高数：Ch1.函数、极限、连续_三角函数ch1

一、函数

1.函数的概念、基本初等函数、初等函数

1.函数

是否是同一个函数：看定义域和对应法则f，是否相同。与字母(记号)无关。

2.复合函数

3.反函数

(1)定义：
对于每一个y，都有唯一的x与之对应。则有反函数。f是定义域到值域的一一映射

(2)反函数存在的充分必要条件：
函数f(x) 单调、连续、一一对应

(3)求反函数
①反解 y=f(x) ->x=g(y) ②x与y调换，写成y=g(x)。则f与g互为反函数

(4)反函数的导数：
若g(x)是f(x)的反函数，则：
①$g(f(x))=x$
②$g^{\prime }(x)=\frac{1}{f(x)},g^{\prime \prime }(x)=-\frac{f^{\prime \prime }(x)}{[f^{\prime (}x){]}^3}$

4.基本初等函数及其图像

(1)幂函数：$x^a$
(2)指数函数：$y=a^x$ (a>0,a≠1)
(3)对数函数：$y={\log }_{a}x$ (a>0,a≠1)

(4)三角函数：$\sin x$、$\cos x$、$\tan x$、$\sec x$、$\cot x$

①$\sin x$、$\cos x$、$\tan x$

(1)取值

①$\sin k\pi =0$、$\cos k\pi =(-1{)}^k$

(2)诱导公式
①$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

例：$\sin (x+\frac{\pi }{4})=\sin x\cos \frac{\pi }{4}+\cos x\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x)$
$\Rightarrow \sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})$

②$\tan (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }$

(3)和差化积

② $\sec x$

正割secx，是余弦cosx的倒数

1.定义：$\sec x=\frac{1}{\cos x}$

2.三角恒等式：${\sec }^{2}x=1+{\tan }^{2}x$

3.导数：$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$

4.积分：$\int \sec x\mathrm{d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C$

③ $\cot x$

余切cotx，是正切tanx的倒数。$\cot x=\frac{1}{\tan x}$

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例题1：11年9.

答案：$\ln (1+\sqrt{2})$

例题2：11年4.   定积分的保号性

分析：

答案：B

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(5)反三角函数：$\arcsin x$、$\arccos x$、$\arctan x$

①$\arcsin x$，定义域$[-1,1]$，值域 [$-\frac{\pi }{2}$,$\frac{\pi }{2}$]
$\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$

$\theta \in (0,\frac{\pi }{2})，\arcsin (\sin \theta )=\theta$
$\theta \in (\frac{\pi }{2},\pi )，\arcsin (\sin \theta )=\pi -\theta$

②$\arccos x$：定义域[-1,1]，值域 $[0,\pi ]$

5.初等函数：
由五类基本初等函数经过 有限次的 加、减、乘、除、复合 运算后，且能用一个解析式表示的函数，称为初等函数。

6.三角恒等式

1.${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

2.${\sec }^{2}x=1+{\tan }^{2}x$

3.$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$

4.$\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}(x>0)$

7.基本不等式

跳转第二章：函数不等式的证明

8.符号

(1)开根要带绝对值

$\sqrt{a^2}=|a|$、$\sqrt{x^2}=|x|$

(2)取整符号 [ ]

①[a]表示不超过a的最大整数
②$x-1<[x]\le x$

(3) ≥
大于等于≥：> 或 = 。a≥0 ⇦⇨ a>0 或 a=0

(4)符号函数：$\mathrm{sgn}(x)=\{\begin{array}{rl}1& ,x>0\\ -1& ,x<0\end{array}$

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例题1：05年15.

分析：[1+x²+y²]表示不超过1+x²+y²的最大整数

答案：$\frac{3}{8}$

例题2：取整函数求极限

思路：①取整函数不等式 ＋ ②夹逼原理

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9.公式

(1)立方公式

1.立方和公式：$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

2.立方差公式：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

3.完全立方公式：$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

令$b=-b$，则$b^3=-b^3$：$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

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例题1：08年5.   幂零阵、可逆矩阵定义、立方和公式、立方差公式

分析：由$A^3=O$得$E\pm A^3=E$

即$E=E+A^3=(E+A)(E^2-AE+A^2)=(E+A)(E-A+A^2)$，则$E+A$可逆且$(E+A{)}^{-1}=E-A+A^2$

即$E=E-A^3=(E-A)(E^2+AE+A^2)=(E-A)(E+A+A^2)$，则$E-A$可逆且$(E-A{)}^{-1}=E+A+A^2$

答案：C

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(2)边长为a的正三角的面积 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$

设正三角形的边长为a，则高$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，面积$S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$

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例题1：07年14.  关于坐标面的对称性、轮换对称性

分析：$|x|+|y|+|z|=1$ 是正八面体 。

考虑曲面Σ关于yOz平面对称，则关于x的奇函数的曲面积分为0，即$\underset{\Sigma }{\iint }x\mathrm{d}S=0$
∴ $\underset{\Sigma }{\iint }(x+|y|)\mathrm{d}S=\underset{\Sigma }{\iint }|y|\mathrm{d}S\stackrel{轮换对称性}{=}\frac{1}{3}\underset{\Sigma }{\iint }(|x|+|y|+|z|)\mathrm{d}S=\frac{1}{3}\underset{\Sigma }{\iint }\mathrm{d}S$

观察该正八面体 $|x|+|y|+|z|=1$，其在第一卦限上的表面积为一个正三角形，边长为$\sqrt{2}$，则正三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2=\frac{\sqrt{3}}{2}$

则$\frac{1}{3}\underset{\Sigma }{\iint }\mathrm{d}S=\frac{1}{3}\times 8\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

答案：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

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(3)等比数列求和公式

$$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\ne 1)$$

推导：
①q=1时：$S_n=n{a}_1$

②q≠1时：$a_{n+1}=q{a}_n=a_1{q}^n$
$S_n=a_1+a_2+...+a_n$
$q{S}_n=q{a}_1+q{a}_2+...+q{a}_n=a_2+a_3+...+a_{n+1}$
$\therefore S_n-q{S}_n=a_1-a_{n+1}$
即$(1-q)S_n=a_1-a_{n+1}$
$\therefore S_n=\frac{a_1-a_{n+1}}{1-q}=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

(4) $1+2^2+3^2+...+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

11.韦达定理
设一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0(a,b,c\in R，a\ne 0)$中，两根x₁、x₂有如下关系：
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}，x_1{x}_2=\frac{c}{a}$$

在求解微分方程的特征方程时，经常会用到韦达定理。

二阶线性微分方程 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$ 的特征方程为 ${\lambda }^2+p\lambda +q=0$，则
$${\lambda }_1+{\lambda }_2=-\frac{p}{1}=-p，{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2=\frac{q}{1}=q$$

通过二阶齐次微分方程的通解形式，可以直接知道${\lambda }_1、{\lambda }_2$的取值

2.函数的性质 /函数四性态

单调性、奇偶性、周期性、有界性 ＋对称
①单调性：$f(x)$与$f^{\prime }(x)$的单调性 没有关系
②奇偶性：$f(x)$为奇函数$\to$$f^{\prime }(x)$为偶函数 ； $f(x)$为偶函数$\iff$ $f^{\prime }(x)$为奇函数
③周期性：$f(x)$为周期函数$\to$$f^{\prime }(x)$为周期函数
④有界性：$f^{\prime }(x)$在有限区间I上有界 $\Rightarrow$ $f(x)$在有限区间I上有界

1.单调性

1.定义：设函数 y=f(x) 在 [a,b]上连续，(a,b)内可导.
(1)如果在(a,b)内 ①$f(x)>0$ 或 ②$f(x)\ge 0$ 且 $f^{\prime }(x)=0$的点只有有限个，那么函数 y=f(x) 在 [a,b]上单调增加
(2)如果在(a,b)内 ① $f(x)<0$ 或 ②$f(x)\le 0$ 且 $f^{\prime }(x)=0$的点只有有限个，那么函数 y=f(x) 在 [a,b]上单调减少

(1)$f^{\prime }(x)>0$ $\Rightarrow$ $f(x)$单调增加 $\iff$ $f^{\prime }(x)\ge 0$

(2)①$x_1<x_2$时，有 $f(x_1)<f(x_2)$：单调增加
②$x_1<x_2$时，有 $f(x_1)\le f(x_2)$：单调不减

2.填负号、取倒数，增减性改变

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例题1：武钟祥老师每日一题 24.Day62   单调性

分析：
$x_1>x_2$时，有 $f(x_1)>f(x_2)$，则f(x)单调增加，则$f^{\prime }(x)\ge 0$。
A.B.C❌选D

答案：D

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2.奇偶性

1.奇函数：
(1)定义：$f(-x)=-f(x)$
(2)性质：
①奇函数关于原点对称
②若奇函数$f(x)$在$x=0$处有定义，则$f(0)=0$ （奇函数的必要条件）

2.偶函数
(1)定义：$f(-x)=f(x)$
(2)性质：
①偶函数关于y轴对称
②若$f(x)$为偶函数，则$f(x)+f(-x)$仍为偶函数

3.导函数的奇偶性

F(x)为f(x)的原函数：
①F(x)为奇函数 ⇨ f(x)为偶函数
②F(x)为偶函数 ⇦⇨ f(x)为奇函数

4.$f(|x|)与|f(x)|$
(1)$f(|x|)$是关于x的偶函数，左右对称
(2)$|f(x)|=|y|$是关于y的偶函数，上下对称

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例题1：22年数三   周期性、奇偶性

分析：
①f(x+2π)=f(x) ∴f(x)为T=2π的周期函数 ∴f’‘’(x)也为T=2π的周期函数 ∴f’‘’(2π)=f’‘’(0)
②f(x)=g(x)+g(-x)为偶函数，则偶函数在0点的奇次阶导数为0

答案：0

例题2：07年3.   $f(x)$为奇函数，则$F(x)$为偶函数

答案：C

例题3：19年12.   $|y|$是关于y的偶函数

分析：

答案：$\frac{32}{3}$

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3.周期性

1.定义：$f(x+T)=f(x)$，则f(x)为周期函数

2.性质：
①f(x)是以T为周期的可导周期函数 ⇨ $f^{\prime }(x)$也是以T为周期的周期函数
②设f(x)连续且以T为周期，则 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ 是以T为周期的周期函数 ⇦⇨ ${\int }_0^{T}f(x)dx=0$
③周期函数的原函数是周期函数 ⇦⇨其在一个周期上的积分为零
④设f(x)是以T为周期的连续函数，则${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx={\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx$ ，${\int }_0^{nT}f(x)dx=n{\int }_0^{T}f(x)dx$

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例题1：660 T212

例题2：18年18(2)

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4.有界性

有界性的判定：【高数辅导讲义P5】
(1)定义：
设f(x)的定义域为D，数集X$\subset$D。
①如果存在数$K_1$，使得 $f(x)\le K_1$，对任一$x\in X$都成立，那么称函数f(x)在X上有上界，K₁称为函数f(x)在X上的一个上界。
②如果存在数$K_2$，使得 $f(x)\ge K_2$，对任一$x\in X$都成立，那么称函数f(x)在X上有下界，K₂称为函数f(x)在X上的一个下界。
③若存在正数M，使得 $|f(x)|\le M$ ，对任一$x\in X$都成立，那么称函数f(x)在X上有界。
④如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界。即如果对于任何正数M，总存在$x_1\in X$，使$|f(x_1)|>M$，那么函数f(x)在X上无界
⑤函数f(x)在X上有界的充分必要条件是 f(x)在X上既有上界又有下界

(2)f(x)在 [a,b] 上连续 $\Rightarrow$ f(x)在 [a,b] 上有界   【闭区间上连续必有界】

(3)f(x)在 (a,b) 上连续，且$f(a^{+})$和$f(b^{-})$均存在 $\Rightarrow$ f(x)在 (a,b) 上有界

只满足开区间上连续，不一定有界。反例：$\frac{1}{x}$在(0,1)上无界

(4)$f^{\prime }(x)$在有限区间$I$上有界 $\Rightarrow$ $f(x)$有限区间$I$上有界

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例题1：660 T167

分析：有界性的判定(4)：$f^{\prime }(x)$在有限区间上(内)有界，则f(x)在该有限区间上(内)有界

答案：C

例题2：660 T168

分析：不是有限区间，不满足有界性的判定(4)

答案：D

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5.对称性

偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称。
拿到f(x)或y，先观察是否是奇函数或偶函数。【注意函数的 奇偶对称性】
(1)单调性、极值、拐点、最值、渐近线：偶函数的话，只需要求右侧一半，左侧对称
(2)积分：对称区间上，奇函数积分为0，偶函数积分为正半区间的2倍

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例题1：注意函数的对称性。2023年19.曲面积分就是对称性。

例题2：11年17.
f(x)为奇函数，只需要讨论(0,+∞)上的情况，左半边是对称的。

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二、极限

1.考试内容概要
①极限的概念
②极限的性质
③极限存在准则
④无穷小
⑤无穷大

1.极限的定义

(1)数列极限

1.数学语言定义（$\epsilon -N$ 语言）
$$\begin{gathered} \lim x_n=a \\ \iff \forall \epsilon >0，\exists \end{gathered}$$ 正整数$N>0$，当 $n>N$ 时，恒有$|x_n-a|<\epsilon$

2.几何意义
数轴，只有有限项落在区间外面，当n>N时所有点都落在开区间(a-ε,a+ε)内

i.变式
若极限为a

ii.收敛数列必有界。

单调有界 -> 收敛/有极限 -> 有界

3.数列极限和部分列极限 的关系：数列极限存在且为a，则所有部分列极限也存在且为a

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例题1：22年3.   数列极限与函数极限的关系：数列极限存在的唯一性 + 奇偶性

分析：由数列极限存在的唯一性 + 奇偶性，可知：若$-\frac{\pi }{2}\le x_n\le \frac{\pi }{2}$
①当$\underset{n\to \infty }{\lim }\cos (\sin x_n)$存在，∵cosx是偶函数，则$\underset{n\to \infty }{\lim }\sin x_n$不一定存在，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$不一定存在。
②当$\underset{n\to \infty }{\lim }\sin (\cos x_n)$存在，∵sinx是奇函数，由极限的唯一性知，$\underset{n\to \infty }{\lim }\cos x_n$存在，但∵cosx是偶函数，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$不一定存在。

由①得A❌，C❌。由②得B❌，D✔

答案：D

例题2：08年4.   数列极限 + 单调性

分析：
法一：直接法
B.$f(x)$单调有界，且$x_n$单调，则$f(x_n)$单调有界，由单调有界准则知，$f(x_n)$收敛。B✔

f(x)单调 + {x_n}单调 = {f(x_n)}单调
f(x)单调 + f{x_n}单调 = {x_n}单调

法二：举反例
①A的反例：$x_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$，$f(x)$取符号函数，$f(x)=\mathrm{sgn}(x)=\{\begin{array}{rl}1& ,x>0\\ -1& ,x<0\end{array}$。则$x_n$收敛，但$f(x)$发散。

②CD的反例：$x_n=n,f(x)=\arctan x$ ，则 { f ( x n ) } = arctan ⁡ n \{f(x_n)\}=\arctan n {f(xn​)}=arctann单调有界必收敛，但$x_n=n$发散

法三：逆否命题
A的逆否命题：若$f(x_n)$发散，则$x_n$也发散。

答案：B

例题3：19年18.   数列极限：定积分的保号性、三角换元(有根式)、夹逼定理

分析：由(Ⅰ)知{a_n}单调减少，则$a_n<a_{n-1}<a_{n-2}$，∴$\frac{a_n}{a_{n-2}}<\frac{a_n}{a_{n-1}}<\frac{a_n}{a_n}=1$
∵$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{a_{n-2}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n-1}{n+2}=1$

由夹逼准则得，$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{a_{n-1}}=1$

答案：

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(2)函数极限

函数是f(x)，数列$a_n=f(n)$，n只能取正整数。因此，函数极限是一般，数列极限的特殊。一般可以推出特殊，反之不可。

n→∞：n→+∞
x→∞：|x|→+∞

(1)自变量趋向于有限值的极限
左极限和右极限

(2)自变量趋向于无穷大的极限

定理：函数f(x)存在极限，当且仅当左右极限都存在且相等

需要区分左右极限的三种问题：分段函数、$e^x$、$\arctan x$ （左右极限有区别，需要分）

①分段函数在分段点的极限
②$e^{\infty }$ ：分正负无穷，$e^{+\infty }=\infty ，e^{-\infty }=0$
③arctan∞：分正负无穷，$\arctan +\infty =\frac{\pi }{2},arctan-\infty =-\frac{\pi }{2}$

2.极限的性质

①有界性

收敛必有界
1.数列

由极限的有界性知，∃M>0，使得$|x_n|\le M$

证明：数轴上，n>N后落在a的邻域内，有界。之前的有限项，因为数量有限，所以界一定存在。综上，数列收敛，则一定有界。

2.函数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ 1,& x\ge 0\end{array}$$

②极限的保号性

如果$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，
(1)极限值保函数值/数列：
若 $A＞0$，是 ⇨ $\exists \delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$f(x)>0$（同理$A<0$ 时，有 $f(x)<0$）

(2)函数值f(x) / 数列$x_n$保极限值：
$x_0$的去心邻域内，$f(x)\ge 0$ ⇨ $A\ge 0$

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例题：660 T163

例题1：武忠祥老师每日一题 24.Day64   保号性、极值

分析：

答案：D

例题2：武忠祥老师每日一题 24.Day65   保号性、极值

分析：

答案：B

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③极限值与无穷小的关系

3.极限的存在准则

①单调有界准则

单调有界准则：单调有界，必有极限（数列收敛）
①单调增、有上界 ②单调减、有下界

递推关系：$a_{n+1}=f(a_n)$，用单调有界准则

喻老三：考研中证明数列极限存在，至今为止，每次都考 单调有界准则

收敛和有极限是等价的意思。不过一般只有 数列和级数 才说收敛。

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例题1：18年19.  单调有界准则证明数列极限存在

答案：

例题2：06年16.

例题3：08年4.

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例题：证明数列收敛

1.单调有界准则

(1)两种情形：
①单调增加，有上界
②单调减少，有下界

(2)证明单调、有界：
①单调性：①做差：$a_{n+1}-a_n$ 、做商：$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ ②带根号，设f(x)，求导看f’(x)正负
②有界性：数学归纳法

2.压缩映射

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例题1：11年18.(Ⅱ)   证明数列{a_n}收敛：单调有界准则

(1)单调性：①做差：$a_{n+1}-a_n$ ②做商：$\frac{a_{n+1}}{a_n}$
(2)有界性：

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②夹逼定理

A<x<B，若A、B的极限都是a，则x的极限也为a

n项和：用夹逼定理

若题目中出现了形如 A<x≤B 的不等式，留意下是否可以通过变形后夹逼。

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例题1：16年4.   连续的定义、可导的定义、夹逼定理

分析：从题目已知，通过变形得到题目所求的夹逼。看到有不等式，可以留意一下是否 变形后能夹逼。

答案：D

例题2：19年18.

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4.无穷小量

1.无穷小量的概念
2.无穷小量的比较
3.无穷小量的性质

(1)无穷小量阶的比较

同阶无穷小 ⇦⇨ 阶数相同 ⇦⇨ 相除,趋于0时的极限=k（k为非零的任意常数）
等价无穷小 ⇦⇨ 阶数相同，系数也相同 ⇦⇨ 相除,趋于0时的极限=1

结论：${\int }_0^{\phi (x)}f(x)dx$的阶数为 n(m+1)阶。其中φ(x)是n阶，f(x)是m阶

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例题1：07年1.  等价无穷小 ⇦⇨ 阶数相同，系数也相同 ⇦⇨ 相除,趋于0时的极限=1

分析：
A.同阶，但不等价。
B：$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln (1+\frac{x+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}})}{\sqrt{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{x+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}=1$
C：$\sqrt{1+\sqrt{x}}-1\sim \frac{\sqrt{x}}{2}$
D.$\sim \frac{1}{2}x$

答案：B

例题2：20年1.

分析：
A：${\int }_0^x(e^{t^2}-1)\mathrm{d}t\sim$ ${\int }_0^x{t}^2\mathrm{d}t$，n(m+1)=1×(2+1)=3

B：${\int }_0^x\ln$$(1+\sqrt{t^3})\mathrm{d}t\sim {\int }_0^x\sqrt{t^3}\mathrm{d}t={\int }_0^x{t}^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}t$，n(m+1)=1×($\frac{3}{2}$+1)=$\frac{5}{2}$

C：${\int }_0^{sinx}\sin t^2\mathrm{d}t\sim {\int }_0^{sinx}{t}^{2}dt$，n(m+1)=1×(2+1)=3

D：${\int }_0^{1-cosx}\sqrt{\mathrm{si}{\mathrm{n}}^3\mathrm{t}}\mathrm{dt}\sim$${\int }_0^{\frac{1}{2}{x}^2}{t}^{\frac{3}{2}}dt$，n(m+1)=2×($\frac{3}{2}$+1)=5

答案：D

例题3：

答案：
解法1：加1减1、等价无穷小替换
解法2：拉格朗日中值定理
解法3：有理化

例题4：

答案：幂指函数化e^ln形式，用等价无穷小代换

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5.无穷大量

(1)无穷大比阶

${\ln }^{k}x<x^a<a^x<x!<x^x$
对数 < 幂函数 < 指数 < 阶乘 < 幂指

1.无穷大量的概念：无穷大指的是 绝对值趋向于正无穷，无穷大要分正无穷大、负无穷大
2.无穷大量的比阶：幂指>阶乘>指>幂>对
3.无穷大量的性质
4.无穷大量和无界变量的关系
5.无穷大量和无穷小量的关系

一境之差，天差地别

(2)无界函数 vs 无穷大量

①无界：有一点处f(x₀)=∞
②无穷大：当x>x₀，恒有f(x)=∞

无穷大量⊇无界变量
无穷大量要求n>N后每一项都很大，要连续的无界。无界变量只要求存在有一点处无界。

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例题1：唐游讲义 P30 例题14

分析：
遇到 $\sin \frac{1}{x}$，考虑 $x=\frac{1}{n\pi }$、$x=\frac{1}{2n\pi }$、$x=\frac{1}{2n\pi +\frac{\pi }{2}}$

答案：

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5.无穷大量与无穷小量的关系：0也是无穷小。无穷小取倒数且非0，才是无穷大。1/0无意义。

例题2：06年16.   (1)证明极限存在——单调有界准则：单调有界必有极限 (2)凑重要极限，求极限

分析：
(1)证明极限存在——单调有界准则：单调有界必有极限
(2)凑重要极限，求极限

答案：$e^{-\frac{1}{6}}$

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6.求极限的常用方法

求极限的方法：
①利用基本极限求极限：两个重要极限、几个基本极限
②利用有理运算法则求极限
③等价无穷小代换 、配合 加项减项
④洛必达法则 (L’Hôpital’s rule)
⑤泰勒公式
⑥夹逼准则
⑦定积分定义、二重积分定义
⑧单调有界准则
⑨微分中值定理、积分中值定理：如拉格朗日中值定理：出现 同一函数 在两点函数值之差
⑩有界量×无穷小=无穷小
11.导数定义

1.基本极限求极限 (两个重要极限)

(1)常用基本极限

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1 \\ \underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e \end{gathered}$$

(2)“1^∞”型极限常用结论
①凑e
②改写洛必达
③三部曲

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例题1：

答案：三部曲

例题2：11年15.   重要极限

答案：

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2.利用有理运算法则求极限

(2)比的极限存在，分母趋向0，则分子趋向0
(2)比的极限存在且不为0，分子趋向0，则分母趋向0 【高数辅导讲义P14】


4）若$\lim f(x)\cdot g(x)$ 存在，且$\lim f(x)=\infty$，则$\lim g(x)=0$

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例题1：知道极限确定参数

思路：把左边极限存在的一项单独拿出来，因为运算后的极限存在，所以那些不存在的项加减后极限也必然存在
答案：

例题2：

答案：

例题3：

答案：有理运算法则常用结论3：极限商存在且非0，分子趋向于0，则分母也趋向于0

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3.利用等价无穷小代换求极限

(1)代换原则：乘除关系、加减关系

①乘除关系：随便换
②加减关系：要同阶，且减法不能为1，加法不能为-1

(2)常见等价无穷小

(3)变上限积分的等价代换

若f(x)和g(x)在x=0的某邻域内连续，则 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=1$，则 ${\int }_0^{x}f(t)dt\sim {\int }_0^{x}g(t)dt$

推广：若$\underset{x\to 0}{\lim }\phi (x)=0$，则有 ${\int }_0^{\phi (x)}f(t)dt\sim {\int }_0^{\phi (x)}g(t)dt$

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例题1:660 T7   等价无穷小

分析：等价无穷小：$1-{\cos }^{\alpha }x\sim \alpha (1-\cos x)$

答案：$\frac{1}{n!}$

例题2：660 T133   经典错误

分析：

答案：D

例题3：20年9.

分析：泰勒公式 或 洛必达

答案：-1

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4.利用洛必达法则求极限

分子分母同时求导。
洛就完了。

①${\infty }^0$：化为$e^{\ln }$

②$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\ln (x+\sqrt{1+x^2})+C$

③f(x)n阶可导：最多推出n-1阶导数连续、极限存在，可用n-1次洛必达。$f^{(n)}(x)$要用导数定义
f(x)n阶导数连续：n阶导数连续、极限存在，可用n次洛必达直接求出$f^{(n)}(x)$

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例题1：抽象函数求极限，使用洛必达法则的原则

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5.利用泰勒公式求极限

泰勒展开到几次：
①加减关系：同次幂系数相加减不为0
②乘除关系：上次同次幂

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例题1：

答案：①泰勒 ②洛必达＋加项减项 等价无穷小

例题2：一题多解

答案：①泰勒 ②各个击破(有界量×无穷小=0) ③(选择题)代入的方法

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6.利用夹逼准则求极限

$\underset{n\to \infty }{\lim }$ n a 1 n + a 2 n + . . . + a m n = m a x { a 1 , a 2 , . . . , a m } ^n\sqrt{a_1^n+a_2^n+...+a_m^n}=max\{a_1,a_2,...,a_m\} na1n​+a2n​+...+amn​ ​=max{a1​,a2​,...,am​}

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例题1：

答案：右边已经知道极限是3，左边大胆放缩，朝着目标是3来放缩。（有风险，万一右边求错了）

例题2：

结论：若干个数的n次方之和开根号的极限，为最大的那个数

例题2：继续用结论

例题3：几何的方法

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7.定积分定义求极限

提可爱因子$\frac{1}{n}$

判断是夹逼原理还是定积分定义：看变化部分的最大值与主体部分相比较：
①是次量级：夹逼
②是同量级：定积分定义 【高数辅导讲义 P30】

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例题1：武基础班例题   定积分定义求极限

答案：

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8.利用单调有界准则求极限

递推关系处理数列极限：
$x_{n+1}=f(x_n)$，求极限$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$：
①单调有界准则证明极限存在 ②等式两边同时取极限，求出极限

(0)基本不等式
$2ab\le a^2+b^2$
${}^3\sqrt{abc}\le \frac{a+b+c}{3}$

(1)证明单调性：①后项减前项 ②后项比前项（难点）

找界

求出极限

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例题1：660 T19   利用单调有界准则求极限

答案：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

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7.求极限的常见题型

(一) 函数的极限

(1)求函数极限的7种未定式

7种未定式：$\frac{0}{0}$、$\frac{\infty }{\infty }$、$\infty -\infty$、$0\cdot \infty$、$1^{\infty }$、${\infty }^0$、$0^0$

(1)$\frac{0}{0}$
三种方法：①洛必达 ②等价无穷小 ③泰勒公式
三种化简：①极限非零因子可以先求出来 ②有理化 ③变量代换

(2)$0\cdot \infty$
$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=0$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^a{\ln }^{k}x=0(a>0,k>0)$

(3)$\infty -\infty$
①分式差：通分化为$\frac{0}{0}$
②根式差：根式有理化
③提无穷因子 + 等价代换/换元(变量代换)/泰勒公式

(4)$1^{\infty }$
三部曲：
①原式$=\lim [1+\alpha (x){]}^{\beta (x)}$
②$\lim \alpha (x)\beta (x)=A$
③原式$=e^A$

例题：求函数极限

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例题1：24李林六(一)17.   变上限积分求导

答案：$\frac{e}{4}$

例题2：11年15.   1^∞ 重要极限

答案

例题3：20年9.

答案

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(二) 数列的极限

(1)n项和的数列极限

(2)n项积的数列极限

(3)递推关系 $x_1=a$ 和 $x_{n+1}=f(x_n)(n=1,2,...)$ 定义的数列

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例题1：18年19.

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8.极限的综合题

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例题1：已知一个极限，求另一个极限

法一：加一项减一项

法二：泰勒公式展开

法三：特殊值法

例题2：24李林六(六)11.   极限、导数定义、切线方程

分析：
-x+x

三种方法求$f(0)=-1$，但只有法二 -x+x 能求出$f^{\prime }(0)$

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三、连续

1.连续性的概念

2.间断点

(1)间断点的定义

(2)间断点的分类

1.第一类间断点：左右极限都存在

①可去间断点：左右极限都存在，且相等

②跳跃间断点：左右极限都存在，但不等

2.第二类间断点：左右极限至少有一个不存在，为∞
①无穷间断点：存在无界点 / 瑕点，y(a)=∞，则a为无穷间断点，例如$\tan \frac{\pi }{2}$

②振荡间断点：振荡不存在，但是有界，并不是无穷。典型例子sin∞：$\underset{x\to 0}{\lim }\sin \frac{1}{x}$

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例题1：660 T24

答案：(1，e)

例题2：

答案：①找间断点 ②求间断点处的极限，判断是第一类还是第二类间断点

例题3：

答案：

例题4：

答案：

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3.连续性的运算与性质

定义区间：包含在定义域内部的区间。定义域唯一，定义区间不唯一。

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例题1：

答案：

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4.闭区间上连续函数的性质

1.有界性与最大最小值定理

连续函数在闭区间上：①有界 ②且一定能取得它的最大值与最小值

2.介值定理

设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在这区间的端点取不同的函数值$f(a)=A,f(b)=B$，则对于A与B之间的任意一个数C， $\exists \xi \in (a,b)$使得 $f(\xi )=C$

3.零点定理

若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$f(\xi )=0$

零点：若$x_0$使得$f(x_0)=0$，那么称$x_0$为函数$f(x)$的零点

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例题1：

答案：最大最小值定理、介值定理

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5.总结

(1)连续与可导

连续：左极限 = 函数值 =右极限
可导：左导数 = 右导数

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例题1：07年4.

分析：AB是连续，CD是可导

A：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}存在⇨\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0\stackrel{连续}{\to }f(0)=0$

或者 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}\cdot x=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}\cdot \underset{x\to 0}{\lim }x=0$（有界×无穷小 = 无穷小）

B：两种方法同理可证 2f(0)=0

C：导数定义 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime }(0)存在$

D：举反例，|x|在x=0处不可导

答案：D

例题2：16年4.

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(2)连续与极限

若$f(x_n)$连续，则$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=f(\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n)$
举例：
①$f(x)=e^x$，$\underset{n\to \infty }{\lim }{e}^{x_n}=e^{\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n}$
②$f(x)=\ln x$，$\underset{n\to \infty }{\lim }\ln x_n=\ln \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$ 【880 第一章综合填空4】

(3)极限需要注意的问题：求极限，能否直接代入的问题

①极限非零因子可以先求出来 【辅导讲义 0/0的极限，三大化简方法】
②若剩余部分均为常数，则该处极限可以直接求 【880 第一章综合填空4】