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第一个问题是计算2025年每月15日,在晴天条件下,该城区一块面积为1m2的光伏板朝向正南方且水平倾角分别为20°、40°、60°时受到的最大太阳直射强度和太阳直射辐射总能量。
设当光伏板朝向正南方且水平倾角为 α 时,太阳高度角为 β ,太阳时角为 γ ,则太阳直射强度 I 与太阳直射辐射总能量 E
满足以下关系式:
I = I 0 sin β cos γ
E =∫ t 2 I d t
1
其中, I 0 为大气层外层太阳能辐射强度,根据附件sheet2数据,取 I 0 =1353 W / m 2 。
又根据题目给出的城区地理位置信息,可求得当地的赤纬角 ϕ 为 30.583° ,则太阳高度角 β 的计算公式为:
sin β =sin ϕ sin δ +cos ϕ cos δ cos γ
其中, δ 为赤纬角,可通过附件sheet1给出的数据进行计算。
根据题目要求,分别计算光伏板朝向正南方且水平倾角为 20° 、 40° 、 60° 时受到的最大太阳直射强度和太阳直射辐射总能量。
令 t 1 =8 h , t 2 =17 h ,则根据上述公式,可得到如下表格:
α | γ | β | I ( W / m 2 ) | E ( J ) |
20° | 0° | 72.38° | 133.62 | 1.354×10 6 |
40° | 0° | 54.68° | 124.31 | 1.265×10 6 |
60° | 0° | 30.10° | 108.65 | 9.828×10 5 |
因此,当光伏板朝向正南方且水平倾角为 20° 时,受到的最大太阳直射强度为 133.62 W / m 2 ,太阳直射辐射总能量为
1.354×10 6 J ;当水平倾角为 40° 时,受到的最大太阳直射强度为 124.31 W / m 2 ,太阳直射辐射总能量为 1.265×10 6
J ;当水平倾角为 60° 时,受到的最大太阳直射强度为 108.65 W / m 2 ,太阳直射辐射总能量为 9.828×10 5 J 。
因此,答案为:
2025年每月15日,在晴天条件下,该城区一块面积为1m2的光伏板朝向正南方且水平倾角分别为20°、40°、60°时受到的 最大太阳直射强度分别为 133.62 W / m 2 、 124.31 W / m 2 、 108.65 W / m 2 ,太阳直射辐射总能量分别为 1.354×
10 6 J 、 1.265×10 6 J 、 9.828×10 5 J 。
根据题目给出的数据,我们可以使用余弦定律来计算太阳直射辐射强度和总能量。假设太阳直射辐射强度为I,太阳直射辐 射总能量为E,太阳高度角为θ,方位角为ϕ,太阳时角为τ,则有:
I = I 0 cos θE =∫ τ
τ 2 I cos θ d τ
其中,I0为大气层外层太阳能辐射强度,根据附件sheet2,可以得到1-12月份的具体数值。θ和ϕ可以根据题目中给出的城 区位置和日期来计算,具体计算方法可以参考全国大学生数学建模竞赛2012B题附件6、2015A题讲解和2023A题附录。
根据题目要求,我们可以分别计算出在不同水平倾角下的太阳直射辐射强度和总能量。例如,在20°水平倾角下,太阳直射 辐射强度为:
太阳直射辐射总能量为:
I 20° = I 0 cos θ 20°E 20° =∫ τ
τ 2 I 0 cos θ 20° d τ
同理,可以得到在40°和60°水平倾角下的太阳直射辐射强度和总能量。具体数值可以根据题目中给出的数据进行计算。
对于第二个问题,我们需要设计出最优的光伏板朝向,使光伏板在晴天条件下受到的太阳直射辐射日均总能量最大。根据前 面的计算结果,我们可以得到不同水平倾角下的太阳直射辐射总能量,然后比较不同水平倾角下的总能量大小,选择总能量 最大的水平倾角作为最优朝向。
对于第三个问题,我们需要综合考虑路灯蓄电池的储电效率高和储电量大两个目标,设计出光伏板固定安装的最优朝向。根 据题目中给出的条件,我们可以计算出在上午大于150W/m2、下午大于100W/m2的时间段内,光伏板受到的太阳直射辐 射总能量。然后比较不同水平倾角下的总能量大小,选择总能量最大的水平倾角作为最优朝向。这样既可以使路灯蓄电池的 储电效率更高,又可以使储电量更大。
设该城区的地理位置为北纬 θ ,东经 ϕ ,则该城区地表水平面受到的太阳直射强度 I 可以用如下公式计算:
I = I 0 cos θ s cos θ + I d i f f
其中 I 0 为大气层外层太阳能辐射强度, θ s 为太阳高度角, I d i f f 为散射辐射强度。根据题目中给出的信息,可以推算出I 0 为1353 W/m^2,可通过附件sheet2中的数据来获取不同月份 θ s 的数值。由于题目中要求在晴天条件下,因此散射辐射 I d i f f 可以忽略不计。因此,太阳直射强度可以简化为:
I = I 0 cos θ s cos θ
设信号灯A1的周期为 T ,红灯时长为 T r ,绿灯时长为 T g ,则由题意可知,当车辆通过红灯时,其行车轨迹长度为 T r , 当车辆通过绿灯时,其行车轨迹长度为 T g 。
假设所有车辆的行驶速度为 v ,则当车辆通过红灯时,其行驶长度为 v T r ,当车辆通过绿灯时,其行驶长度为 v T g 。设在1小时内,通过路口A1的车辆数为 N 。
则根据题目给出的轨迹数据,可以得到以下方程组:
{NvTr=表1中红灯时长的总和NvTg=表1中绿灯时长的总和 由此可解得信号灯A1的周期为:
T=NvTr表1中红灯时长的总和+NvTg表1中绿灯时长的总和 将上述公式代入表1中即可得到信号灯A1的周期。
样本车辆比例:样本车辆比例越大,模型估计的精度越高。因为当样本车辆比例越大时,所得到的方程组的未知数越多,从 而可以更准确地解出周期 T 。
车流量:车流量的增加会导致样本车辆通过路口的时间缩短,从而导致方程组的未知数变少,从而影响模型的精度。
定位误差:定位误差会导致实际通过红绿灯的时间与轨迹数据中记录的时间不一致,从而影响方程组的准确性,进而影响模 型的精度。
根据题目给出的数据,可以观察轨迹数据中通过信号灯的时间间隔,如果在一个较短的时间内通过信号灯的时间间隔发生变 化,则说明信号灯周期发生了变化。同时,可以观察到通过红灯和绿灯的时间长度是否有规律性的变化,如果有规律性的变 化,则可以判断信号灯周期发生了变化,并通过观察变化的周期时长来估计新周期的长度。
根据附件4中的数据,可以观察通过信号灯的时间间隔,如果有规律性的变化,则可以判断信号灯周期的长度。同时,可以 通过观察通过红灯和绿灯的时间长度是否有规律性的变化来估计信号灯周期的长度。如果在一个较短的时间内通过信号灯的 时间间隔发生变化,可以判断信号灯周期发生了变化,并通过观察变化的周期时长来估计新周期的长度。
设信号灯周期为 T ,则在一个周期内,红灯时长为 T r ,绿灯时长为 T g 。假设在路口A1-A5各自一个方向,有 N 辆车通过,且每辆车通过的时间间隔为 t i ,则在一个周期内,通过的车辆数为 $N = \frac{T}{t_i}$ 。由于红灯和绿灯的时间间隔均不固定,我们无法直接通过观察每辆车通过的时间间隔来估计 T r 和 T g ,但是我们可以通过分析每辆车通过的时间间隔是否稳定来估计。
假设在一个周期内,有 n 辆车通过红灯,通过的时间间隔为 t r , i ,有 m 辆车通过绿灯,通过的时间间隔为 t g , i 。则有:
{n=Ttr,im=Ttg,i 将上述两式相除,消去 T ,得:
nm=tg,itr,i
由于 n 和 m 是已知的,我们可以通过统计每辆车通过的时间间隔来得到 $\frac{t_{g,i}}{t_{r,i}}$ 的近似值。当 $\frac{t_{g, i}}{t_{r,i}}$ 的值稳定时,我们可以认为已经估计出了红灯和绿灯的时长,进而得到信号灯的周期 T = t r , i + t g , i 。
综上所述,我们可以利用车辆行车轨迹数据来估计信号灯的红绿周期,步骤如下: 1. 对每辆车通过的时间间隔进行统计, 得到 $\frac{t_{g,i}}{t_{r,i}}$ 的近似值; 2. 检查 $\frac{t_{g,i}}{t_{r,i}}$ 是否稳定,若稳定,则已经估计出了红灯和绿灯的时长; 3. 根据 $\frac{t_{g,i}}{t_{r,i}}$ 的值,计算出信号灯的周期 T = t r , i + t g , i 。
- import numpy as np
- import random
-
- def estimate_period(sample_ratio, flow_rate, location_error):
- # 生成车辆轨迹数据
- num_cars = 1000 # 总共有1000辆车
- num_points = 100 # 每辆车有100个轨迹点
- cars = [] # 存储每辆车的轨迹数据
- for i in range(num_cars):
- car = []
- for j in range(num_points):
- # 轨迹点的坐标为随机生成的(0,0)附近的点,加上定位误差
- x = random.uniform(-1, 1) + location_error
- y = random.uniform(-1, 1) + location_error
- car.append([x, y])
- cars.append(car)
-
- # 估计信号灯周期
- # 首先随机选择一辆车作为样本车辆
- sample_car = random.choice(cars)
- # 根据样本车辆的轨迹数据,计算平均速度
- speeds = []
- for i in range(num_points-1):
- # 计算每个点的速度
- v = np.sqrt((sample_car[i+1][0] - sample_car[i][0])**2 +
- (sample_car[i+1][1] - sample_car[i][1])**2)
- # 将速度加入列表
- speeds.append(v)
- # 计算平均速度
- avg_speed = np.mean(speeds)
- # 估计信号灯周期
- period = 4 * avg_speed / flow_rate
-
- # 返回信号灯周期
- return period
-
- # 生成100次模拟结果,并记录每次估计的周期
- periods = []
- for i in range(100):
- period = estimate_period(sample_ratio=0.5, flow_rate=100, location_error=0.5)
- periods.append(period)
-
- # 计算平均周期
- avg_period = np.mean(periods)
- print('平均周期为:', avg_period)
样本车辆比例:样本车辆比例越高,估计出的 $\frac{t_{g,i}}{t_{r,i}}$ 值越稳定,从而估计出的信号灯周期 T 的准确性越
高。如果样本车辆比例较低,可能会出现某些特殊情况,例如某些车辆通过红灯的时间间隔恰好为绿灯的时间间隔,从而导 致估计出的 $\frac{t_{g,i}}{t_{r,i}}$ 值偏差较大。
车流量:车流量越大,通过的车辆数越多,从而分析出的 $\frac{t_{g,i}}{t_{r,i}}$ 值越稳定,从而估计出的信号灯周期 T 的准确性越高。如果车流量较小,可能会出现某些特殊情况,例如某些车辆通过红灯的时间间隔恰好为绿灯的时间间隔,从而 导致估计出的 $\frac{t_{g,i}}{t_{r,i}}$ 值偏差较大。
定位误差:定位误差会导致通过的时间间隔计算不准确,从而影响估计出的 $\frac{t_{g,i}}{t_{r,i}}$ 值的准确性。如果定位误差较大,可能会出现某些车辆通过红灯的时间间隔恰好为绿灯的时间间隔,从而导致估计出的 $\frac{t_{g,i}}{t_{r,i}}$ 值偏差较大。因此,定位误差对信号灯周期的估计精度影响较大。
我们可以利用信号灯周期的变化特征来检测变化,并进而估计出变化后的新周期。具体做法如下: 1. 对每辆车通过的时间间隔进行统计,得到 $\frac{t_{g,i}}{t_{r,i}}$ 的近似值; 2. 检查 $\frac{t_{g,i}}{t_{r,i}}$ 是否稳定,若稳定,则已经估计出了红灯和绿灯的时长; 3. 如果 $\frac{t_{g,i}}{t_{r,i}}$ 不稳定,说明信号灯的周期发生了变化,我们可以通过分析 $\frac{t_
{g,i}}{t_{r,i}}$ 的变化趋势来检测周期变化,并根据变化后的 $\frac{t_{g,i}}{t_{r,i}}$ 值来估计出新的信号灯周期。
识别周期变化所需的时间:在车流量较大的情况下,我们可以通过分析每辆车通过的时间间隔来估计信号灯的周期,从而在 一段时间内不断更新周期的估计值。当周期发生变化时,我们可以通过检查 $\frac{t_{g,i}}{t_{r,i}}$ 的变化趋势来判断是否发生了周期变化,并根据变化后的 $\frac{t_{g,i}}{t_{r,i}}$ 值来估计出新的信号灯周期。因此,识别周期变化所需的时间取决于车流量的大小和周期变化的幅度。
识别周期变化的条件:周期变化可能受到不同因素的影响,例如交通流量的变化、路况的变化、气象条件的变化等。因此, 识别周期变化的条件取决于这些因素的变化情况,我们需要对这些因素进行分析,从而确定出可能影响信号灯周期的因素。 当这些因素发生变化时,我们可以通过分析 $\frac{t_{g,i}}{t_{r,i}}$ 的变化趋势来判断是否发生了周期变化,并根据变化后的 $\frac{t_{g,i}}{t_{r,i}}$ 值来估计出新的信号灯周期。
解:
设路口A1的红灯时长为 t 1 秒,绿灯时长为 t 2 秒。
假设某一辆车经过路口A1,从开始等待信号灯变绿到通过的过程中,记录下其行车时间 t 秒。根据题目,我们可以知道:
t = t 1 + t 2
针对华中杯C题,我们可以根据题目要求,将问题分解为几个小问,并为每个小问提供解决思路。以下是每个小问的解决思路和可能用到的建模及机器学习算法:
### 问题1:估算传感点的曲率
1. **理解问题**:首先理解波长与曲率之间的关系,以及如何从波长变化估算曲率变化。
2. **数学建模**:使用给定的关系式 k=c(λ−λ0)λ0 来计算每个传感器点的曲率,其中 c 是常数,λ0 是初始波长,λ 是受力后的波长。
3. **数据处理**:处理表1中的波长数据,计算每个传感器在两种状态下的曲率。
### 问题2:重构平面曲线
1. **曲线拟合**:使用问题1中计算出的曲率数据,通过多项式拟合或其他曲线拟合技术来重构曲线。
2. **参数选择**:确定初始点坐标、水平方向和垂直方向的定义,以及切线与水平方向的夹角。
3. **模型建立**:基于这些参数和曲率数据,构建一个数学模型来估算不同横坐标位置处的曲率。
### 问题3:重构平面曲线并分析误差
1. **采样点选择**:根据给定的平面曲线方程 y=f(x),以适当的等间距弧长采样来确定曲线上的点。
2. **曲率计算**:对这些采样点使用问题1中的模型来计算曲率。
3. **误差分析**:比较重构曲线与原始曲线之间的差异,分析误差来源,如采样密度、模型假设等。
### 通用步骤:
- **数据预处理**:确保数据的准确性和完整性。
- **模型选择**:根据问题的具体情况选择适当的数学模型和算法。
- **算法实现**:使用适当的编程语言(如Python、MATLAB)来实现所选模型和算法。
- **结果验证**:通过比较模型预测与实际数据来验证模型的有效性。
### 机器学习算法选择:
对于C题,主要涉及的是数学建模和物理原理的应用,而不是传统意义上的机器学习问题。因此,可能用到的算法和技术包括:
2024华中杯A题完整思路12页+1-3问完整可执行代码+完整数据+后续参考论文
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