3D射影几何和变换

• 3维空间，点和平面对偶
• 平面上的点的参数表示：$X=Mx$，$M$是4*3矩阵，其列生成$\pi^T$的秩为3的零空间，即$\pi^TM=0^T$

• 线的表示:$A,B$是直线上的点，$P,Q$是过直线的平面
  

  $$W=\begin{bmatrix} A^T\\ B^T\end{bmatrix}, W^*=\begin{bmatrix} P^T\\ Q^T\end{bmatrix}$$
  
  $$L=AB^T-BA^T， L^*=PQ^T-QP^T$$
  
  $$l_{12}:l_{13}:l_{14}:l_{23}:l_{42}:l_{34}=l_{34}^*:l_{42}^*:l_{23}^*:l_{14}^*:l_{13}^*:l_{12}^*$$

• $X,L$联合确定的平面：$\pi = L^*X$，$L,\pi$相交确定的点$X=L\pi$

• 直线坐标：$l=\{ l_{12},l_{13},l_{14},l_{23},l_{42},l_{34} \}$，因为$detL=0$，满足$l_{12}l_{34}+l_{13}l_{42}+l_{14}l_{23}=0$

• $l,\hat l$分别过$A,B$和$\hat A, \hat B$。则相交$\iff det[A,B,\hat A, \hat B]=0$。而

  $$det[A,B,\hat A, \hat B]=l_{12}\hat l_{34}+ ...+\hat l_{14}l_{23}$$

• $l,\hat l$分别是平面$P,Q$和$\hat P, \hat Q$的交线。则相交$\iff det[P,Q,\hat P, \hat Q]=0$。而

  $$det[P,Q,\hat P, \hat Q]=l_{12}\hat l_{34}+ ...+\hat l_{14}l_{23}$$

• $l$是平面$P,Q$的交线，$\hat l$是过$A,B$的连线，那么相交$\iff (P^TA)(Q^TB)-(Q^TA)(P^TB)=0$

• 无穷远平面$\pi _∞$是不动平面$\iff$$H$是一个仿射变换

• 绝对二次曲线$Ω_∞$：$\pi _∞$上的一条二次曲线，满足$x_1^2+x_2^2+x_3^2=0$

• $Ω_∞$是不动二次曲线$\iff$$H$是相似变换

• 度量性质，$d$是3维矢量：
  

  $$cos\theta = \frac {(d_1^TΩ_∞d_2) } {\sqrt {(d_1^TΩ_∞d_1)(d_2^TΩ_∞d_2)}}$$

• 所有圆交$Ω_∞$于2点。圆所在平面是$\pi$，那么$\pi$交$\pi_∞$于一条直线，而该直线交$Ω_∞$于两点。这两点就是$\pi$的虚原点

• $d_1Ω_∞d_2=0$，则$d_1,d_2$垂直。$d^TΩ_∞l=0$，其中$d$是平面的法向量，$l$是该平面和无穷远平面的交线

• 绝对对偶二次曲面$Q_∞^*$：绝对二次曲线的对偶
  

  $$Q_∞^*=\begin{bmatrix} I &0\\ 0^T&0\end{bmatrix}$$

• $Q_∞^*$不动$\iff$$H$是相似变换

• $\pi_∞$是$Q_∞^*$的零矢量

• 平面夹角：
  

  $$cos \theta = \frac {\pi _1^T Q_∞^* \pi _2}{\sqrt{(\pi _1^T Q_∞^* \pi _1)(\pi _2^T Q_∞^* \pi _2)}}$$

应用

• 与度量有关的$Ω_∞$和$Q_∞^*$相关性质