《高等数学》笔记

第一章 函数与极限

第四节 无穷小与无穷大

定义1 无穷小

  如果函数$f(x)$当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的无穷小。

第七节 无穷小的比较

  设有两个无穷小$\alpha 、\beta$，且$\alpha \ne 0$。
  则：

如果$\lim \frac{\alpha }{\beta }=0$，那么就说$\beta$是比$\alpha$ 高阶的无穷小，记作 $\beta =o(\alpha )$ ;
如果$\lim \frac{\alpha }{\beta }=\infty$，那么就说$\beta$是比$\alpha$低阶的无穷小；
如果$\lim \frac{\alpha }{\beta }=c\ne 0$，那么就说$\beta$与$\alpha$是同阶无穷小。

第三章 微分中值定理与导数的应用

第三节 泰勒公式

泰勒（Taylor）中值定理1

如果函数$f(x)$在$x_0$处具有$n$阶导数，那么存在$x_0$的一个领域，对于该邻域内的八一$x$，有

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x),(3-3)$$

其中

$$R_n(x)=o((x-x_0{)}^n)$$

(高阶无穷小)

第九章 多元函数微分法及其应用

第二节 偏导数

（1）偏导数
定义 设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y_0$而$x$在$x_0$处有增量$\Delta x$时，相应的函数有增量

$$f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0),$$

如果

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}(2-1)$$

存在，那么称此极限为函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数，记作
$$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{x=x_0}{y=y_0}},\frac{\partial f}{\partial y}{|}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{x=x_0}{y=y_0}},z_x{|}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{x=x_0}{y=y_0}},or{f}_x(x_0,y_0)$$

对于y的偏导数同理。

(2)偏导函数
  如果函数$z=f(x,y)$在区域$D$内每一点$(x,y)$处对$x$的偏导数都存在，那么这个偏导数就就是$x、y$的函数，它就称为函数$z=f(x,y)$对自变量$x$的偏导函数，记作

$$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial x},z_x,or{f}_x(x,y)$$

  偏导函数也常简称为偏导数。

(3)偏微分

   已知函数$f(x,y)$及该函数对自变量$x$的偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$，则定义函数$f(x,y)$对自变量$x$的偏微分为：

$$\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x$$

第三节 全微分

（1）全微分定义

   设函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的某邻域内有定义，如果函数在点$(x,y)$的全增量
$$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$$

可表示为（运用泰勒中值定理1？）

$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )(3-2)$$

其中$A$和$B$不依赖于$x$与$y$，仅与$\Delta x$
和$\Delta y$有关，而$\rho =\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$。那么函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微分，且称$A\Delta x+B\Delta y$为函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全微分，记作$\mathrm{d}z$，即

$$\mathrm{d}z=A\Delta x+B\Delta y$$

（2）全微分的偏导数表示

   如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微分，则该函数在点$(x,y)$处的偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$与$\frac{\partial f}{\partial y}$必定存在，且该点处函数$z=f(x,y)$的全微分可表示为

$$\mathrm{d}z=\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y$$

其中$\Delta x、\Delta y$又常记作$\mathrm{d}x、\mathrm{d}y$，所以上述公式又可以写作：

$$\mathrm{d}z=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y(3-7)$$

（3）叠加原理与三元函数全微分

  二元函数的全微分符合叠加原理，即其等于它两个自变量的偏微分之和。同理三元函数即更多元的函数，也等于其自变量的偏微分之和，例如，对于四元函数$v=v(x,y,z,t)$，有：

$$\mathrm{d}v=\frac{\partial v}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial v}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial v}{\partial z}\mathrm{d}z+\frac{\partial v}{\partial t}\mathrm{d}t$$

第四节 多元复合函数的求导法则

（1）全导数的定义

  如果函数$u=\varphi (t)$与$v=\psi (t)$在$t$点可导，函数$z=f(u,v)$在点$(u,v)$具有连续偏导数，则复合函数$z=f[\varphi (t),\psi (t)]$在点$(u,v)$可导，且有

$$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}(4-1)$$

则式（4-1）称为$z$关于$t$的全导数。

##　第七节　方向导数与梯度

(1)方向导数定义

  设有一有矢量$\mathbf{l}$，其对应的单位矢量为${\mathbf{e}}_{\mathbf{l}}=(cos\alpha ,cos\beta )$，有一多元函数$z=f(x,y)$。则定义函数$z=f(x,y)$在$(x_0,y_0)$点关于$\mathbf{l}$方向的方向导数为$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{x=x_0}{y=y_0}}$，且其值为

$$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{x=x_0}{y=y_0}}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+tcos\alpha ,y_0+tcos\beta )-f(x_0,y_0)}{t}$$

(2)方向导数的求解

  如果函数$f(x,y)$在点$P(x_0,y_0)$处可微分，那么函数$f(x,y)$在该点沿任一方向$\mathbf{l}$的方向导数存在，其值为

$$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{x=x_0}{y=y_0}}=f_x(x_0,y_0)cos\alpha +f_y(x_0,y_0)cos\beta$$

其中$cos\alpha 、cos\beta$为适量$\mathbf{l}$的方向余弦。

（3）梯度函数的定义

  设有一函数$f(x,y)$，则此函数在$P(x_0,y_0)$点的梯度定义为：

$$f_x(x_0,y_0)\mathbf{i}+f_y(x_0,y_0)\mathbf{j}$$

其中$\mathbf{i}、\mathbf{j}$分别为$x$、$y$方向的单位向量，梯度记作$\mathbf{grad}f(x_0,y_0)$或$\nabla f(x_0,y_0)$。

  而方向导数与梯度有如下关系

$$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{x=x_0}{y=y_0}}=\nabla f(x_0,y_0)\cdot {\mathbf{e}}_{\mathbf{l}}=|\nabla f(x_0,y_0)|cos\theta$$

其中$\theta$为梯度与矢量${\mathbf{e}}_{\mathbf{l}}$的夹角。

（4）（二维）向量微分算子

  称

$$\nabla =\frac{\partial }{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial }{\partial y}\mathbf{j}$$

为（二维的）向量微分算子或Nabla算子，例如$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}$。要注意的是向量微分算子并不等于向量的点乘，而可以看作单独的一种运算。

（5）势函数（三维）

1.数量场：
  如果对于空间区域$G$内的每个三维点$M(x,y,z)$都有一个确定的数量$f(M)$，那么称在这个空间区域确定了一个数量场（如温度场、密度场等），称$f(M)$为数量函数。

2.向量场：
  如果与点$M$相对应的是一个向量$\mathbf{F}(M)$,那么称在这空间区域$G$内研究室了一个向量场（例如力场、速度场等）。一个三维向量场可用一个三维向量函数$\mathbf{F}(M)$来确定，而

$$\mathbf{F}(M)=P(M)\mathbf{i}+Q(M)\mathbf{j}+R(M)\mathbf{k},$$

其中$P(M),Q(M),R(M)$都是点$M$的数量函数，而$i,j,k$为$x,y,z$方向的单位向量。

3.势场：
  若向量场$\mathbf{F}(M)$为某一个（同维？）数量场$f(M)$的梯度，即

$$\mathbf{F}(M)=\nabla f(M)$$

则称$f(M)$为向量场$\mathbf{F}(M)$的一个势函数，称$\mathbf{F}(M)$为数量场$f(M)$的势场。

笔记

方向导数：“任意方向的偏导数”
三参数确定三维点，指定二维方向，求第三维相关的方向导数

包含与被包含，方向导数的范围大

方向导数：一个方向
偏导数：两个同线方向