深度学习之激活函数_sigmoid函数

转自[深度学习中常用激活函数总结 - 知乎]

0. 前言

本文总结了几个在深度学习中比较常用的激活函数：Sigmoid、ReLU、LeakyReLU以及Tanh，从激活函数的表达式、导数推导以及简单的编程实现来说明。

1. Sigmoid激活函数

Sigmoid激活函数表达式

Sigmoid导数表达式

Sigmoid编程实现

Sigmoid激活函数以及导函数图像

Sigmoid激活函数也叫做Logistic函数，因为它是线性回归转换为Logistic（逻辑回归）的核心函数，这也是Sigmoid函数优良的特性能够把X ∈ R的输出压缩到X ∈ (0, 1)区间。Sigmoid激活函数在其大部分定义域内都会趋于一个饱和的定值。当x取绝对值很大的正值的时候，Sigmoid激活函数会饱和到一个高值（无限趋近于1）；当x取绝对值很大的负值的时候，Sigmoid激活函数会饱和到一个低值（无限趋近于0）。Sigmoid函数是连续可导函数，在零点时候导数最大，并在向两边逐渐降低，可以简单理解成输入非常大或者非常小的时候，梯度为0没有梯度，如果使用梯度下降法，参数得不到更新优化。

Sigmoid函数最大的特点就是将数值压缩到(0, 1)区间，在机器学习中常利用(0, 1)区间的数值来表示以下意义：

1. 概率分布：根据概率公理化定义知道，概率的取值范围在[0, 1]之间，Sigmoid函数的(0, 1)区间的输出和概率分布的取值范围[0, 1]契合。因此可以利用Sigmoid函数将输出转译为概率值的输出。这也是Logistic（逻辑回归）使用Sigmoid函数的原因之一；
2. 信号强度：一般可以将0~1理解成某种信号的强度。由于RNN循环神经网络只能够解决短期依赖的问题，不能够解决长期依赖的问题，因此提出了LSTM、GRU，这些网络相比于RNN最大的特点就是加入了门控制，通过门来控制是否允许记忆通过，而Sigmoid函数还能够代表门控值（Gate）的强度，当Sigmoid输出1的时候代表当前门控全部开放（允许全部记忆通过），当Sigmoid输出0的时候代表门控关闭（不允许任何记忆通过）。

上面介绍了Sigmoid激活函数将输出映射到(0, 1)区间在机器学习中的两个意义，这也是Sigmoid激活函数的优点。接下来介绍一下Sigmoid激活函数的缺点：

• 经过Sigmoid激活函数输出的均值为0.5，即输出为非0均值；

Sigmoid激活函数输出均值不为0

反向传播时候更新方向要不往正向更新，要不往负向更新，会导致捆绑效果，使得收敛速度减慢。当然，如果使用小批量梯度下降法，由于每个小batch可能会得到不同的信号，所以这个问题还是有可能缓解的。2015年loffe提出的批标准化（Batch Normalization）就是为了适应性的将每层输出分布都进行统一，以便网络学习更加稳定、更快的传播。

• 计算求解的时候计算量较大，相对来说会比较耗时。这其实很好理解，因为观察Sigmoid激活函数表达式会发现其中有幂函数参与了运算，而且在反向传播求导过程中涉及到除法运算；
• 对于Sigmoid激活函数最致命的缺点就是容易发生梯度弥散（Gradient vanishing）现象（当然也可能会发生梯度爆炸Exploding gradient，前面层的梯度通过模型训练变的很大，由于反向传播中链式法则的原因，导致后面层的梯度值会以指数级增大。但是在Sigmoid激活函数中梯度保障发生的概率非常小），所谓梯度弥散故名思议就是梯度值越来越小。在深度学习中，梯度更新是从后向前更新的，这也就是所谓的反向传播（Backpropagation algorithm），而反向传播的核心是链式法则。如果使用Sigmoid激活函数，训练的网络比较浅还比较好，但是一旦训练较深的神经网络，会导致每次传过来的梯度都会乘上小于1的值，多经过几层之后，梯度就会变得非常非常小（逐渐接近于0），梯度因此消失了，对应的参数得不到更新。因此使用Sigmoid激活函数，随着神经网络层数的增加，会出现靠近输出的层参数更新幅度比较大，而靠近输入的层参数更新幅度比较小。因而使用Sigmoid激活函数容易出现梯度弥散的现象，无法完成深层网路的训练；

在Tensorflow2.X中Sigmoid激活函数只有函数式接口的实现方式：

1. 函数式接口：tf.nn.sigmoid(x, name = None)；

Sigmoid激活函数实现

3. ReLU激活函数

ReLU激活函数表达式

ReLU导数表达式

ReLU编程实现

ReLU激活函数以及导函数图像

2012年ImageNet竞赛的冠军模型是由Hinton和他的学生Alex设计的AlexNet，其中使用了一个新的激活函数ReLU（REctified Linear Unit，修正线性单元）。在这之前Sigmoid函数通常是神经网络激活函数的首选，上面也提到过，Sigmoid函数在输入值较大或较小的时候容易出现梯度值接近于0的现象，也就是梯度弥散。出现梯度弥散现象，网络参数会长时间得不到更新，很容易导致训练不收敛或停滞不动的现象发生，网络层数较深的网络模型更容易发生梯度弥散现象，使得对神经网络的研究一直停留在浅层网络。值得一提的是，AlexNet是一个8层的网络，而后续提出的上百层的卷积神经网络也多是采用ReLU激活函数。

通过ReLU激活函数的函数图像可以看到，ReLU对小于0的值全部抑制为0；对于正数则直接输出，这是一种单边抑制的特性，而这种单边抑制来源于生物学。ReLU函数的导数计算也非常简单，x大于等于0的时候，导数值为1，在反向传播的过程中，它既不会放大梯度，造成梯度爆炸；也不会缩小梯度，造成梯度弥散的现象。

上面从ReLU函数的起源以及Relu函数图像角度来阐述ReLU激活函数，接下来详细的来看看ReLU函数的优缺点。

优点：

• 不饱和（梯度不会过小）。对于ReLU函数，当输入值为正的时候，梯度恒为1，没有梯度弥散的现象，收敛速度快；
• 增大了网络的稀疏性。当输入值x < 0的时候，该层的输出为0，训练完成后为0的神经元越来越多，稀疏性会变大，网络的协同性会被破坏，更够迫使网络学习到更一般性的特征，泛化能力会变强。这也正是dropout的原理；
• 计算量变小。ReLU函数和Sigmoid函数相比少了复杂的幂运算，计算量变小；

缺点：

• 输出均值非0。ReLU函数与Sigmoid函数相同，输出均值都是非0的，这一点在前面介绍Sigmoid函数的时候提到过，这里不再赘述；
• Dead ReLU。如果某个层的正向梯度值特别大，会导致w优化参数更新后的值变的特别大，由梯度更新公式可知，该层的输入x < 0，相应的输出值为0，那么此时该层就会"死亡"，参数不会更新，而且这是不可逆转的"死亡"，这个神经元永远的失效，这会失去数据样本的多样化。如果开始选定的学习率比较大的话很可能40%的神经元在训练开始的时候就会"死亡"，因此使用ReLU激活函数的时候，需要选定一个合适的学习率让这种情况发生的概率降低；

在Tensorflow2.X中ReLU激活函数有两种实现方式：

1. 函数式接口：tf.nn.relu(x, name = None)；
2. 激活函数类：tf.keras.layers.ReLU()。可以像Dense层一样将ReLU函数作为一个网络层添加到网络中，一般来说，激活函数类并不是主要的网络运算层，因此不计入网络的层数；

ReLU激活函数函数式接口

ReLU激活函数类

4. LeakyReLU激活函数

LeakyReLU激活函数表达式

LeakyReLU导数表达式

LeakyReLU函数以及导函数实现

LeakyReLU激活函数以及导函数图像

LeakyReLU函数是针对ReLU函数的Dead ReLU而提出来的。ReLU激活函数在x < 0的时候导数恒为0，很可能致使很多神经元为0，参数得不到更新。通过LeakyReLU函数表达式也可以看出，与ReLU函数唯一的不同就是在x < 0的部分输出不在为0而是px，p为超参数，通常是一个较小的值。当p = 0的时候，LeakyReLU函数退化成ReLU函数；当p ≠ 0的时候，在x < 0的时候能够得到较小的导数值p。从而避免出现Dead ReLU的现象。

当然了其实ReLU激活函数当x < 0的时候输出为0也有它的优点。也就是增大网络的稀疏性，这往往会提高模型的泛化能力（类似dropout作用）。因此虽然提出了LeakyReLU这种激活函数，但是目前使用比较广泛的还是ReLU激活函数。

在Tensorflow2.X中LeakyReLU激活函数有两种实现方式：

1. 函数式接口：tf.nn.leaky_relu(x, name = None)；
2. 激活函数类：tf.keras.layers.LeakyReLU()。可以像Dense层一样将LeakyReLU函数作为一个网络层添加到网络中，一般来说，激活函数类并不是主要的网络运算层，因此不计入网络的层数；

LeakyReLU激活函数函数式接口

LeakyReLU激活函数类

4. Tanh激活函数

Tanh激活函数表达式

Tanh导函数表达式

Tanh函数实现

Tanh函数以及导函数图像

Tanh激活函数（hyperbolic tangent, 双曲正切），通过函数表达式可以看出，tanh可由sigmoid激活函数平移缩放得到。tanh函数将输出值映射到(-1, 1)区间，有点类似于幅度增大的sigmoid激活函数。

接下来依然介绍tanh函数的优点和缺点。

优点：

• 输出均值为0。这是tanh非常重要的一个优点；
• tanh在原点附近与y = x函数形式相近，当激活值比较低的时候，训练相对比容易；
• tanh的变化敏感区间较宽，缓解梯度弥散的现象。tanh导数取值范围在0到1之间，要优于sigmoid激活函数的0到0.25，相比于Sigmoid激活函数能够缓解梯度弥散的现象；
• tanh的输出和输入能够保持非线性单调上升和下降的关系，符合反向传网络梯度的求解，容错性好，有界；

缺点：

• 计算量比较大；

在Tensorflow2.X中tanh激活函数只有函数式接口的实现方式：

1. tf.nn.tanh(x, name = None)；

Tanh函数实现