Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（5）—从图像恢复仿射和度量性质_仿射矫正和度量矫正

            从图像恢复仿射和度量性质

  射影矫正的目的是消除平面的透视图像中的射影失真，使得原始平面的相似性质(角度，长度比)可以被测量。

1.由图像恢复仿射性质

结论 1：  在射影变换 $H$下，无穷远直线$l_{\infty }$为不动直线的充要条件是$H$是仿射变换。
证明：
l ∞ ′ = H A − T l ∞ = [ A − T 0 − t − T A − T 1 ] [ 0 0 1 ] = [ 0 0 1 ] = l ∞ l_{\infty }^{'}=H_{A}^{-T}l_{\infty }=

$$\begin{bmatrix} A^{-T} & 0\\ -t ^{-T}A^{-T}& 1 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$$ =l_{\infty } l∞′​=HA−T​l∞​=[A−T−t−TA−T​01​]⎣⎡​001​⎦⎤​=⎣⎡​001​⎦⎤​=l∞​

  同理，逆命题也是正确的。

  在平面的像中，一但无穷远直线的像得到辨认，就有可能对原平面进行仿射测量。如图1所示，直接把已辨认的$l_{\infty }$变换到它的规范位置$l_{\infty }=(0,0,1{)}^T$。把实现此变换的(射影)矩阵应用于图像中的每一点以达到对图像进行仿射矫正的目的，即变换之后，仿射测量可以直接在矫正过的图像中进行。
     
$$图1仿射矫正$$

  如果无穷远直线的像是$I=(l_1,l_2,l_3{)}^T$,假定$l_3\ne 0,那么把l映射回$$l_{\infty }=（0,0,1{）}^T$的一个合适的射影点变换是:
H = H A [ 1 0 0 0 1 0 l 1 l 2 l 3 ] H=H_{A}

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0& 1 &0 \\ l_{1}& l_{2} &l_{3} \end{bmatrix}$$ H=HA​⎣⎡​10l1​​01l2​​00l3​​⎦⎤​

直线上的距离比
  给定一条直线上有已知长度比的两个线段，该直线上的无穷远点便可以确定。

2.虚圆点及其对偶

虚圆点 每一圆周与$l_{\infty }$相交的点称为虚圆点。
  在二次曲线为圆时有$a=c$且$b=0$。取$a=1$则：
$$x_1^2+x_2^2+d{x}_1{x}_3+e{x}_2{x}_3+f{x}_3^2=0$$

  该二次曲线相交与$l_{\infty }$于( 理想) 点（$x_3=0$）:
$$x_1^2+x_2^2=0$$

  解得$I=(1,i,0{)}^T$ ,$J=(1,-i,0{)}^T$

结论2 在射影变换$H$下 . 虚圆点$I$和$J$为不动点的充要条件是$H$是相似变换。
证明
  虚圆点(也称绝对点)$I=(1,i,0{)}^T$ ,$J=(1,-i,0{)}^T$在保向相似变换下:
I ′ = H S I = [ s c o s θ − s s i n θ t x s s i n θ s c o s θ t y 0 0 1 ] ( 1 i 0 ) = s e − i θ ( 1 i 0 ) = I I'=H_{S}I=

$$\begin{bmatrix} scos\theta & -ssin\theta & t_{x}\\ ssin\theta & scos\theta & t_{y}\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 1\\ i\\ 0 \end{pmatrix}$$ =se^{-i\theta } $$\begin{pmatrix} 1\\ i\\ 0 \end{pmatrix}$$ =I I′=HS​I=⎣⎡​scosθssinθ0​−ssinθscosθ0​tx​ty​1​⎦⎤​⎝⎛​1i0​⎠⎞​=se−iθ⎝⎛​1i0​⎠⎞​=I

  同理$ J $也可证明。

与虚圆点对偶的二次曲线 $C_{\infty }^{\ast }=I{J}^T+J{I}^T$

结论 3  对偶二次曲线$C_{\infty }^{\ast }$在射影变换$H$下不变的充要条件是$H$是相似变换。
此外，在任何射影框架下，对偶二次曲线$C_{\infty }^{\ast }$还具有以下性质：

• 有 4 自由度
• $l_{\infty }$ 是$C_{\infty }^{\ast }$的零矢量

3.射影子面上的夹角

  在欧氏几何中，两线间的夹角由它们法线的点乘来计算。直线$I=(l_1,l_2,l_3{)}^T$和$m=(m_1,m_2,m_3{)}^T$的法线分别平行于$ (l_1,l_2)^T$和$ (m_1,m_2)^T$，其夹角为：
$$cos\theta =\frac{l_1{m}_1+l_2{m}_2}{\sqrt{(l_1^2+l_2^2)(m_1^2+m_2^2)}}$$

  在射影变换下不变的公式为:
$$cos\theta =\frac{l^T{C}_{\infty }^{\ast }m}{\sqrt{(l^T{C}_{\infty }^{\ast }l)(m^T{C}_{\infty }^{\ast }m)}}$$

  其中$C_{\infty }^{\ast }$是与虚圆点对偶的二次曲线。

结论4 一旦二次曲线$C_{\infty }^{\ast }$在射影平面上被辨认，那 么欧氏角可以测量。

结论5 如果$l^T{C}_{\infty }^{\ast }m=0$, 则直线$l$和$m$正交。

结论6 一旦二次曲线$C_{\infty }^{\ast }$在射影平面上被辨认，长度比同样可以测量。

###4.由图像恢复度量性质

  把虚圆点变换到它们的标准位置，就可以由平面的图像恢复度量性质。对偶二次曲线$C_{\infty }^{\ast }$几乎包含了实现度量矫正所需的全部信息。它能确定射影变换中的仿射和射影成分，而只留下相似变换的失真。

结论7 在射影平面上，一旦 $C_{\infty }^{\ast }$辨认， 那么射影失真可以矫正到相差一个相似变换。