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408数据结构-二叉树的概念、性质与存储结构 自学知识点整理_二叉树的特性 考研408

二叉树的特性 考研408

前置知识:树的基本概念与性质


二叉树的定义

二叉树是一种特殊的树形结构,其特点是每个结点至多只有两棵子树(即二叉树中不存在度大于 2 2 2的结点),并且二叉树是有序树,左右子树不能互换。
与树类似,二叉树也以递归形式定义。二叉树是 n n n n ≥ 0 n≥0 n0)个结点的有限集合。当 n = 0 n=0 n=0时,称为空二叉树
n ≠ 0 n≠0 n=0时,二叉树由根结点和两个互不相交的子树组成,左子树和右子树又分别是一棵二叉树。即使树中结点只有一棵子树,因为二叉树有序,也要区分是左子树还是右子树。
二叉树与度为 2 2 2的有序树的区别:

  • 度为 2 2 2的有序树至少有 3 3 3个结点,而二叉树可以为空。
  • 度为 2 2 2的有序树的孩子的左右次序是相对于另一个孩子而言的,若某一结点只有一个孩子结点,则无需区分其左右。而对二叉树上的结点来说,无论其孩子数是否为 2 2 2,均需确定其左右次序。即二叉树的结点次序不是相对于另一个结点而言的,而是确定的。

几种特殊的二叉树

Man! 满二叉树

一棵高度为 h h h,且有 2 h − 1 2^h-1 2h1个结点的二叉树被称为满二叉树。
因为对一个满二叉树来说,第 i i i层有 2 i − 1 2^{i-1} 2i1个结点,一共有 h h h层,则求和结果就是 2 h − 1 2^h-1 2h1
满二叉树的特点:

  1. 只有最后一层有叶子结点。
  2. 不存在度为 1 1 1的结点。
  3. 若层序从 1 1 1开始编号,则对第 i i i个结点,其左孩子必为第 2 i 2i 2i个结点,右孩子必为第 2 i + 1 2i+1 2i+1个结点。如果结点 i i i存在双亲结点,则其双亲必为第 ⌊ i / 2 ⌋ \left\lfloor i/2 \right\rfloor i/2个结点(即对 i / 2 i/2 i/2向下取整)。

(下图来自王道考研408数据结构课程视频 - 二叉树的定义和基本术语
图片源自王道考研408数据结构课程视频

完全二叉树

一棵高度为 h h h、有 n n n个结点的二叉树,当且仅当其每个结点都与高度为 h h h的满二叉树中编号为 1 − n 1-n 1n的结点一一对应时,称为完全二叉树
完全二叉树的特点:

  1. 只有最后两层(层数最大的两层)可能有叶子结点。
  2. 最多只有一个度为 1 1 1的结点,且该结点只有左孩子而无右孩子。
  3. 层序从 1 1 1开始编号,则对第 i i i个结点,其左孩子必为第 2 i 2i 2i个结点,右孩子必为第 2 i + 1 2i+1 2i+1个结点。如果结点 i i i存在双亲结点,则其双亲必为第 ⌊ i / 2 ⌋ \left\lfloor i/2 \right\rfloor i/2个结点。(同满二叉树)
  4. 对结点 i i i,当 i ≤ ⌊ n / 2 ⌋ i≤ \left\lfloor n/2 \right\rfloor in/2时,该结点为分支结点;当 i > ⌊ n / 2 ⌋ i> \left\lfloor n/2 \right\rfloor in/2时,该结点为叶结点。
  5. n n n为奇数,则每个分支结点都有左孩子和右孩子;若 n n n为偶数,则编号最大的分支结点(编号为 n / 2 n/2 n/2)只有左孩子,没有右孩子,其余分支结点均有左、右孩子。

二叉排序树⭐

左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字,右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字,左右子树又各是一棵二叉排序树,这样的二叉树被称为二叉排序树

平衡二叉树⭐

树中任意一个结点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 1 1,这样的二叉树称为平衡二叉树
如果一棵二叉排序树是平衡的,那么它的搜索效率会高很多。

关于二叉排序树和平衡二叉树,后续章节会有详细介绍,现在暂时了解其概念即可。

正则二叉树

树中每个分支结点都有 2 2 2个孩子,即树中只有度为 0 0 0 2 2 2的结点。


二叉树的性质相关

常见考点1:非空二叉树上的叶结点数等于度为 2 2 2的结点数加 1 1 1,即 n 0 = n 2 + 1 n_0=n_2+1 n0=n2+1

假设树中结点总数为 n n n,度为 0 0 0的结点数为 n 0 n_0 n0,度为 1 1 1的结点数为 n 1 n_1 n1,度为 2 2 2的结点数为 n 2 n_2 n2。则有:
n = n 0 + n 1 + n 2 n=n_0+n_1+n_2 n=n0+n1+n2
n = n 1 + 2 n 2 + 1 n=n_1+2n_2+1 n=n1+2n2+1(树的结点数=总度数+1)
联立两式,得 n 0 = n 2 + 1 n_0=n_2+1 n0=n2+1
这一个考点常在选择题中涉及,需要牢记并灵活应用。

常见考点2:非空二叉树的第 i i i层至多有 2 i − 1 2^{i-1} 2i1个结点( i ≥ 1 i≥1 i1

树的基本概念与性质可知, m m m叉树的第 i i i层至多有 m i − 1 m^{i-1} mi1个结点( i ≥ 1 i≥1 i1),令 m = 2 m=2 m=2即可。

常见考点3:高度为 h h h的二叉树至多有 2 h − 1 2^h-1 2h1个结点( h ≥ 1 h≥1 h1

树的基本概念与性质可知,高度为 h h h m m m叉树至多有 m h − 1 m − 1 \frac{m^h-1}{m-1} m1mh1个结点( i ≥ 1 i≥1 i1),令 m = 2 m=2 m=2,得有 2 h − 1 2^h-1 2h1个(满二叉树)。

完全二叉树的性质相关

常见考点1:具有 n n n个结点( n > 0 n>0 n0)的完全二叉树的高度 h h h ⌈ log ⁡ 2 ( n + 1 ) ⌉ \left\lceil {{\log }_{2}}\left( n+1 \right) \right\rceil log2(n+1) ⌊ log ⁡ 2 n ⌋ + 1 \left\lfloor {{\log }_{2}}n \right\rfloor +1 log2n+1

由完全二叉树的已知性质,假设完全二叉树的高度为 h h h,则有

2 h − 1 − 1 < n ≤ 2 h − 1 {{2}^{h-1}}-1<n\le {{2}^{h}}-1 2h11<n2h1 2 h − 1 ≤ n < 2 h {{2}^{h-1}}\le n<{{2}^{h}} 2h1n<2h

取对数后可解得

h − 1 < log ⁡ 2 ( n + 1 ) ≤ h h-1<{{\log }_{2}}\left( n+1 \right)\le h h1<log2(n+1)h h − 1 ≤ log ⁡ 2 n < h h-1\le {{\log }_{2}}n<h h1log2n<h

h = ⌈ log ⁡ 2 ( n + 1 ) ⌉ h=\left\lceil {{\log }_{2}}\left( n+1 \right) \right\rceil h=log2(n+1) h = ⌊ log ⁡ 2 n ⌋ + 1 h=\left\lfloor {{\log }_{2}}n \right\rfloor +1 h=log2n+1

由此可知,第 i i i个结点所在层次为 ⌈ log ⁡ 2 ( i + 1 ) ⌉ \left\lceil {{\log }_{2}}\left( i+1 \right) \right\rceil log2(i+1) ⌊ log ⁡ 2 i ⌋ + 1 \left\lfloor {{\log }_{2}}i \right\rfloor +1 log2i+1

常见考点2:对于完全二叉树,可以由结点数 n n n推出度为 0 0 0 1 1 1 2 2 2的结点个数 n 0 n_0 n0 n 1 n_1 n1 n 2 n_2 n2

由之前的结论可知,完全二叉树最多只有一个度为 n n n的结点,即 n 1 = 0 n_1=0 n1=0 1 1 1
n 0 = n 2 + 1 n_0=n_2+1 n0=n2+1,则 n 0 + n 2 = 2 n 2 + 1 n_0+n_2=2n_2+1 n0+n2=2n2+1必为奇数。
若完全二叉树有 2 k 2k 2k(偶数)个结点,则必有 n 1 = 1 n_1=1 n1=1 n 0 = k n_0=k n0=k n 2 = k − 1 n_2=k-1 n2=k1
若完全二叉树有 2 k − 1 2k-1 2k1(奇数)个结点,则必有 n 1 = 0 n_1=0 n1=0 n 0 = k n_0=k n0=k n 2 = k − 1 n_2=k-1 n2=k1


二叉树的存储结构

1.顺序存储结构

二叉树的顺序存储是指用一组连续的存储单元依次自上而下、自左而右存储完全二叉树上的结点元素,即将完全二叉树上编号为 i i i的结点元素存储在一维数组下标为 i − 1 i-1 i1的分量中。
依据二叉树的性质,完全二叉树和满二叉树采用顺序存储比较合适,树中结点的序号可以唯一地反映结点之间的逻辑关系。这样既能最大可能地节省空间,又能利用数组元素的下标值确定结点在二叉树中的位置,以及结点之间的关系。

#define MaxSize 100
typedef struct TreeNode {
	int value;//结点中的数据元素
	bool isEmpty;//结点是否为空
}TreeNode;
TreeNode t[MaxSize];//静态顺序存储二叉树
int n;//记录结点总数

void TreeInit() {//初始化
	for (int i = 0; i < MaxSize; ++i)
		t[i].isEmpty = true;//将每个结点状态设为空
	return;
}
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用这种方式存储的完全二叉树,对第 i i i个结点,其左孩子为 2 i 2i 2i,右孩子为 2 i + 1 2i+1 2i+1,父节点为 ⌊ i / 2 ⌋ \left\lfloor i/2 \right\rfloor i/2,所在层次为 ⌈ log ⁡ 2 ( i + 1 ) ⌉ \left\lceil {{\log }_{2}}\left( i+1 \right) \right\rceil log2(i+1) ⌊ log ⁡ 2 i ⌋ + 1 \left\lfloor {{\log }_{2}}i \right\rfloor +1 log2i+1
若该完全二叉树共有 n n n个结点,则对第 i i i个结点,判断其是否有左右孩子,以及是否为分支/叶子结点,可用以下逻辑实现:

bool Have_LeftChild(int i) {//判断结点i是否有左孩子
	return (2 * i <= n && !t[2 * i].isEmpty) ? true : false;
}

bool Have_RightChild(int i) {//判断结点i是否有右孩子
	return (2 * i + 1 <= n && !t[2 * i + 1].isEmpty) ? true : false;
}

bool Is_Leaf(int i) {//判断结点i是否为叶子结点
	return i > (n / 2) ? true : false;
}
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如果不是完全二叉树,依旧按照顺序存储的方式存储二叉树,则数组下标将不再能够表示各结点之间的逻辑关系。为解决这个问题,可以将二叉树中的结点编号与完全二叉树一一对应,从而进行顺序存储。但是这样又会产生新的问题:假如一棵二叉树中除叶结点外的所有结点都只有右孩子,那么,若这棵二叉树深度为 h h h,则它需要使用 2 h − 1 2^h-1 2h1大小的数组对所有结点进行存放,空间利用率非常非常低。因此,除了完全二叉树可以采用顺序存储结构,一般的二叉树通常采用的都是链式存储结构。

2.链式存储结构

由于顺序存储的空间利用率较低,因此二叉树一般都采用链式存储结构,用链表结点来存储二叉树中的每个结点。在二叉树中,结点结构通常包括若干数据域和若干指针域。二叉链表至少包含 3 3 3个域:数据域 d a t a data data,左指针域 l c h i l d lchild lchild,右指针域 r c h i l d rchild rchild。实际运用中,还可以增加数据域或指针域比如增加一个指向父节点的指针,变成三叉链表的存储结构。
二叉树的链式存储结构描述如下:

typedef struct Elemtype {//复合数据域
	int value;//只有一个int类型
}Elemtype;
typedef struct BiTNode {//二叉链表结点
	Elemtype data;//数据域
	struct BiTNode* lchild, * rchild;//左、右孩子指针
//	struct BiTNode* parent;//父节点指针(根据实际需要决定是否添加)
}BiTNode, * BiTree;
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由二叉链表的性质, n n n个结点的二叉链表共有 n + 1 n+1 n+1个空指针域,这一部分可用于构造线索二叉树。
(计算方法:度为 2 2 2的结点有 0 0 0个空指针域,度为 1 1 1的结点有 1 1 1个空指针域,度为 0 0 0的结点有 2 2 2个空指针域。由此前的性质可知,当 n 1 = 1 n_1=1 n1=1时, n 0 = n / 2 n_0=n/2 n0=n/2,空指针域数量为 1 + 2 ∗ n / 2 = n + 1 1+2*n/2=n+1 1+2n/2=n+1;当 n 1 = 0 n_1=0 n1=0时, n 0 = ( n + 1 ) / 2 n_0=(n+1)/2 n0=(n+1)/2,空指针域数量为 0 + 2 ∗ ( n + 1 ) / 2 = n + 1 0+2*(n+1)/2=n+1 0+2(n+1)/2=n+1。故无论 n n n的值为奇数还是偶数, n n n个结点的二叉链表的空指针域都为 n + 1 n+1 n+1个)

根结点的初始化操作如下:

BiTree root = NULL;//定义一棵空树
void InitBiTree() {//初始化根结点
	root = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
	root->data = { 1 };
//	root->parent = NULL;
	root->lchild = NULL;
	root->rchild = NULL;
	return;
}
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插入根结点的左孩子:可依照此逻辑完成对二叉树的构建。

void InsertRLChild() {//插入新节点(根结点的左孩子)
	BiTNode* p = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode));
	p->data = { 2 };
	p->lchild = NULL;
	p->rchild = NULL;
	root->lchild = p;
//	p->parent = root;
	return;
}
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完整代码可以看我的Github:传送门

若要对二叉树进行遍历,只能从根结点开始,依次向下。在之后的章节里还会继续讨论这个问题。
408考研初试中,通常都是考察不带父指针的情况,即考察使用二叉链表存储二叉树。
若从 0 0 0开始对结点进行编号,则对应的操作逻辑都需要进行更改。
以上。

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