【动态规划--买卖股票的最佳时期系列2】_动态规划股票买卖2例子推倒

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给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
实例

输入：[1,2,3,0,2]
输出：3
解释：对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]
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动态规划5步曲

• 确定dp数组以及下标的含义
  dp[i][j]，第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]。
  本题的状态相对于系列一复杂了不少。具体分了如下四个状态：

 - 状态一：买入股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作）
 
    卖出股票状态，这里就有两种卖出股票状态
    
 - 状态二：两天前就卖出了股票，度过了冷冻期，一直没操作，今天保持卖出股票状态
 - 状态三：今天卖出了股票

 - 状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！

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注意这里的每一个状态，例如状态一，是买入股票状态并不是说今天已经就买入股票，而是说保存买入股票的状态即：可能是前几天买入的，之后一直没操作，所以保持买入股票的状态。

j的状态为：
0：状态一；1：状态二；2：状态三；3：状态四
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确定递推式
达到买入股票状态（状态一）即：dp[i][0]，有两个具体操作：

操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp[i][0] = dp[i - 1][0]
操作二：今天买入了，有两种情况
前一天是冷冻期（状态四），dp[i - 1][3] - prices[i]
前一天是保持卖出股票状态（状态二），dp[i - 1][1] - prices[i]
所以操作二取最大值，即：max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]
那么dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]);
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达到保持卖出股票状态（状态二）即：dp[i][1]，有两个具体操作：

操作一：前一天就是状态二
操作二：前一天是冷冻期（状态四）
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
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达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp[i][2] ，只有一个操作：

操作一：昨天一定是买入股票状态（状态一），今天卖出
即：dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
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达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i][3]，只有一个操作：

操作一：昨天卖出了股票（状态三）
dp[i][3] = dp[i - 1][2];
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综上分析得递推公式：

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
dp[i][3] = dp[i - 1][2];

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dp数组如何初始化
这里主要讨论一下第0天如何初始化。
如果是持有股票状态（状态一）那么：dp[0][0] = -prices[0]，买入股票所剩现金为负数。
保持卖出股票状态（状态二），第0天没有卖出dp[0][1]初始化为0就行。
今天卖出了股票（状态三），同样dp[0][2]初始化为0，因为最少收益就是0，绝不会是负数。
同理dp[0][3]也初始为0。
确定遍历顺序
从递归公式上可以看出，dp[i] 依赖于 dp[i-1]，所以是从前向后遍历。
举例推导dp数组
以 [1,2,3,0,2] 为例，dp数组如下：

最后结果是取 状态二，状态三，和状态四的最大值。
代码如下:

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
class Solution{
	public:
		int maxProfit(vector<int> &prices) {
			int n = prices.size();
			if (n == 0) return 0;
			vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(4,0));
			dp[0][0] = -prices[0];
			for (int i = 1; i < n; i++) {
				dp[i][0] = max({dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i],dp[i-1][3]-prices[i]});
                //买入股票状态
				dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][3]);
                //两天前就卖出股票，度过了冷冻期，一直没有操作，今天保持卖出股票的状态
				dp[i][2] = dp[i-1][0] + prices[i];
                //今天卖出了股票
				dp[i][3] = dp[i-1][2];
                //今天为冷冻期，但冷冻期状态不可持续，只有一天
			}
			return max({dp[n-1][3],dp[n-1][2],dp[n-1][1]});
		}
}; 
int main() {
	Solution Q;
	int n;
	cin>>n;
	vector<int> price(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin>>price[i];
	}
	cout<<Q.maxProfit(price);
} 
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