这可能包括对数据的归一化、滤波、去噪等预处理步骤，以确保投影数据的质量和准确性。
迭代重建：ART算法是一个迭代算法，其核心是通过迭代来逐步更新重建图像以拟合投影数据。在每次迭代中，算法将当前估计的重建图像与测量的投影数据进行比较，并更新图像以减小它们之间的差异。这一过程重复进行直到满足一定的收敛条件为止。
更新重建图像：在每次迭代中，根据测量的投影数据和当前估计的重建图像，ART算法会计算新的重建图像。这通常涉及到投影和反投影操作，以及更新重建图像的像素值。
收敛性检查：在每次迭代之后，需要检查算法是否满足了收敛条件。如果满足了收敛条件，算法将停止迭代并输出最终的重建图像；否则，将继续迭代直到满足收敛条件为止。
输出结果：一旦算法收敛，将得到最终的重建图像作为输出。这个重建图像通常代表了原始图像的估计，其像素值反映了原始图像中的密度或吸收率分布。
总的来说，ART算法在获取图像数据之后，通过迭代重建的方式来逐步更新重建图像，以最小化其与测量投影数据之间的差异，并最终输出一个估计的重建图像。
