图算法的难度较大，主要掌握深度优先搜索与广度优先搜索。掌握图的基本概念及基本性质、图的存储结构(邻接矩阵、邻接表、邻接多重表和十字链表)及特性、存储结构之间的转化、基于存储结构上的各种遍历操作和各种应用(拓扑排序、最小生成树、最短路径和关键路径)等。

图的相关算法较多，通常只需掌握其基本思想和实现步骤，而实现代码不是重点。

1.有向无环图描述表达式

有向无环图：若一个有向图中不存在环，则称为有向无环图，简称DAG图。

【命题追踪——构建表达式的有向无环图】

有向无环图是描述含有公共子式的表达式的有效工具。例如表达式

((a+b)*(b*(c+d))+(c+d)*e)*((c+d)*e)

可以用上一章描述的二叉树来表示，如图6.20所示。

仔细观察该表达式，可发现有一些相同的子表达式(c+d)和(c+d)*e，而在二叉树中，它们也重复出现。

若利用有向无环图，则可实现对相同子式的共享，从而节省存储空间，图6.21所示为该表达式的有向无环图表示。

注意：在表达式的有向无环图表示中，不可能出现重复的操作数顶点

2.拓扑排序

AOV网：若用有向无环图表示一个工程，其顶点表示活动，用有向边<Vi,Vj>表示活动Vi必须先于活动Vj进行的这样一种关系，则将这种有向图称为顶点表示活动的网络，简称 AOV 网。

在 AOV网中，活动Vi是活动Vj的直接前驱，Vj是Vi的直接后继，这种前驱和后继关系具有传递性，且任何活动Vi不能以它自己作为自己的前驱或后继。

拓扑排序：在图论中，由一个有向无环图的顶点组成的序列，当且仅当满足下列条件时，称为该图的一个拓扑排序：

1) 每个顶点出现且只出现一次。

2) 若顶点A在序列中排在顶点B的前面，则在图中不存在从B到A的路径。

或定义为：拓扑排序是对有向无环图的顶点的一种排序，它使得若存在一条从顶点A到顶点B的路径，则在排序中B出现在A的后面。

每个AOV网都有一个或多个拓扑排序序列。

【命题追踪——拓扑排序和回路的关系】

对一个 AOV 网进行拓扑排序的算法有很多，下面介绍比较常用的一种方法的步骤：

① 从 AOV 网中选择一个没有前驱(入度为 0)的顶点并输出。

② 从网中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。

重复①和②直到当前的 AOV 网为空或当前网中不存在无前驱的顶点为止。

后一种情况说明有向图中必然存在环。

【命题追踪——拓扑排序的实例】

图6.22所示为拓扑排序过程的示例。每轮选择一个入度为0的顶点并输出，然后删除该顶点和所有以它为起点的有向边，最后得到拓扑排序的结果为{1,2,4,3,5}。

拓扑排序算法的实现如下:


bool TopologicalSort(Graph G){
    InitStack(S);                //初始化栈，存储入度为0的顶点
    int i;
    for(i=0;i<G.vexnum;i++)
        if(indegree[i]==0)
            Push(S i);           //将所有入度为0的顶点进栈
    int count=0;                 //计数，记录当前已经输出的顶点数
    while(!IsEmpty(S)){          //栈不空，则存在入度为0的顶点
        Pop(S,i);                //栈顶元素出栈
        print[count++]=i;        //输出顶点i
        for(p=G.vertices[i].firstarc;p;p=p->nextarc){
        //将所有i指向的顶点的入度减1，并且将入度减为0的顶点压入栈s
            v=p->adjvex;
            if(!(--indegree[v]))
                Push(S,v);       //入度为0，则入栈
        }
    }
   if(count<G.vexnum)
        return false;            //排序失败，有向图中有回路
    else
        return true;             //拓扑排序成功
}

【命题追踪——不同存储方式下的拓扑排序的效率】

因为输出每个顶点的同时还要删除以它为起点的边，

所以采用邻接表存储时拓扑排序的时间复杂度为 O(|V|+|E|)，

采用邻接矩阵存储时拓扑排序的时间复杂度为 O(|V|²)。

【命题追踪——DFS 实现拓扑排序的思想】

此外，利用上一节的深度优先遍历也可以实现拓扑排序，下面简单描述其思路。

对于有向无环图G中的任意结点u，v它们之间的关系必然是下列三种之一：

1) 若u是v的祖先，则在调用 DFS 访问 u 之前，必然已对 v 进行了 DFS 访问，即 v 的 DFS结束时间先于 u 的 DFS 结束时间。

从而可考虑在 DFS 函数中设置一个时间标记，在DFS调用结束时，对各顶点计时。

因此，祖先的结束时间必然大于子孙的结束时间。

2) 若u是v的子孙，则v为u的祖先，按上述思路，v的结束时间大于u的结束时间。

3) 若u和v没有路径关系，则u和v在拓扑序列的关系任意。

于是，按结束时间从大到小排列，就可以得到一个拓扑排序序列。

对一个 AOV 网，若采用下列步骤进行排序，则称之为逆拓扑排序：

① 从 AOV 网中选择一个没有后继(出度为 0)的顶点并输出。

② 从网中删除该顶点和所有以它为终点的有向边，

③ 重复①和②直到当前的 AOV 网为空。

用拓扑排序算法处理 AOV 网时，应注意以下问题:

1) 入度为零的顶点，即没有前驱活动的或前驱活动都已经完成的顶点，工程可以从这个顶点所代表的活动开始或继续。

【命题追踪——分析给定图的拓扑序列的存在性和唯一性】

2) 若一个顶点有多个直接后继，则拓扑排序的结果通常不唯一；

但若各个顶点已经排在一个线性有序的序列中，每个顶点有唯一的前驱后继关系，则拓扑排序的结果是唯一的。

3) 由于 AOV 网中各顶点的地位平等，每个顶点编号是人为的，因此可以按拓扑排序的结果重新编号，生成 AOV 网的新的邻接存储矩阵；

这种邻接矩阵可以是三角矩阵；但对于一般的图来说，若其邻接矩阵是三角矩阵，则存在拓扑序列；反之则不一定成立。

3.关键路径

在带权有向图中，以顶点表示事件，以有向边表示活动，以边上的权值表示完成该活动的开销(如完成活动所需的时间)，称之为用边表示活动的网络，简称 AOE网。

AOE 网和 AOV 网都是有向无环图，不同之处在于它们的边和顶点所代表的含义是不同的；

AOE 网中的边有权值；

而 AOV 网中的边无权值，仅表示顶点之间的前后关系。

AOE 网具有以下两个性质:

① 只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各有向边所代表的活动才能开始；

② 只有在进入某顶点的各有向边所代表的活动都已结束时，该顶点所代表的事件才能发生。

在 AOE 网中仅有一个入度为0的顶点，称为开始顶点(源点)，它表示整个工程的开始；

也仅有一个出度为0的顶点，称为结束顶点(汇点)，它表示整个工程的结束。

【命题追踪——关键路径的性质】

在 AOE 网中，有些活动是可以并行进行的。从源点到汇点的有向路径可能有多条，并且这些路径长度可能不同。

完成不同路径上的活动所需的时间虽然不同，但是只有所有路径上的活动都已完成，整个工程才能算结束。

因此，从源点到汇点的所有路径中，具有最大路径长度的路径称为关键路径，而把关键路径上的活动称为关键活动。

完成整个工程的最短时间就是关键路径的长度，即关键路径上各活动花费开销的总和。

这是因为关键活动影响了整个工程的时间，即若关键活动不能按时完成，则整个工程的完成时间就会延长。

因此，只要找到了关键活动，就找到了关键路径，也就可以得出最短完成时间。

下面给出在寻找关键活动时所用到的几个参量的定义。

3.1事件 $v_{k}$ 的最早发生时间 $v_{e}(k)$

它是指从源点 $v_{1}$ 到顶点 $v_{k}$ 的最长路径长度。事件 $v_{k}$ 的最早发生时间决定了所有从 $v_{k}$ 开始的活动能够开工的最早时间。

可用下面的递推公式来计算:

$v_{e}$ (源点)=0

$v_{e}(k)=Max\left \{ v_{e}(j)+Weight(v_{j},v_{k}) \right \}$ ， $v_{k}$ 为 $v_{j}$ 的任意后继， $Weight(v_{j},v_{k})$ 表示 $<v_{j},v_{k}>$ 上的权值

注意：

计算 $v_{e}()$ 值时，按从前往后的顺序进行，可以在拓扑排序的基础上计算：
① 初始时，令 $v_{e}[1...n]=0$ 。
② 输出一个入度为0的顶点 $v_{j}$ 时，计算它所有直接后继顶点 $v_{k}$ 的最早发生时间，若 $v_{e}[j]+Weight(v_{j},v_{k})>v_{e}[k]$ ，

则 $v_{e}[k]=v_{e}[j]+Weight(v_{j},v_{k})$ 。以此类推，直至输出全部顶点。

3.2事件 $v_{k}$ 的最迟发生时间 $v_{l}(k)$

它是指在不推迟整个工程完成的前提下，即保证它的后继事件 $v_{j}$ 在其最迟发生时间 $v_{l}(j)$ 能够发生时，该事件最迟必须发生的时间。

可用下面的递推公式来计算：

$v_{l}$ (汇点)= $v_{e}$ (汇点)

$v_{l}(k)=Min\left \{ v_{l}(j)-Weight(v_{k},v_{j})\right \}$ , $v_{k}$ 为 $v_{j}$ 的任意前驱

注意：

计算值 $v_{l}(k)$ 时，按从后往前的顺序进行，可以在逆拓扑排序的基础上计算。

增设一个栈以记录拓扑序列，拓扑排序结束后从栈顶至栈底便为逆拓扑有序序列。

过程如下:
① 初始时，令 $v_{l}[1...n]=v_{e}[n]$ 。
② 栈顶顶点 $v_{j}$ 出栈，计算其所有直接前驱顶点 $v_{k}$ 的最迟发生时间，若 $v_{l}[j]-Weight(v_{k},v_{j})<v_{l}[k]$ ，

则 $v_{l}[k]=v_{l}[j]-Weight(v_{k},v_{j})$ 。以此类推，直至输出全部栈中顶点。