鲁棒优化（1）

前言

打算做一个鲁棒优化的系列，先从Bertsimas，2004的文章开始学习，最后的目标时做到分布鲁棒，我也是初学者.

一、什么是鲁棒优化

简而言之，当你的模型存在不确定系数，而你需要免疫这些不确定系数，那你就需要考虑一下鲁棒优化.

二、基本的模型和假设

1.线性模型

我们假设，c矩阵不包含不确定变量，如果你的模型包含不确定变量，可以将目标函数化成约束的形式.扰动变量只在A阵出现.，约束的右端都是确定参数.

更具体的形式如上，公式（2）.

我们假设随机变量a，在一定范围内扰动，有上下界，且独立对称分布
a_hat，就是其的波动范围.

上图表示是y等于x的绝对值，是一种线性化的方法，不懂得可以知乎线性化技巧，了解一下.

将模型（2）优化出来的结果，代入约束中，接下来我们分析这个解为什么是鲁棒解，即对所有区间内的扰动都满足约束.


上述两个公式可以明显的看出，缩放后的约束，左端项与右端项，具有明显的差距.
因为它每一个不确定量都取了最坏的情况，这导致结果非常的保守，这种极端保守的解，会导致很大的浪费.于是数学家们，开始寻找一种方法，减少这个保守度.下一篇，将讲述减少保守度，和控制保守度的方法，以及其对应的机会约束概率.
举例子

假设x_2前面的系数，【-2，1，0】是波动的，波动的范围是0.5.

x_1=sdpvar(1,1);
x_2=sdpvar(1,1);
x_3=sdpvar(1,1);
y=sdpvar(1,1);
Constraints=[x_1-2*x_2+x_3+0.5*y<=11,...
            3<=-4*x_1+x_2+2*x_3+0.5*y,...
            -2*x_1+x_3==1,...
            x_2<=y,...
            -x_2<=y,...
            0<=x_1,0<=x_2,0<=x_3,0<=y];
F=-(3*x_1-x_2-x_3);
optimize(Constraints,F)
F=value(F);
x_1=value(x_1);
x_2=value(x_2);
x_3=value(x_3);
1
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yalmip+gurobi编写求解.

发现y并不等于x_2的绝对值，询问朋友后，我的这种线性化方法，并不是完全等价的，松弛不紧凑，原因是梯度消失.所有大家在用这种方法去绝对值时，要小心.建议使用SOS1.具体我也不是很清楚