【C 数据结构】图

• 不同存储结构对应的数据关系如下：
  • 线性表：一对一
  • 树：一对多
  • 图：多对多

【 1. 基本原理 】

• 图存储结构可细分两种表现类型，分别为无向图和有向图。

1.1 无向图

• 下图所示为存储 V1、V2、V3、V4 的 无向图 结构，从图中可以清楚的看出数据之间具有的 多对多 关系。例如，V1 与 V4 和 V2 建立着联系，V4 与 V1 和 V3 建立着联系，以此类推。
  
• 与链表不同，图中存储的各个数据元素被称为 顶点（而不是节点）。拿图 1 来说，该图中含有 4 个顶点，分别为顶点 V1、V2、V3 和 V4。
• 图存储结构中，习惯上用 Vi 表示图中的顶点，且所有顶点构成的集合通常用 V 表示，如上图中顶点的集合为 V={V1,V2,V3,V4}。

1.2 有向图

• 上图中仅是图存储结构的其中一种，数据之间 多对多 的关系还可用如下图所示的 有向图 结构表示：
  可以看到，各个顶点之间的关系并不是 双向 的。比如，V4 只与 V1 存在联系（从 V4 可直接找到 V1），而与 V3 没有直接联系；同样，V3 只与 V4 存在联系（从 V3 可直接找到 V4），而与 V1 没有直接联系，以此类推。
• • 在有向图中，每条路径或回路都是有方向的。
    

1.3 基本知识

• (V1,V2) 和 <V1,V2> 的区别
  • 无向图 中描述两顶点（V1 和 V2）之间的关系可以用 (V1,V2) 来表示。
  • 有向图 中描述从 V1 到 V2 的"单向"关系用 <V1,V2> 来表示。
• 边和弧
  由于图存储结构中顶点之间的关系是用线来表示的，因此 (V1,V2) 还可以用来表示 无向图中连接 顶点V1 和 顶点V2 的线，又称为 边；同样，<V1,V2> 也可用来表示 有向图中从 V1 指向 V2 的箭头 ，称为 弧，箭头所在的一端称为 弧头 ，另一端称为 弧尾 。
• 弧头和弧尾
  有向图中，无箭头一端的顶点通常被称为 初始点 或 弧尾，箭头直线的顶点被称为终端点 或 弧头。
• 入度和出度
  对于有向图中的一个顶点 V 来说，箭头指向 V 的弧的数量为 V 的入度（InDegree，记为 ID(V)）；箭头远离 V 的弧的数量为 V 的 出度（OutDegree，记为OD(V)）。拿上图中的顶点 V1来说，该顶点的入度为 1，出度为 2（该顶点的度为 3）。
• 集合 VR 的含义
  一般用 VR 表示图中所有顶点之间关系的集合。例如，上面的无向图的集合 VR={(v1,v2),(v1,v4),(v1,v3),(v3,v4)}，上面有向图的集合 VR={<v1,v2>,<v1,v3>,<v3,v4>,<v4,v1>}。
• 路径和回路
  • 无论是无向图还是有向图，从一个顶点到另一顶点途径的所有顶点组成的序列（包含这两个顶点），称为一条 路径 。
  • 如果路径中第一个顶点和最后一个顶点相同，则此路径称为 回路 或 环。
  • 若路径中各顶点都不重复，此路径又被称为 简单路径；同样，若回路中的顶点互不重复，此回路被称为 简单回路 或 简单环 。
    拿上面的无向图 来说，从 V1 存在一条路径还可以回到 V1，此路径为 {V1,V3,V4,V1}，这是一个回路（环），而且还是一个简单回路（简单环）。
• 权和网
  在某些实际场景中，图中的每条边（或弧）会赋予一个实数来表示一定的含义，这种与边（或弧）相匹配的实数被称为 权，而带权的图通常称为 网 。如下图所示，就是一个网结构：
  
• 子图
  由图中一部分顶点和边构成的图，称为原图的 子图 。

【 2. 图的分类 】

• 根据不同的特征，图又可分为完全图，连通图、稀疏图和稠密图等。

2.1 完全图

• 完全图：若图中各个顶点都与除自身外的其他顶点有关系，这样的无向图称为 完全图（如下图a）。同时，满足此条件的有向图则称为 有向完全图（如下图b），即 顶点两两之间可以 直接 连通 。
  
• 具有 n 个顶点的完全图，图中边的数量为 n(n-1)/2；而对于具有 n 个顶点的有向完全图，图中弧的数量为 n(n-1)。

2.2 稀疏图和稠密图

• 稀疏图和稠密图：这两种图是相对存在的，即如果图中具有很少的边（或弧），此图就称为 稀疏图；反之，则称此图为 稠密图。
• 稀疏和稠密的判断条件
  e<nlogn，其中 e 表示图中边（或弧）的数量，n 表示图中顶点的数量，即 边的数量<nlog(顶点的数量)，如果式子成立，则为稀疏图；反之为稠密图。

2.3 连通图

2.3.1 (普通)连通图

连通图 - 无向图

• 图中从一个顶点到达另一顶点，若存在至少一条路径，则称这两个顶点是 连通 的，即 顶点两两之间可以通过路径通着 。
  例如下图中，虽然 V1 和 V3 没有直接关联，但从 V1 到 V3 存在两条路径，分别是 V1-V2-V3 和 V1-V4-V3，因此称 V1 和 V3 之间是连通的。
  
• 无向图中，如果任意两个顶点之间都能够连通，则称此无向图为 连通图。
  例如，下图中的无向图就是一个连通图，因为此图中任意两顶点之间都是连通的。
  

非连通图 的 连通分量

• 若无向图不是连通图，但图中存储某个子图符合连通图的性质，则称该子图为（非连通图的） 连通分量。
  连通分量的提出是以 整个无向图不是连通图 为前提的，因为如果无向图是连通图，则其无法分解出多个最大连通子图，因为图中所有的顶点之间都是连通的。
• 前面讲过，由图中部分顶点和边构成的图为该图的一个子图，但这里的子图指的是图中 最大 的连通子图（也称 极大连通子图 ）。
  如下图所示，虽然下图 a 中的无向图不是连通图，但可以将其分解为 3 个 最大子图（下图 b），它们都满足连通图的性质，因此都是连通分量。下图 a 中的无向图只能分解为 3 部分各自连通的 最大子图。
  

2.3.2 强连通图

强连通图 - 有向图

• 有向图 中，若任意两个顶点 Vi 和 Vj，满足从 Vi 到 Vj 以及从 Vj 到 Vi 都连通，也就是都含有至少一条通路，则称此有向图为 强连通图 ，即 有向图中两两顶点都是通着的 。如下图所示就是一个强连通图。
  

非强连通有向图 的 强连通分量

• 与此同时，若有向图本身不是强连通图，但其包含的最大连通子图具有强连通图的性质，则称该子图为 强连通分量 。
  如下图所示，整个有向图虽不是强连通图，但其含有两个强连通分量。
  
• 连通图是在无向图的基础上对图中顶点之间的连通做了更高的要求， 而 强连通图是在有向图的基础上对图中顶点的连通做了更高的要求 。

2.3.3 生成树 - 连通图

• 对连通图进行遍历，过程中所经过的边和顶点的组合可看做是一棵普通树，通常称为 生成树。
• 连通图中的生成树必须满足以下 2 个条件：
  ① 包含连通图中所有的顶点；
  ② 任意两顶点之间有且仅有一条通路；
• 因此，连通图的生成树具有这样的特征，即生成树中边的数量 = 顶点数 - 1。
• 如下图所示，下图 a 是一张连通图，下图 b 是其对应的 2 种生成树。

• 连通图中，由于任意两顶点之间可能含有多条通路，遍历连通图的方式有多种，往往 一张连通图可能有多种不同的生成树与之对应。

2.3.4 生成森林 - 非连通图

• 生成树是对应连通图来说，而生成森林是对应非连通图来说的。
• 非连通图可分解为多个连通分量，而每个连通分量又各自对应多个生成树（至少是 1 棵），因此与整个非连通图相对应的，是由多棵生成树组成的 生成森林 。
  
• 如上图所示，这是一张非连通图，可分解为 3 个连通分量，其中各个连通分量对应的生成树如下图所示：
  （下图中列出的仅是各个连通分量的其中一种生成树。）
  
• 因此，多个连通分量对应的多棵生成树就构成了整个非连通图的生成森林。