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Bloom Filter 原理及 Google BloomFilter

作者：代码探险家 | 2024-07-21 02:11:26

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google bloomfilter

1. Bloom Filter简介

布隆过滤器 (Bloom Filter)是由Burton Howard Bloom于1970年提出，它是一种space efficient的概率型数据结构，用于判断一个元素是否在集合中。在垃圾邮件过滤的黑白名单方法、爬虫(Crawler)的网址判重模块中等等经常被用到。哈希表也能用于判断元素是否在集合中，但是布隆过滤器只需要哈希表的1/8或1/4的空间复杂度就能完成同样的问题。

1.1 Bloom Filter特点

布隆过滤器可以插入元素，但不可以删除已有元素。
Bloom Filter的这种高效是有一定代价的：在判断一个元素是否属于某个集合时，有可能会把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合（false positive）。
其中的元素越多，false positive rate(误报率)越大，但是false negative (漏报)是不可能的。
因此，Bloom Filter不适合那些“零错误”的应用场合。而在能容忍低错误率的应用场合下，Bloom Filter通过极少的错误换取了存储空间的极大节省。

2. 集合表示和元素查询

2.1 集合表示

下面我们具体来看Bloom Filter是如何用位数组表示集合的。初始状态时，Bloom Filter是一个包含m位的位数组，每一位都置为 $0$ 。

为了表达 $S={x_1, x_2,…,x_n}$ 这样一个 $n$ 个元素的集合，Bloom Filter使用 $k$ 个相互独立的哈希函数（Hash Function），它们分别将集合中的每个元素映射到 $\{1,…,m\}$ 的范围中。对任意一个元素 $x$ ，第 $i$ 个哈希函数映射的位置 $h_i(x)$ 就会被置为 $1（1≤i≤k）$ 。注意，如果一个位置多次被置为 $1$ ，那么只有第一次会起作用，后面几次将没有任何效果。在下图中， $k=3$ ，且有两个哈希函数选中同一个位置（从左边数第五位）。

2.2 元素查询

在判断 $y$ 是否属于这个集合时，我们对 $y$ 应用 $k$ 次哈希函数，如果所有 $h_i(y)$ 的位置都是 $1（1≤i≤k）$ ，那么我们就认为 $y$ 是集合中的元素，否则就认为 $y$ 不是集合中的元素。下图中 $y_1$ 就不是集合中的元素。 $y_2$ 或者属于这个集合，或者刚好是一个false positive。

3. 错误率估计

前面我们已经提到了，Bloom Filter在判断一个元素是否属于它表示的集合时会有一定的错误率（false positive rate），下面就来估计错误率的大小。在估计之前为了简化模型，我们假设 $k_n < m$ 。且各个哈希函数是完全随机的。当集合 $S = {x_1,x_2,…,x_n}$ 的所有元素都被 $k$ 个哈希函数映射到 $m$ 位的位数组中时，这个位数组中某一位还是 $0$ 的概率是：

p' = (1 - 1 m) k n \approx e - k n m (1)

$p^{'} = (1 - \frac{1}{m})^{kn}\approx e^{\frac{-kn}{m}}\tag{1}$

其中 $1/m$ 表示任意一个哈希函数选中这一位的概率（前提是哈希函数是完全随机的）， $(1-1/m)$ 表示哈希一次没有选中这一位的概率。要把 $S$ 完全映射到位数组中，需要做 $kn$ 次哈希。某一位还是 $0$ 意味着 $kn$ 次哈希都没有选中它，因此这个概率就是 $(1-1/m)$ 的 $kn$ 次方。令 $p =\frac{e^{-kn}}{m}$ 是为了简化运算，这里用到了计算 $e$ 时常用的近似：

lim x \to \infty (1 - 1 m) - x = e (2)

$\lim_{x \to \infty}(1-\frac{1}{m})^{-x}=e\tag{2}$

令 $ρ$ 为位数组中 $0$ 的比例，则 $ρ$ 的数学期望 $E(ρ)= p^{'}$ 。在 $ρ$ 已知的情况下，要求的错误率（false positive rate）为：

(1 - ρ) k \approx (1 - p') k \approx (1 - p) k (3)

$(1-ρ)^k\approx(1-p^{'})^{k}\approx(1-p)^{k}\tag{3}$

$(1-ρ)$ 为位数组中 $1$ 的比例， $(1-ρ)^k$ 就表示 $k$ 次哈希都刚好选中 $1$ 的区域，即false positive rate。上式中第二步近似在前面已经提到了，现在来看第一步近似。 $p^{'}$ 只是 $ρ$ 的数学期望，在实际中 $ρ$ 的值有可能偏离它的数学期望值。M. Mitzenmacher已经证明1 ，位数组中 $0$ 的比例非常集中地分布在它的数学期望值的附近。因此，第一步的近似得以成立。分别将 $p$ 和 $p^{'}$ 代入上式中，得：

f' = (1 - (1 - 1 m) k n) k = (1 - p') k (5)

$f^{'}=(1-(1-\frac{1}{m})^{kn})^k=(1-p^{'})^k\tag{5}$

f = (1 - e - k n m) k = (1 - p) k (6)

$f=(1-e^{\frac{-kn}{m}})^k=(1-p)^k\tag{6}$

相比 $p^{'}$ 和 $f^{'}$ ，使用 $p$ 和 $f$ 通常在分析中更为方便。

4. 最优的哈希函数个数

既然Bloom Filter要靠多个哈希函数将集合映射到位数组中，那么应该选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低呢？
这里有两个互斥的理由：如果哈希函数的个数多，那么在对一个不属于集合的元素进行查询时得到 $0$ 的概率就大；但另一方面，如果哈希函数的个数少，那么位数组中的 $0$ 就多。为了得到最优的哈希函数个数，我们需要根据上一小节中的错误率公式进行计算。

先用 $p$ 和 $f$ 进行计算。注意到 $f=e^{(k\ln(1 − e^{\frac{−kn}{m}}))}$ ，我们令 $g=k\ln(1 − e^{\frac{−kn}{m}})$ ，只要让 $g$ 取到最小， $f$ 自然也取到最小。由于 $p=e^{\frac{-kn}{m}}$ ，我们可以将 $g$ 写成

$g=k\ln(1-p)=-\frac{m}{n}\ln(p)\ln(1-p)\tag{7}$

根据对称性法则可以很容易看出当 $p=\frac{1}{2}$ ，也就是 $k=\ln2\cdot \frac{m}{n}$ 时， $g$ 取得最小值。

在这种情况下，由公式 $(6)$ 可知，最小错误率 $f=\frac{1}{2}^k=\frac{1}{2}^{\ln2\cdot \frac{m}{n}}\approx(0.6185)^{\frac{m}{n}}$ 。另外，注意到 $p$ 是位数组中某一位仍是 $0$ 的概率，所以 $p=\frac{1}{2}$ 对应着位数组中0和1各一半。换句话说，要想保持错误率低，最好让位数组有一半还空着。

需要强调的一点是， $p=\frac{1}{2}$ 时错误率最小这个结果并不依赖于近似值 $p$ 和 $f$ 。同样对于 $f^{'}=e^{(k\ln(1 − (1 − \frac{1}{m})^{kn}))}$ ， $g^{'}=k\ln(1−(1−\frac{1}{m})^{kn})$ ， $p^{'}=(1−\frac{1}{m})^{kn}$ ，我们可以将 $g^{'}$ 写成

$g^{'}=\frac{1}{n\ln(1-\frac{1}{m})}\ln(p^{'})\ln(1-p^{'})\tag{8}$

同样根据对称性法则可以得到当 $p^{'}=\frac{1}{2}$ 时， $g^{'}$ 取得最小值。

5. 位数组的大小

下面我们来看看，在不超过一定错误率的情况下，Bloom Filter至少需要多少位才能表示全集中任意 $n$ 个元素的集合。假设全集中共有 $u$ 个元素，允许的最大错误率为 $\varepsilon$ ，下面我们来求位数组的位数 $m$ 。

假设 $X$ 为全集中任取 $n$ 个元素的集合， $F(X)$ 是表示 $X$ 的位数组。那么对于集合 $X$ 中任意一个元素 $x$ ，在 $s=F(X)$ 中查询 $x$ 都能得到肯定的结果，即 $s$ 能够接受 $x$ 。显然，由于Bloom Filter引入了错误， $s$ 能够接受的不仅仅是 $X$ 中的元素，它还能够接受 $\varepsilon(u-n)$ 个false positive。因此，对于一个确定的位数组来说，它能够接受总共 $n+\varepsilon(u-n)$ 个元素。在 $n+\varepsilon(u-n)$ 个元素中， $s$ 真正表示的只有其中 $n$ 个，所以一个确定的位数组可以表示

$C_{n+\varepsilon(u-n)}^n\tag{9}$

个集合。 $m$ 位的位数组共有 $2^m$ 个不同的组合，进而可以推出， $m$ 位的位数组可以表示

$2^m \cdot C_{n+\varepsilon(u-n)}^n\tag{10}$

个集合。全集中 $n$ 个元素的集合总共有

$C_u^n\tag{11}$

个，因此要让 $m$ 位的位数组能够表示所有 $n$ 个元素的集合，必须有

$2^m \cdot C_{n+\varepsilon(u-n)}^n\geq C_u^n\tag{12}$

即：

$m\geq \log_2{\frac{C_u^n}{C_{n+\varepsilon(u-n)}^n}}\approx\log_2\frac{C_u^n}{C_{\varepsilon \cdot u}^n}\tag{13}$

上式中的近似前提是 $n$ 和 $\varepsilon u$ 相比很小，这也是实际情况中常常发生的，下面进一步简化：

$\begin{eqnarray*} \frac{C_u^n}{C_{\varepsilon \cdot u}^n}&=&\frac{\frac{u!}{n!(u-n)!}}{\frac{(\varepsilon u)!}{n!(\varepsilon u-n)!}} \\ &=&\frac{u!(\varepsilon u-n)!}{(\varepsilon u)!(u-n)!} \\ &=&\frac{\{u(u-1)(u-2)\cdots(u-n+1)(u-n)!\}(\varepsilon u-n)!}{(u-n)!\{(\varepsilon u)(\varepsilon u -1)(\varepsilon u-2)\cdots (\varepsilon u-n+1)(\varepsilon u -n)!\}} \\ &=&\frac{u(u-1)(u-2)\cdots(u-n+1)}{(\varepsilon u)(\varepsilon u -1)(\varepsilon u-2)\cdots (\varepsilon u-n+1)} \\ &=&\frac{u(u-1)(u-2)\cdots(u-n+1)}{\varepsilon ^ nu(u-\frac{1}{\varepsilon})(u-\frac{2}{\varepsilon})\cdots (u-\frac{n-1}{\varepsilon})} \\ &\geq&\frac{1}{\varepsilon ^n}\tag{14} \end{eqnarray*}$
将公式

$(14)$ 的结果带入公式

$(13)$ ，即：

$m\geq\log_2\varepsilon^{-n}=n\log_2\frac{1}{\varepsilon}\tag{15}$

根据上式，我们得出结论：在错误率不大于 $\varepsilon$ 的情况下， $m$ 至少要等于 $n\log_2\frac{1}{\varepsilon}$ 才能表示任意 $n$ 个元素的集合。

上一小节中我们曾算出当 $k=\ln2\cdot \frac{m}{n}$ 时错误率 $f$ 最小，这时 $f=\frac{1}{2}^k=\frac{1}{2}^{\frac{m}{n}\ln2}$ 。现在令 $f\leq\varepsilon$ ，可以推出

$\begin{eqnarray*} &f&\leq\varepsilon \\ &\Rightarrow& \frac{1}{2}^{\frac{m}{n}\ln2} \leq \varepsilon \\ &\Rightarrow& m\geq n\frac{\log_2\frac{1}{\varepsilon}}{\ln2}=n\log_2e\cdot \log_2\frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$

这个结果比前面我们算得的下界 $n\log_2\frac{1}{\varepsilon}$ 大了 $\log_2e\approx1.44$ 倍。这说明在哈希函数的个数取到最优时，要让错误率不超过 $\varepsilon$ ， $m$ 至少需要取到最小值的 $1.44$ 倍。

6. 总结

在计算机科学中，我们常常会碰到时间换空间或者空间换时间的情况，即为了达到某一个方面的最优而牺牲另一个方面。Bloom Filter在时间空间这两个因素之外又引入了另一个因素：错误率。在使用Bloom Filter判断一个元素是否属于某个集合时，会有一定的错误率。也就是说，有可能把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合（False Positive），但不会把属于这个集合的元素误认为不属于这个集合（False Negative）。在增加了错误率这个因素之后，Bloom Filter通过允许少量的错误来节省大量的存储空间。

自从Burton Bloom在70年代提出Bloom Filter之后，Bloom Filter就被广泛用于拼写检查和数据库系统中。近一二十年，伴随着网络的普及和发展，Bloom Filter在网络领域获得了新生，各种Bloom Filter变种和新的应用不断出现。可以预见，随着网络应用的不断深入，新的变种和应用将会继续出现，Bloom Filter必将获得更大的发展。

【完】

M. Mitzenmacher. Compressed Bloom Filters. IEEE/ACM Transactions on Networking 10:5 (2002), 604—612. ↩

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