主子式、顺序主子式、余子式、代数余子式

作者：人工智能uu | 2024-06-29 00:15:05

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主子式

K阶子式 $^{[1]}$ (Minor)

以3阶行列式为例：

$\left|$

\begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}

$\begin{array} {ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array}$ \right|

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a_{1} b_{1} c_{1} a_{2} b_{2} c_{2} a_{3} b_{3} c_{3} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

则它的3阶子式是它本身

它的2阶子式有第1、2行和第1、2列相交处元素组成的行列式

$\left|$

\begin{array}{cc} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}

$\begin{array} {cc} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}$ \right|

∣ ∣ ∣ ∣ a_{1} b_{1} a_{2} b_{2} ∣ ∣ ∣ ∣

第1、2行和第1、3列相交处元素组成的行列式
$\left|$

\begin{array}{cc} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{array}

$\begin{array} {cc} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{array}$ \right|

∣ ∣ ∣ ∣ a_{1} b_{1} a_{3} b_{3} ∣ ∣ ∣ ∣

等等
方法就是选取 $k$ 行再选取 $k$ 列可以试着划出 $2 k$ 条线然后相交处的元素组成的新的行列式就是 $k$ 阶子式

在这里插入图片描述

K阶主子式 (Primary Minor)

在子式的基础上，要求子式包含的行序数和包含的列序数相同。
在这里插入图片描述

顺序主子式 $^{[2]}$

由 1—i 行和 1—i 列所确定的子式即为“n 阶行列式的i 阶顺序主子式”。
例如：
1阶时：取第1行，第1列
2阶时：取第1、2行，第1、2列
3阶时：取第1、2、3行，第1、2、3列
4阶时：取第1、2、3、4行，第1、2、3、4列
实际上，主子式的主对角线元素是原 n 阶行列式的主对角线元素的一部分，且顺序相同。
值得注意的是，根据定义，i 阶主子式是不唯一的，而 i 阶顺序主子式是唯一的。

余子式 & 代数余子式

在 $n$ 阶行列式中，划去元 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行与第 $j$ 列的元，剩下的元不改变原来的顺序所构成的 $n - 1$ 阶行列式称为元 $a_{ij}$ 的余子式。

数学表示上计作 $M_{ij}$ 。

$a_{ij}$ 的代数余子式： $A_{ij}= (-1)^{i+j} a_{ij}$

Reference:

[1] : candyngwh, https://zhidao.baidu.com/question/193409809.html

[2] : https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%BB%E5%AD%90%E5%BC%8F/2671796?fr=aladdin

[3]:

https://baike.baidu.com/item/%E4%BD%99%E5%AD%90%E5%BC%8F/1407550?fr=aladdin

图片来自:

Meyer, Carl D. Matrix analysis and applied linear algebra. Vol. 71. Siam, 2000.

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