编程训练——兑换钱问题（用动态规划）_动态规划 零钱兑换

题目

// 输入m，表示有m种钞票；
// 输入base[1]~base[m]表示每种钞票的面值。
// 输入n，代表想将n元兑换成这些面值。求出兑换钞票数最少的情况下，最少钞票数和每种面值需要的张数。
// 假设base[1]一定为1，即不存在找不到兑换方式的情况，因为任何面值都能兑换成若干张1元。

样例输入

3
1 3 4
100
1
2
3

m=3，表示有三种钞票，面值分别为base[1]=1、base[2]=3、base[3]=4元，需要兑换n=100元。
限制m和n最大不超过100.

样例输出

25
0 0 25
1
2

结果是最小需要25张钞票，分别是0张1元、0张3元、25张4元。

算法

用动态规划。需要用到两个dp数组，$money[i]$表示兑换i元所需的最少的钞票数量，$MinNum[i][j]$表示兑换$i$元所需的面值$base[j]$的张数。

初始化为$money[0]=0$，因为无论有什么面值，兑换$0$元都不需要任何钞票；类似地$MinNum[0][j]=0$，兑换$0$元所需的任何面值都是$0$张。

更新$money[i]$非常简单，只需要选出$money[i-base[1]]+1$、$money[i-base[2]]+1$、…、$money[i-base[m]]+1$中的最小值就行了（注意判断$i\ge base[j]forj=1\sim m$）；且一定存在一个$j$，使得$i\ge base[j]$，因为题目已经假定了任何数值都是能被兑换的）。

更新$MinNum[i][j]$稍微麻烦一点，根据上面所讲我们知道$money[i]$是$money[i-base[j]]+1$（$j=1～m$）中的最小值，假设这个最小值为$money[i-base[j_0]]+1$，而对于这个$j_0$，它的意义就是面值$base[j_0]$一定是兑换$i$元所必须选择的。所以$MinNum[i][不是j_0]=MinNum[i-base[j_0]][不是j_0]$，$MinNum[i][j_0]=MinNum[i-base[j_0]][j_0]+1$.（注意这里一定有$i\ge base[j_0]$）

参考代码

#include<stdio.h>

#define maxm 105
#define maxn 105

int main(){
    int base[maxm+1], money[maxn+1], MinNum[maxn+1][maxm+1];
    int n, m;
    int temp = 0;
    while(scanf("%d", &m)==1){
    	// 输入各个面值
        for(int i = 1;i <= m;i++){
            scanf("%d", &base[i]);
        }
        scanf("%d", &n);

        // 初始化dp数组
        money[0] = 0;
        for(int j = 1;j <= m;j++){
            MinNum[0][j] = 0;
        }
        
        for(int i = 1;i <= n;i++){

            // 更新money[]
            for(int j = 1;j <= m;j++){
                if(i>=base[j]){
                    temp = (money[i-base[1]]<money[i-base[j]]) ? 1 : j;
                }
            }
            money[i] = money[i-base[temp]] + 1;

            // 更新MinNum[][]
            for(int j = 1;j <= m;j++){
                MinNum[i][j] = MinNum[i-base[temp]][j];
            }
            MinNum[i][temp] = MinNum[i][temp] + 1;
        }

        // 输出结果
        printf("%d\n", money[n]);
        for(int j = 1;j < m;j++){
            printf("%d ", MinNum[n][j]);
        }
        printf("%d\n", MinNum[n][m]);
    }

     return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
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