【学习笔记】数据结构与算法07 - 图：邻接表，邻接矩阵

学习资料：hello算法（强烈推荐

一、认识图

先举个例子，使用一组顶点 V 和一组边 E 的集合来表示图G。以下示例展示了一个包含 5 个顶点和 7 条边的图。

• V={1,2,3,4,5}（数组）

• E={(1,2),(1,3),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(4,5)}（二维数组，表示边

• G={V,E}（组合，成为图）

如下

「图 graph」是一种非线性数据结构，由「顶点 vertex」和「边 edge」组成。

相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，因而更为复杂。

1.1 图的常见类型

1.1.1 根据边是否有方向分类

根据边是否具有方向，可分为**「无向图 undirected graph」和「有向图 directed graph**」

• 在无向图中，边表示两顶点之间的**“双向”连接关系**，例如微信或 QQ 中的“好友关系”。
• 在有向图中，边具有方向性，即A→B 和A←B两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系。

1.1.2 所有顶点是否连通

「连通图 connected graph」和「非连通图 disconnected graph」

• 对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点。
• 对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达。

1.1.3 边是否添加“权重”变量

为边添加“权重”变量，成为「有权图 weighted graph」。

例如在《王者荣耀》等手游中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。

1.2 图的常见术语

前面有提到的：「顶点 vertex」和「边 edge」

「邻接 adjacency」

当两顶点之间存在边相连时，称这两顶点“邻接”。

在下图中，顶点 1 的邻接顶点为顶点 2、3、5。

「路径 path」

从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。在下图中，边序列 1-5-2-4 是顶点 1 到顶点 4 的一条路径。

「度 degree」

一个顶点拥有的边数。

下图中，顶点1的度为3。

对于有向图，「入度 in-degree」表示有多少条边指向该顶点，「出度 out-degree」表示有多少条边从该顶点指出。

下图中，顶点1的入度为3，出度为1

1.3 图的表示

图的常用表示方式包括**“邻接矩阵”和“邻接表”**。以下使用无向图进行举例。

1.3.1 「邻接矩阵 adjacency matrix」

设图的顶点数量为 n ，「邻接矩阵 adjacency matrix」使用一个 n×n 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 1 或 0 表示两个顶点之间是否存在边。

如图所示，设邻接矩阵为 M、顶点列表为 V ，那么

• 矩阵元素 M[i,j]=1 表示顶点 V[i] 到顶点 V[j] 之间存在边；
• 反之 M[i,j]=0 ，表示两顶点之间无边。

尝试从矩阵M逐步反推出图：

1. 从矩阵M中可以得出存在顶点1~5共5个
2. 也便于得出边：1-3 1-2 1-5 3-2 2-5 2-4 5-4
3. 将边和点绘制成图

邻接矩阵具有以下特性。

• 顶点不能与自身相连，因此邻接矩阵主对角线元素没有意义。
• 对于无向图，两个方向的边等价，此时邻接矩阵关于主对角线对称。
• 将邻接矩阵的元素从 1 和 0 替换为权重，则可表示有权图。

复杂度分析

使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接访问矩阵元素以获取边，因此增删查改操作的效率很高，时间复杂度均为 O(1) 。然而，矩阵的空间复杂度为 O(n2) ，内存占用较多。

1.3.2 「邻接表 adjacency list」

「邻接表 adjacency list」使用 n 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 i 个链表对应顶点 i ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（与该顶点相连的顶点）。

如下图 展示了一个使用邻接表存储的图的示例。

尝试使用邻接表反推出图。

邻接表的特点是将每个顶点和它的邻接顶点进行（链式）存储，只要遍历链表就可以绘制出图。

1-235

2-13

3-12

5-124

4-25

与邻接矩阵不同的是，邻接表仅存储实际存在的边，而边的总数通常远小于 n² ，因此它更加节省空间。

然而，在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，因此其时间效率不如邻接矩阵。

复杂度分析

邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似，因此我们也可以采用类似的方法来优化效率。比如当链表较长时，可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 O(n) 优化至 O(log⁡n) ；还可以把链表转换为哈希表，从而将时间复杂度降至 O(1) 。

1.4 图的常见应用

许多现实系统可以用图来建模，相应的问题也可以约化为图计算问题。

二 图的基础操作

图的基础操作可分为对“边”的操作和对“顶点”的操作。在“邻接矩阵”和“邻接表”两种表示方法下，实现方式有所不同。

2.1 基于邻接矩阵的实现¶

给定一个顶点数量为 n 的无向图，则各种操作的实现方式

• 添加或删除边：直接在邻接矩阵中修改指定的边即可，使用 O(1) 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。

  

  

• 添加顶点：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 0 即可，使用 O(n) 时间。

  

• 删除顶点：在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况，需要将 (n−1)² 个元素“向左上移动”，从而使用 O(n²) 时间。

  

• 初始化：传入 n 个顶点，初始化长度为 n 的顶点列表 vertices ，使用 O(n) 时间；初始化 n×n 大小的邻接矩阵 adjMat ，使用 O(n2) 时间。

  

java实现

// 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
List<Integer> vertices; 
// 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”
List<List<Integer>> adjMat; 
1
2
3
4

2.2 基于邻接表的实现¶

设无向图的顶点总数为 n、边总数为 m ，则可根据图 9-8 所示的方法实现各种操作。

• 添加边：在顶点对应链表的末尾添加边即可，使用 O(1) 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。

  

• 删除边：在顶点对应链表中查找并删除指定边，使用 O(m) 时间。在无向图中，需要同时删除两个方向的边。

  

• 添加顶点：在邻接表中添加一个链表，并将新增顶点作为链表头节点，使用 O(1) 时间。

  ​

• 删除顶点：需遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 O(n+m) 时间。

  

• 初始化：在邻接表中创建 n 个顶点和 2m 条边，使用 O(n+m) 时间。

  

以下是邻接表的代码实现。实际代码有以下不同。（实际应用场景中也可以使用列表，以快速实现功能牺牲一小部分性能

• 为了方便添加与删除顶点，以及简化代码，我们使用列表（动态数组）来代替链表。
• 使用哈希表来存储邻接表，key 为顶点实例，value 为该顶点的邻接顶点列表（链表）。

// 邻接表，key：顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
Map<Vertex, List<Vertex>> adjList;
1
2

2.3 效率对比

设图中共有 n 个顶点和 m 条边，

总结

• 表面上看，似乎邻接表（哈希表）的时间效率与空间效率最优。
• 但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需一次数组访问或赋值操作即可。
• 综合来看，邻接矩阵体现了**“以空间换时间”的原则，而邻接表体现了“以时间换空间”**的原则。

三、 图的遍历

树代表的是“一对多”的关系，而图则具有更高的自由度，可以表示任意的“多对多”关系。因此，我们可以把树看作图的一种特例。

显然，树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例。

和树一样，图的遍历方式也可分为两种：「广度优先遍历」和「深度优先遍历」。

（具体实现先略，看得脑袋疼

四、总结

重点回顾¶

• 图由顶点和边组成，可以表示为一组顶点和一组边构成的集合。
• 相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）具有更高的自由度，因而更为复杂。
• 有向图的边具有方向性，连通图中的任意顶点均可达，有权图的每条边都包含权重变量。
• 邻接矩阵利用矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 1 或 0 表示两个顶点之间有边或无边。邻接矩阵在增删查改操作上效率很高，但空间占用较多。
• 邻接表使用多个链表来表示图，第 i 个链表对应顶点 i ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点。邻接表相对于邻接矩阵更加节省空间，但由于需要遍历链表来查找边，因此时间效率较低。
• 当邻接表中的链表过长时，可以将其转换为红黑树或哈希表，从而提升查询效率。
• 从算法思想的角度分析，邻接矩阵体现了“以空间换时间”，邻接表体现了“以时间换空间”。
• 图可用于建模各类现实系统，如社交网络、地铁线路等。
• 树是图的一种特例，树的遍历也是图的遍历的一种特例。
• 图的广度优先遍历是一种由近及远、层层扩张的搜索方式，通常借助队列实现。
• 图的深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走时再回溯的搜索方式，常基于递归来实现。