超螺旋滑模控制详细介绍（全网独家）

关于超螺旋滑模控制（或称超扭滑模控制）的论文有很多，但关于其具体的稳定性证明却少之又少，数学功底不强的人很容易在中间步骤被卡壳。因此，笔者在这里给出详尽的稳定性证明过程，一并将超螺旋滑模控制理论介绍给各位读者，希望能为各位带来一定的参考。

关于该理论的详细证明过程，笔者目前没有找到其他文章，因此本文可以算作是全网第一篇完全详细推导的文章，喜欢的读者可以收藏加点赞。

本文需要读者具有一定的滑模控制理论的知识，可以点击传送门进行学习：滑模控制理论（SMC）概述。强烈建议读者阅读完该文章后再来阅读本文！

1. 系统模型

一般地，对于非线性系统可以建立具有标准柯西形式的微分方程组。令状态量为$x=x_1,x_2={\dot{x}}_1$，则有：
{ x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = f + g ⋅ u

$$\begin{cases} \dot x_1 = x_2 \\ \dot x_2 = f + g \cdot u \end{cases}$$ {x˙1​=x2​x˙2​=f+g⋅u​与传统的滑模控制相比，超螺旋控制算法使用积分来获得实际控制量，不含高频切换量，因而系统中没有抖振。
令滑模面为$s$，只要满足如下方程：
$$\{\begin{array}{l}\dot{s}=-\lambda {\left|s\right|}^{\frac{1}{2}}\cdot sign(s)+\nu \\ \dot{\nu }=-\alpha \cdot sign(s)\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$则系统即为稳定的。

2. 控制量设计

设状态$x$的期望值为$x_d$，则跟踪误差为$e_1=x_1-x_d$ 。设$e_2={\dot{e}}_1={\dot{x}}_1-{\dot{x}}_d=x_2-{\dot{x}}_d$，并设滑模面为：
$$s=c_1{e}_1+e_2\text{\hspace{1em}(2)}$$对其求导
s ˙ = c 1 e ˙ 1 + e ˙ 2 = c 1 e 2 + f + g ⋅ u − x ¨ d

$$\begin{aligned} \dot s &= c_1 \dot e_1 + \dot e_2 \\ &= c_1 e_2 + f + g \cdot u - \ddot x_d \end{aligned}$$ s˙​=c1​e˙1​+e˙2​=c1​e2​+f+g⋅u−x¨d​​容易看出，此时如果设
$$u=g^{-1}\left(-f+{\ddot{x}}_d-c_1{e}_2-\lambda {\left|s\right|}^{\frac{1}{2}}sign(s)-\alpha \cdot sign(s)\right)\text{\hspace{1em}(3)}$$则$\dot{s}$就能具有式(1)的形式。
对于(1)中参数设定为：
$$\begin{gathered} \dot{\lambda }={\omega }_1\sqrt{\frac{{\gamma }_1}{2}}, \\ \alpha =\lambda \epsilon +\frac{1}{2}\left(\beta +4{\epsilon }^2\right)\text{\hspace{1em}(4)} \end{gathered}$$式中$\alpha ,\beta ,\epsilon ,\lambda ,{\omega }_1,{\gamma }_1$均大于零。

3. 稳定性证明

容易看出，与传统滑模控制不同的是，$u$中含有的不再是滑模面$s$，而是其多项式${\left|s\right|}^{\frac{1}{2}}sign(s)$。除此之外，在$\dot{s}$表达式中还出现了另一个参数$\nu$（式(1)）。不妨把这两者设定为新的状态变量，在此基础上设成李雅普诺夫函数。

令
{ z 1 = ∣ s ∣ 1 2 s i g n ( s ) z 2 = ν (5)

$$\begin{cases} z_1 = \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} sign(s) \\ z_2 = \nu \end{cases}$$ \tag{5} {z1​=∣s∣21​sign(s)z2​=ν​(5)则对应的各自导数为
$$\{\begin{array}{l}{\dot{z}}_1=\frac{1}{2}{\left|s\right|}^{-\frac{1}{2}}\dot{s}=\frac{1}{2}{\left|s\right|}^{-\frac{1}{2}}\left(-\lambda {\left|s\right|}^{\frac{1}{2}}sign(s)-\alpha \cdot sign(s)\right)\\ {\dot{z}}_2=\dot{\nu }=-\alpha \cdot sign(s)\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$又因为$\left|z_1\right|={\left|s\right|}^{\frac{1}{2}}$，故$\frac{1}{|z_1|}={\left|s\right|}^{-\frac{1}{2}}$。故式(6)即为
$$\{\begin{array}{l}{\dot{z}}_1=\frac{1}{2|z_1|}\left(-\lambda z_1+z_2\right)\\ {\dot{z}}_2=\dot{\nu }=-\alpha \cdot sign(s)=-\alpha \cdot sign(s)\cdot {\left|s\right|}^{\frac{1}{2}}\cdot {\left|s\right|}^{-\frac{1}{2}}=-\frac{\alpha }{|z_1|}{z}_1\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$即：
$$\{\begin{array}{l}{\dot{z}}_1=\frac{1}{2|z_1|}\left(-\lambda z_1+z_2\right)\\ {\dot{z}}_2=-\frac{\alpha }{|z_1|}{z}_1\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$设新的状态变量为
$$Z=\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\end{array}\right]$$并定义李雅普诺夫函数为
$$V_0=\left(\beta +4{\epsilon }^2\right)z_1^2+z_2^2-4\epsilon z_1{z}_2=Z^{T}PZ\text{\hspace{1em}(8)}$$其中$$P=\left[\begin{array}{cc}\beta +4{\epsilon }^2& -2\epsilon \\ -2\epsilon & 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(9)}$$
定理1：矩阵$A$正定的充要条件是矩阵$A$的所有特征根均大于零。

根据定理1不难得出矩阵$P$是正定的，因而李雅普诺夫函数$V_0\ge 0$。

3.1 李雅普诺夫函数$V_0$的求导过程

直接对(8)求导。
V ˙ 0 = 2 ( β + 4 ε 2 ) z 1 z ˙ 1 + 2 z 2 z ˙ 2 − 4 ε z 2 z ˙ 1 − 4 ε z 1 z ˙ 2 = 2 ( β + 4 ε 2 ) z 1 ⋅ 1 2 ∣ z 1 ∣ ( − λ z 1 + z 2 ) + 2 z 2 ( − α ∣ z 1 ∣ z 1 ) − 4 ε z 2 ⋅ 1 2 ∣ z 1 ∣ ( − λ z 1 + z 2 ) − 4 ε z 1 ( − α ∣ z 1 ∣ z 1 ) = − λ ∣ z 1 ∣ ( β + 4 ε 2 ) z 1 2 + 1 ∣ z 1 ∣ ( β + 4 ε 2 ) z 1 z 2 − 2 α ∣ z 1 ∣ z 1 z 2 + 2 λ ε ∣ z 1 ∣ z 1 z 2 − 2 ε ∣ z 1 ∣ z 2 2 + 4 α ε ∣ z 1 ∣ z 1 2 = 1 ∣ z 1 ∣ [ 4 α ε − λ ( β + 4 ε 2 ) ] z 1 2 + 1 ∣ z 1 ∣ [ ( β + 4 ε 2 ) − 2 α + 2 λ ε ] z 1 z 2 − 2 ε ∣ z 1 ∣ z 2 2 = 1 ∣ z 1 ∣ Z T [ 4 α ε − λ ( β + 4 ε 2 ) 1 2 ( β + 4 ε 2 ) − α + λ ε 1 2 ( β + 4 ε 2 ) − α + λ ε − 2 ε ] Z = − 1 ∣ z 1 ∣ Z T Q Z (10)

$$\begin{aligned} \dot V_0 &= 2 \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) z_1 \dot z_1 +2 z_2 \dot z_2 - 4 \varepsilon z_2 \dot z_1 - 4 \varepsilon z_1 \dot z_2 \\ &= 2 \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) z_1 \cdot \frac{1}{2 \left| z_1 \right| } \left( -\lambda z_1 + z_2 \right) + 2 z_2 \left( -\frac{\alpha}{ \left| z_1 \right| } z_1 \right) - 4 \varepsilon z_2 \cdot \frac{1}{2 \left| z_1 \right| } \left( -\lambda z_1 + z_2 \right) - 4 \varepsilon z_1 \left( -\frac{\alpha}{ \left| z_1 \right| } z_1 \right) \\ &= - \frac{\lambda}{\left| z_1 \right| } \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) z_1^2 + \frac{1}{\left| z_1 \right| } \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) z_1 z_2 - \frac{2 \alpha}{\left| z_1 \right| } z_1 z_2 + \frac{2 \lambda \varepsilon}{\left| z_1 \right| } z_1 z_2 - \frac{2 \varepsilon}{\left| z_1 \right| } z_2^2 + \frac{4 \alpha \varepsilon}{\left| z_1 \right| } z_1^2 \\ &= \frac{1}{\left| z_1 \right| } \left[ 4 \alpha \varepsilon - \lambda \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) \right] z_1^2 + \frac{1}{\left| z_1 \right| } \left[ \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) - 2 \alpha + 2 \lambda \varepsilon \right] z_1 z_2 - \frac{2 \varepsilon}{ \left| z_1 \right| } z_2^2 \\ &= \frac{1}{\left| z_1 \right| } Z^T \left[ \begin{matrix} 4 \alpha \varepsilon - \lambda \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) & \qquad \qquad \quad \frac{1}{2}\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) - \alpha + \lambda \varepsilon \\ \frac{1}{2}\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) - \alpha + \lambda \varepsilon & \qquad \qquad \quad -2 \varepsilon \end{matrix} \right] Z \\ &= -\frac{1}{\left| z_1 \right| }Z^TQZ \end{aligned}$$ \tag{10} V˙0​​=2(β+4ε2)z1​z˙1​+2z2​z˙2​−4εz2​z˙1​−4εz1​z˙2​=2(β+4ε2)z1​⋅2∣z1​∣1​(−λz1​+z2​)+2z2​(−∣z1​∣α​z1​)−4εz2​⋅2∣z1​∣1​(−λz1​+z2​)−4εz1​(−∣z1​∣α​z1​)=−∣z1​∣λ​(β+4ε2)z12​+∣z1​∣1​(β+4ε2)z1​z2​−∣z1​∣2α​z1​z2​+∣z1​∣2λε​z1​z2​−∣z1​∣2ε​z22​+∣z1​∣4αε​z12​=∣z1​∣1​[4αε−λ(β+4ε2)]z12​+∣z1​∣1​[(β+4ε2)−2α+2λε]z1​z2​−∣z1​∣2ε​z22​=∣z1​∣1​ZT[4αε−λ(β+4ε2)21​(β+4ε2)−α+λε​21​(β+4ε2)−α+λε−2ε​]Z=−∣z1​∣1​ZTQZ​(10)注意(10)中最后一个等号前加了负号。这样$Q$即为
$$Q=\left[\begin{array}{cc}-4\alpha \epsilon +\lambda \left(\beta +4{\epsilon }^2\right)& -\frac{1}{2}\left(\beta +4{\epsilon }^2\right)+\alpha -\lambda \epsilon \\ -\frac{1}{2}\left(\beta +4{\epsilon }^2\right)+\alpha -\lambda \epsilon & 2\epsilon \end{array}\right]\text{\hspace{1em}(11)}$$这样我们得到李雅普诺夫函数的导数：
$${\dot{V}}_0=-\frac{1}{\left|z_1\right|}{Z}^{T}QZ\text{\hspace{1em}(12)}$$

3.2 关于李雅普诺夫函数导数的结论（必读部分）

我们把式(11)所代表的$Q$表示为
Q = [ A B C D ] Q = \left[

$$\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}$$ \right] Q=[AC​BD​]下面开始求$Q$的特征根的一般形式。
$$\left|pI-Q\right|=\left|\begin{array}{cc}p-A& -B\\ -C& p-D\end{array}\right|=p^2-(A+D)p+AD-BC$$$$\Delta =b^2-4ac=(A+D{)}^2-4(AD-BC)=(A-D{)}^2+4BC$$特征根为
$$p_{1,2}(Q)=\frac{A+D\pm \sqrt{(A-D{)}^2+4BC}}{2}$$设两个特征根中大的为$q_{\max }(Q)$，小的为$q_{\min }(Q)$，有
$$\{\begin{array}{l}{p}_{\max }(Q)=\frac{A+D+\sqrt{(A-D{)}^2+4BC}}{2}\\ p_{\min }(Q)=\frac{A+D-\sqrt{(A-D{)}^2+4BC}}{2}\end{array}$$为方便表示，把根号部分记为$R$，进而$$p_{\min }(Q)Z^{T}Z=\frac{A+D-R}{2}\left(z_1^2+z_2^2\right)\text{\hspace{1em}(13)}$$另一方面有
$$Z^{T}QZ=A{z}_1^2+(B+C)z_1{z}_2+D{z}_2^2\text{\hspace{1em}(14)}$$为比较$p_{\min }(Q)Z^{T}Z$与$Z^{T}QZ$的大小，不妨作差：
$$\begin{array}{rl}2\left(Z^{T}QZ-p_{\min }(Q)Z^{T}Z\right)& =2A{z}_1^2+2(B+C)z_1{z}_2+2D{z}_2^2-\left[A+D-R\right](z_1^2+z_2^2)\\ & =\left(A-D+R\right)z_1^2+\left(D-A+R\right)z_2^2+2(B+C)z_1{z}_2\\ & =\left(A-D+R\right)\left[z_1^2+\frac{D-A+R}{A-D+R}{z}_2^2+\frac{2(B+C)}{A-D+R}{z}_1{z}_2\right]\\ & =\left(A-D+R\right)\left[z_1^2+\frac{(R+D-A{)}^2}{R^2-(D-A{)}^2}{z}_2^2+\frac{2(B+C)(R+D-A)}{R^2-(D-A{)}^2}{z}_1{z}_2\right]\\ & =\left(A-D+R\right)\left[z_1^2+\frac{(R+D-A{)}^2}{4BC}{z}_2^2+\frac{2(B+C)(R+D-A)}{4BC}{z}_1{z}_2\right]\\ & =\left(A-D+R\right)\left[{\left(z_1+\frac{R+D-A}{2\sqrt{BC}}{z}_2\right)}^2+\frac{2(B+C)(R+D-A)}{4BC}{z}_1{z}_2-\frac{R+D-A}{\sqrt{BC}}{z}_1{z}_2\right]\\ & =\left(A-D+R\right)\left[{\left(z_1+\frac{R+D-A}{2\sqrt{BC}}{z}_2\right)}^2+\frac{(R+D-A)(2B+2C-4\sqrt{BC})}{4BC}{z}_1{z}_2\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(15)}$$对于(15)，式中$\left(A-D+R\right)$为常数项；因此最后结果可看成由2部分组成，第一部分为完全平方式，大于等于零；而对于第二部分的分子来说又分为$R+D-A$和$2B+2C-4\sqrt{BC}$两部分。其中：
$$R+D-A=\sqrt{(A-D{)}^2+4BC}+D-A=\sqrt{(A-D{)}^2+4BC}-(A-D)\ge 0$$而根据绝对不等式$$2B+2C-4\sqrt{BC}\ge 4\sqrt{BC}-4\sqrt{BC}=0$$故式(15)的第二部分也大于等于零。

到这里我们总结可以得到：
$$Z^{T}QZ-p_{\min }(Q)Z^{T}Z\ge 0$$即$$p_{\min }(Q)Z^{T}Z\le Z^{T}QZ\text{\hspace{1em}(16)}$$同理可以得
$$p_{\max }(Q)Z^{T}Z\ge Z^{T}QZ\text{\hspace{1em}(17)}$$

3.3 李雅普诺夫函数导数的变换

式(17)是对${\dot{V}}_0=-\frac{1}{|z_1|}{Z}^{T}QZ$作出的，对于$V_0=Z^{T}PZ$同样根据式(17)有
$$\begin{gathered} p_{\max }(P)Z^{T}Z\ge Z^{T}PZ⟹ \\ {\left(Z^{T}PZ\right)}^{\frac{1}{2}}\le p_{\max }^{\frac{1}{2}}(P){\left(Z^{T}Z\right)}^{\frac{1}{2}}=p_{\max }^{\frac{1}{2}}(P)\left|\left|Z\right|\right|⟹ \\ \left|\left|Z\right|\right|\ge \frac{{\left(Z^{T}PZ\right)}^{\frac{1}{2}}}{p_{\max }^{\frac{1}{2}}(P)}=\frac{V_0^{\frac{1}{2}}}{p_{\max }^{\frac{1}{2}}(P)}\text{\hspace{1em}(18)} \end{gathered}$$另一方面
$$\left|\left|Z\right|\right|=\sqrt{z_1^2+z_2^2}=\sqrt{{\left({\left|s\right|}^{\frac{1}{2}}sign(s)\right)}^2+{\nu }^2}=\sqrt{\left|s\right|+{\nu }^2}\ge \sqrt{\left|s\right|}={\left|s\right|}^{\frac{1}{2}}=\left|z_1\right|\text{\hspace{1em}(19)}$$由(19)推出
$$\begin{gathered} \left|z_1\right|={\left|s\right|}^{\frac{1}{2}}\le \left|\left|Z\right|\right|⟹ \\ -\frac{1}{\left|z_1\right|}\le -\frac{1}{\left|\left|Z\right|\right|}\text{\hspace{1em}(20)} \end{gathered}$$又根据(16)：
V ˙ 0 = − 1 ∣ z 1 ∣ Z T Q Z ≤ − 1 ∣ z 1 ∣ p min ⁡ ( Q ) Z T Z = − 1 ∣ z 1 ∣ p min ⁡ ( Q ) ∣ ∣ Z ∣ ∣ 2 ≤ − 1 ∣ ∣ Z ∣ ∣ p min ⁡ ( Q ) ∣ ∣ Z ∣ ∣ 2 = − p min ⁡ ( Q ) ∣ ∣ Z ∣ ∣

$$\begin{aligned} \dot V_0 &= -\frac{1}{ \left| z_1 \right|} Z^T Q Z \leq -\frac{1}{ \left| z_1 \right|} p_{\min}(Q) Z^TZ \\ &= -\frac{1}{ \left| z_1 \right|} p_{\min}(Q) \left| \left| Z \right| \right| ^2 \leq - \frac{1}{\left| \left| Z \right| \right| }p_{\min}(Q) \left| \left| Z \right| \right| ^2 \\ &= -p_{\min}(Q) \left| \left| Z \right| \right| \end{aligned}$$ V˙0​​=−∣z1​∣1​ZTQZ≤−∣z1​∣1​pmin​(Q)ZTZ=−∣z1​∣1​pmin​(Q)∣∣Z∣∣2≤−∣∣Z∣∣1​pmin​(Q)∣∣Z∣∣2=−pmin​(Q)∣∣Z∣∣​再根据(18)
$${\dot{V}}_0\le -p_{\min }(Q)\left|\left|Z\right|\right|\le -p_{\min }(Q)\frac{V_0^{\frac{1}{2}}}{p_{\max }^{\frac{1}{2}}(P)}=-r{V}_0^{\frac{1}{2}}\text{\hspace{1em}(21)}$$其中
$$r=\frac{p_{\min }(Q)}{p_{\max }^{\frac{1}{2}}(P)}\text{\hspace{1em}(22)}$$
定理2：若系统的李雅普诺夫函数满足
$$\dot{V}\le -r{V}^{\frac{1}{2}},\left(r>0\right)$$则系统具有稳定性。

3.4 矩阵$Q$的正定性的保证

根据定理2，式(21)保证了系统具有李雅普诺夫稳定性。读者可能注意到，式(21)只有在$r\ge 0$的情况下才能保证系统稳定性，而根据式(22)，即需要$p_{\min }(Q)$和$p_{\max }^{\frac{1}{2}}(P)$均大于等于零。由于矩阵$P$为正定的，因此$p_{\max }^{\frac{1}{2}}(P)>0$立即得证；下面需要保证$p_{\min }(Q)>0$，即保证矩阵$Q$的正定性。

这里再次列出$Q$的表达式：
Q = [ − 4 α ε + λ ( β + 4 ε 2 ) − 1 2 ( β + 4 ε 2 ) + α − λ ε − 1 2 ( β + 4 ε 2 ) + α − λ ε 2 ε ] Q = \left[

$$\begin{matrix} -4 \alpha \varepsilon + \lambda \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) & \qquad -\frac{1}{2}\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) + \alpha - \lambda \varepsilon \\ -\frac{1}{2}\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) + \alpha - \lambda \varepsilon & \qquad 2 \varepsilon \end{matrix}$$ \right] Q=[−4αε+λ(β+4ε2)−21​(β+4ε2)+α−λε​−21​(β+4ε2)+α−λε2ε​]不妨直接取
$$\alpha =\lambda \epsilon +\frac{1}{2}\left(\beta +4{\epsilon }^2\right)\text{\hspace{1em}(23)}$$这样$Q$可以化简为一个对角矩阵
$$Q=\left[\begin{array}{cc}\left(\lambda -2\epsilon \right)\left(\beta +4{\epsilon }^2\right)-4\lambda {\epsilon }^2& 0\\ 0& 2\epsilon \end{array}\right]$$并能够一眼看出$Q$的特征根为
$$\begin{gathered} p_1(Q)=\left(\lambda -2\epsilon \right)\left(\beta +4{\epsilon }^2\right)-4\lambda {\epsilon }^2, \\ {p}_2(Q)=2\epsilon \end{gathered}$$其中$p_2(Q)=2\epsilon >0$立即得证，为保证$p_1(Q)>0$，需要有
$$\lambda >\frac{2\epsilon \left(\beta +4{\epsilon }^2\right)}{\beta }\text{\hspace{1em}(24)}$$

3.5 李雅普诺夫函数的更新

在3.4一节中给出了保证矩阵$Q$正定性的条件。由于$\alpha ,\lambda$两参数是人为给出的，因此需要把这两个因素加入到李雅普诺夫函数中，构建新的李雅普诺夫函数：
$$V=V_0+\frac{1}{2{\gamma }_1}{\left(\lambda -{\lambda }^{\ast }\right)}^2+\frac{1}{2{\gamma }_2}{\left(\alpha -{\alpha }^{\ast }\right)}^2\text{\hspace{1em}(25)}$$其中${\lambda }^{\ast },{\alpha }^{\ast }$为常数（未知）。
对其求导得下式(26)：
$$\begin{gathered} \dot{V}={\dot{V}}_0+\frac{1}{{\gamma }_1}\left(\lambda -{\lambda }^{\ast }\right)\dot{\lambda }+\frac{1}{{\gamma }_2}\left(\alpha -{\alpha }^{\ast }\right)\dot{\alpha } \\ \le -r{V}_0^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{{\gamma }_1}\left(\lambda -{\lambda }^{\ast }\right)\dot{\lambda }+\frac{1}{{\gamma }_2}\left(\alpha -{\alpha }^{\ast }\right)\dot{\alpha } \\ =-r{V}_0^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{{\gamma }_1}\left(\lambda -{\lambda }^{\ast }\right)\dot{\lambda }+\frac{1}{{\gamma }_2}\left(\alpha -{\alpha }^{\ast }\right)\dot{\alpha }-\frac{{\omega }_1}{\sqrt{2{\gamma }_1}}\left|\lambda -{\lambda }^{\ast }\right|+\frac{{\omega }_1}{\sqrt{2{\gamma }_1}}\left|\lambda -{\lambda }^{\ast }\right|-\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}\left|\alpha -{\alpha }^{\ast }\right|+\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}\left|\alpha -{\alpha }^{\ast }\right|\text{\hspace{1em}(26)} \end{gathered}$$根据${\left(x^2+y^2+z^2\right)}^{\frac{1}{2}}\le \left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|$有
$$-r{V}_0^{\frac{1}{2}}-\frac{{\omega }_1}{\sqrt{2{\gamma }_1}}\left|\lambda -{\lambda }^{\ast }\right|-\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}\left|\alpha -{\alpha }^{\ast }\right|\le -{\left[r^2{V}_0+\frac{{\omega }_1^2}{2{\gamma }_1}{\left(\lambda -{\lambda }^{\ast }\right)}^2+\frac{{\omega }_2^2}{2{\gamma }_2}{\left(\alpha -{\alpha }^{\ast }\right)}^2\right]}^{\frac{1}{2}}$$设$r,{\omega }_1,{\omega }_2$中最小的数为$n=\min (r,{\omega }_1,{\omega }_2)$，则上式为
$$\begin{gathered} -r{V}_0^{\frac{1}{2}}-\frac{{\omega }_1}{\sqrt{2{\gamma }_1}}\left|\lambda -{\lambda }^{\ast }\right|-\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}\left|\alpha -{\alpha }^{\ast }\right|\le -{\left[r^2{V}_0+\frac{{\omega }_1^2}{2{\gamma }_1}{\left(\lambda -{\lambda }^{\ast }\right)}^2+\frac{{\omega }_2^2}{2{\gamma }_2}{\left(\alpha -{\alpha }^{\ast }\right)}^2\right]}^{\frac{1}{2}} \\ \le -n{\left[V_0+\frac{1}{2{\gamma }_1}{\left(\lambda -{\lambda }^{\ast }\right)}^2+\frac{1}{2{\gamma }_2}{\left(\alpha -{\alpha }^{\ast }\right)}^2\right]}^{\frac{1}{2}} \\ =-n{V}^{\frac{1}{2}} \end{gathered}$$于是代入(26)有
$$\begin{gathered} \dot{V}\le -r{V}_0^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{{\gamma }_1}\left(\lambda -{\lambda }^{\ast }\right)\dot{\lambda }+\frac{1}{{\gamma }_2}\left(\alpha -{\alpha }^{\ast }\right)\dot{\alpha }-\frac{{\omega }_1}{\sqrt{2{\gamma }_1}}\left|\lambda -{\lambda }^{\ast }\right|+\frac{{\omega }_1}{\sqrt{2{\gamma }_1}}\left|\lambda -{\lambda }^{\ast }\right|-\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}\left|\alpha -{\alpha }^{\ast }\right|+\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}\left|\alpha -{\alpha }^{\ast }\right| \\ \le -n{V}^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{{\gamma }_1}\left(\lambda -{\lambda }^{\ast }\right)\dot{\lambda }+\frac{1}{{\gamma }_2}\left(\alpha -{\alpha }^{\ast }\right)\dot{\alpha }+\frac{{\omega }_1}{\sqrt{2{\gamma }_1}}\left|\lambda -{\lambda }^{\ast }\right|+\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}\left|\alpha -{\alpha }^{\ast }\right|\text{\hspace{1em}(27)} \end{gathered}$$由于${\lambda }^{\ast },{\alpha }^{\ast }$为常数，不妨假设恒有${\lambda }^{\ast }>\lambda ,{\alpha }^{\ast }>\alpha$。由于李雅普诺夫稳定性只要证明李雅普诺夫函数存在即可，因此总能找到这样的${\lambda }^{\ast },{\alpha }^{\ast }$，该假设是合理的。

此时式(27)为
$$\begin{gathered} \dot{V}\le -n{V}^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{{\gamma }_1}\left(\lambda -{\lambda }^{\ast }\right)\dot{\lambda }+\frac{1}{{\gamma }_2}\left(\alpha -{\alpha }^{\ast }\right)\dot{\alpha }+\frac{{\omega }_1}{\sqrt{2{\gamma }_1}}\left|\lambda -{\lambda }^{\ast }\right|+\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}\left|\alpha -{\alpha }^{\ast }\right| \\ =-n{V}^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{{\gamma }_1}\left|\lambda -{\lambda }^{\ast }\right|\dot{\lambda }-\frac{1}{{\gamma }_2}\left|\alpha -{\alpha }^{\ast }\right|\dot{\alpha }+\frac{{\omega }_1}{\sqrt{2{\gamma }_1}}\left|\lambda -{\lambda }^{\ast }\right|+\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}\left|\alpha -{\alpha }^{\ast }\right| \\ =-n{V}^{\frac{1}{2}}+\left|\lambda -{\lambda }^{\ast }\right|\left(\frac{{\omega }_1}{\sqrt{2{\gamma }_1}}-\frac{\dot{\lambda }}{{\gamma }_1}\right)+\left|\alpha -{\alpha }^{\ast }\right|\left(\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}-\frac{\dot{\alpha }}{{\gamma }_2}\right)\text{\hspace{1em}(28)} \end{gathered}$$
此时若令
$$\dot{\lambda }={\omega }_1\sqrt{\frac{{\gamma }_1}{2}}\text{\hspace{1em}(29)}$$即可使式(28)变为
$$\dot{V}\le -n{V}^{\frac{1}{2}}+\left|\alpha -{\alpha }^{\ast }\right|\left(\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}-\frac{\dot{\alpha }}{{\gamma }_2}\right)=-n{V}^{\frac{1}{2}}+\eta \text{\hspace{1em}(30)}$$其中
$$\eta =\left|\alpha -{\alpha }^{\ast }\right|\left(\frac{{\omega }_2}{\sqrt{2{\gamma }_2}}-\frac{\dot{\alpha }}{{\gamma }_2}\right)\text{\hspace{1em}(31)}$$根据定理2，式(30)使得系统具有稳定性。

3.6 系统各部分总结

系统具有如下为标准柯西形式：
{ x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = f + g ⋅ u

$$\begin{cases} \dot x_1 = x_2 \\ \dot x_2 = f + g \cdot u \end{cases}$$ {x˙1​=x2​x˙2​=f+g⋅u​设计滑模面为
$$s=c_1{e}_1+e_2$$以及控制量$u$：
$$u=g^{-1}\left(-f+{\ddot{x}}_d-c_1{e}_2-\lambda {\left|s\right|}^{\frac{1}{2}}sign(s)-\alpha \cdot sign(s)\right)$$并设计自适应律为
$$\begin{gathered} \dot{\lambda }={\omega }_1\sqrt{\frac{{\gamma }_1}{2}} \\ \lambda >\frac{2\epsilon \left(\beta +4{\epsilon }^2\right)}{\beta } \\ \alpha =\lambda \epsilon +\frac{1}{2}\left(\beta +4{\epsilon }^2\right) \end{gathered}$$则系统具有稳定性：
$$\dot{V}\le -n{V}^{\frac{1}{2}}+\eta$$

4. 总结

就笔者而言，超螺旋滑模控制内容的精髓在于巧妙设计了状态量$z_1={\left|s\right|}^{\frac{1}{2}}sign(s)$，使得后续的导数与不等式计算大大简化，很多项可以巧妙消去。此外，尽管在(29)中不等式右边有正数项$\eta$的存在，系统依然可以在一定限度内保持稳定，原因在于我们证明了$\dot{V}\le -n{V}^{\frac{1}{2}}\le 0$而非传统的$\dot{V}\le 0$，这更大程度上能够保证系统稳定性。