线代引论：chapter4：正交（垂直）（orthogonality）_线性代数引论

1.引入：向量的垂直

1.v·w=vTw=0

2.||v||^2+||w||^2=||v+w||^2

注意：和高中的写法另有不同，1中的0是常数0不是向量，给出的点积的另外一种书写形式

2.绝对值用||v||双竖线

3.零向量和零向量垂直

2.子空间的正交：行空间和零空间正交

向量空间正交的定义：向量空间S1内所有的向量正交于另一向量空间的所有向量S2，有S1和S2正交。

1.S1和S2可以相同维度的子空间（向量分量相同）

2.两个向量空间的交集只能有一个点，就是向量都为0时。

行空间和零空间正交：

原因：row1*x=0 row2*x=0....

行空间任意向量*x都为0

同理：列空间和转置矩阵的零空间正交

（一个矩阵的列空间可以看成它转置矩阵的行空间）

正交互补：两个子空间正交，且维度相加等于向量空间维度

补充：子空间维度等于基底向量个数，向量空间维度就是向量分量个数

翻译：两个子向量的基底组合可以表示这个向量空间的所有向量。（覆盖整个向量空间了）

1. 行空间和零空间正交互补在向量空间Rn中，列空间和转置矩阵的零空间正交互补（在向量空间Rm中）

2.Ax=b；A是m*n的矩阵 ，x在向量空间Rn当中。

x可以用xn（零空间向量）+xr（行空间向量）来表示

理解：我终于知道为什么完全解是x=xn+xp

xp就是xr，使得Ax=b的一个解

矩阵的作用......

3.使得Axr=b中xr是唯一的

4.xr体现了由行变量组合变为列变量组合的转变

说明A中藏着一个可逆矩阵r*r

n独立个向量充要于组成空间Rn，他们是基底

正交互补的子空间的向量基底本身线性独立且相互也是独立的

证明独立：如果Ax=0，证明有唯一解x=0

xn+xr=0，xn*xr=0，所以：xn=xr=0

因为内部独立，所以系数只能为都为0，唯一解就是0

复习：向量基底=独立=产生空间

矩阵向量独立 Ax=0，有唯一解x=0，

Ax=b有唯一解，可解，A矩阵可逆