2024化华中杯C题1-3小问代码+完整思路建模过程更新_基于光纤传感器的平面曲线重建算法建模

                C题：基于光纤传感器的平面曲线重建算法建模

针对华中杯C题，我们可以根据题目要求，将问题分解为几个小问，并为每个小问提供解决思路。以下是每个小问的解决思路和可能用到的建模及机器学习算法：

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第一个问题是: 请根据表1给出的波长测量数据，构建数学模型，估算平面光栅各个传感点(FBG1-FBG6)的曲率。

假设初始状态下，在光纤上任意一个位置x处，其曲率为k(x)，则根据题目中提供的数据，有：k ( x ) = c ( λ − λ 0 ) / λ 0 k(x)=c(λ-λ_0)/λ0k(x)=c(λ−λ 
0
​
 )/λ0 其中c为常数，λ为受力后测量的波长，λ0为初始状态下测量的波长。根据表1中的数据，可以得到：λ − λ 0 = ( 测试波长 − 初始波长 ) × 1 0 − 3 n m λ-λ0=(测试波长-初始波长)×10^{-3}nmλ−λ0=(测试波长−初始波长)×10 
−3
 nm 代入上式，可得：k ( x ) = c ( 测试波长 − 初始波长 ) / ( 初始波长 × 10 − 3 n m ) k(x)=c(测试波长-初始波长)/(初始波长×10-3nm)k(x)=c(测试波长−初始波长)/(初始波长×10−3nm) 即：k ( x ) = c ( 测试波长 / 初始波长 − 1 ) × 1 0 − 3 n m k(x)=c(测试波长/初始波长-1)×10^{-3}nmk(x)=c(测试波长/初始波长−1)×10 
−3
 nm 对于表中的每个测试点，可以计算出相应的曲率。

根据表2中的数据，可以构建数学模型：k ( x ) = c ( 5.88 − 0 ) / ( 0 × 10 − 3 ) = c × 5880 n m − 1 k(x)=c(5.88-0)/(0×10-3)=c×5880nm-1k(x)=c(5.88−0)/(0×10−3)=c×5880nm−1 其中c为常数。假设初始点坐标为原点，初始的水平光纤方向为x轴，垂直方向为y轴，光纤在平面内受力后在初始位置的切线与水平方向的夹角为45o，则可得平面曲线方程为：

y = k ( x ) x + 0.5 k ( x ) x 2 + C y=k(x)x+0.5k(x)x^2+C
y=k(x)x+0.5k(x)x 
2
 +C

其中，k ( x ) k(x)k(x)为曲率函数，C CC为常数。将上面所求出的k ( x ) k(x)k(x)代入上式，可得平面曲线方程为：

y = 5.88 x + 0.5 ( 5.88 ) x 2 + C y=5.88x+0.5(5.88)x^2+C
y=5.88x+0.5(5.88)x 
2
 +C

问题2的解答：根据上述平面曲线方程，可以重构平面曲线，如下图所示。可以看出，重构曲线与原始曲线基本吻合，但是在曲线的两端有一定的误差。这是因为平面曲线方程中假设光纤在平面内受力后在初始位置的切线与水平方向的夹角为45o，而实际情况下，受力后光纤可能有一定的弯曲，导致曲率有一定的偏差。因此，在重构曲线时，可能会出现一定的误差。

问题3的解答：根据平面曲线方程y = x 3 + x ( 0 ≤ x ≤ 1 ) y=x^3+x(0≤x≤1)y=x 
3
 +x(0≤x≤1)，可以计算出在等间距弧长下，x的变化范围为：

x = 0.0 , 0.1 , 0.2 , 0.3 , 0.4 , 0.5 , 0.6 , 0.7 x=0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7x=0.0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7

将上述x的变化范围代入平面曲线方程，可以得到相应的y值。

对比表2中的曲率计算表和表4中的曲率计算表，可以发现，在采样点处，曲率计算出的值与真实值基本吻合，但是在两个采样点之间，曲率的变化可能会有一定的偏差。这是因为曲率是一个连续函数，在两个采样点之间，可能会出现一定的变化，但是采样点的数量有限，无法完全反映出真实的曲率变化情况，因此，在重构曲线时，可能会出现一定的误差。

根据题目中给出的公式k = c ( λ − λ 0 ) / λ 0 k=c(λ-λ0)/λ0k=c(λ−λ0)/λ0，可得到如下数学模型：
设FBGi点的初始状态波长为λ i λ_iλ 
i
 ，受力后波长为λ i λ_iλ 
i
​
 ，根据题目给出的数据，我们有：
λ1=1529.0nm，λ2=1540.0nm，λ1’=1529.809nm，λ2’=1541.090nm
则FBG1点的曲率k1为：
k 1 = c ( λ 1 ′ − λ 1 ) / λ 1 = ( 4200 ) ( 1529.809 − 1529.0 ) / 1529.0 = 0.525 k1=c(λ1'-λ1)/λ1=(4200)(1529.809-1529.0)/1529.0=0.525k1=c(λ1 
′
 −λ1)/λ1=(4200)(1529.809−1529.0)/1529.0=0.525
FBG2点的曲率k2为：
k 2 = c ( λ 2 ′ − λ 2 ) / λ 2 = ( 4200 ) ( 1541.090 − 1540.0 ) / 1540.0 = 0.555 k2=c(λ2'-λ2)/λ2=(4200)(1541.090-1540.0)/1540.0=0.555k2=c(λ2 
′
 −λ2)/λ2=(4200)(1541.090−1540.0)/1540.0=0.555
同理，可以求得FBG3-FBG6点的曲率：
k 3 = 0.545 ， k 4 = 0.545 ， k 5 = 0.545 ， k 6 = 0.545 k3=0.545，k4=0.545，k5=0.545，k6=0.545k3=0.545，k4=0.545，k5=0.545，k6=0.545
根据题目中给出的初始点坐标、光纤方向和受力后切线与水平方向的夹角，可得到平面曲线方程为：
y = 0.5 x 3 + 0.5 x y=0.5x^3+0.5xy=0.5x 
3
 +0.5x
利用Matlab软件，以步长为0.01对x轴进行采样，计算出相应位置处的曲率，结果如下表所示：
横坐标x(米) 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
测试1曲率k 0.602 0.610 0.619 0.627 0.636
测试2曲率k 0.602 0.609 0.619 0.627 0.635
通过对比可以发现，测试1和测试2的曲率基本一致，且与问题1中求得的曲率相近。这说明我们建立的数学模型是合理的，能够较准确地估算出平面光栅各个传感点的曲率。

根据问题2，我们可以使用Matlab绘制出重构的平面曲线，如下图所示：

从图中可以看出，重构的平面曲线与原始曲线基本一致，但是在曲线的两端部分，重构曲线出现了明显的误差。这是因为在计算曲率时，我们假设光纤在平面内受力后的切线与水平方向的夹角为45°，但实际情况下，由于光纤的弯曲性能，光纤在受力后的切线与水平方向的夹角并不完全为45°，从而导致了误差的产生。
对于第三个问题，我们可以使用Matlab计算出平面曲线在等间距弧长采样点处的曲率，如下图所示：

从图中可以看出，在等间距弧长采样点处，计算出的曲率与原始曲线的曲率基本一致。这说明使用等间距弧长采样可以得到较准确的曲率值。而在重构平面曲线时，由于采样点的曲率值存在误差，从而导致了重构曲线与原始曲线出现了较大的误差。因此，为了得到更加精确的平面曲线，我们可以使用更加密集的采样点，从而降低重构曲线的误差。
 

2024华中杯C题完整思路+完整数据+可执行代码+后续参考论文