004_matrix_conventions_in_Matlab中的矩阵约定

Matlab中的矩阵约定

Matlab这个名字，是Matrix Laboratory的缩写，以前（真的以前，互联网前时代）有一个清华还是北大的几个学生，做的魔性视频里，有个配音：马特拉博，马特拉波，我到现在还能随时想起来，每次想起来大脑里都要响起这个声音。所以我现在使用Matlab，简直是……

Matlab中倒是随处可见Mat，甚至数据文件的后缀名也是.mat，这门所谓的语言，也称为M语言，因为脚本和函数的后缀名是.m。

Matlab中，矩阵是其非常核心的概念和数据结构。就像是Python，在numpy之前，也是个弱鸡。Matlab能打，基础就是矩阵和相关的计算工具箱。

1. 矩阵形状

Matlab仲可以表示N维数组，这里用数组，主要是表示一般编程语言中的非稀疏矩阵，类似于C#的MathNet.Numerics库中的DensityMatrix。因为Matlab还有一种稀疏矩阵的表示方式，以后再说。

N为数组，假设每个维度的长度分别为n1, n2, ..., nN，那么这个数组就是一个n1 x n2 x ... x nN的矩阵。数组的元素一共是n1 * n2 * ... * nN个。Matlab专门有个函数size来获取数组的维度信息，还有个函数numel来获取数组元素总长度信息。

前者返回一个行向量，后者返回一个标量。
$$m\equiv m_{n1\times n2\times \cdots \times nN}\in {\mathbb{R}}^{n1\times n2\times ...\times nN}$$

$$\text{size}(m)=[n1,n2,...,nN]$$

$$\text{numel}(m)=n1\times n2\times ...\times nN$$

此外，还有一个函数ndims，返回数组的维度数目。length函数返回数组的最大维度长度。

$$\text{ndims}(m)=N$$

$$\text{length}(m)=\max (n1,n2,...,nN)$$

2. 矩阵元素访问

要访问矩阵的元素，在Matlab中，使用()符号，里面是一个逗号分隔的下标列表。下标列表的长度应该等于数组的维度数目。

约定1：Matlab中的下标从1开始，不是从0开始。

3. 矩阵的全索引

上面我们在讨论向量的约定时，提到了行向量和列向量，这里再次强调一下，Matlab中的矩阵是列优先的。那么列对于矩阵来说什么意思呢？

对于二维数组（包含列向量和行向量），列优先的意思很简单，就是按照列来存储数据。对于如下的$m\times n$的矩阵，它在内存中就等同为$m\times n$的列向量。

A m × n = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n A_{m\times n} =

$$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{matrix}$$ Am×n​=a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮amn​​

A ( : ) = a 11 a 21 ⋮ a m 1 a 12 a 22 ⋮ a m 2 ⋮ a 1 n a 2 n ⋮ a m n A(:) =

$$\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \\ a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \\ \vdots \\ a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{matrix}$$ A(:)=a11​a21​⋮am1​a12​a22​⋮am2​⋮a1n​a2n​⋮amn​​

其实这里说到内存中存储，通常对于很多人来说没有任何意义。但是上面这个事实，对于矩阵的访问也有一定的影响。

实际上，如果我们对于上面那个矩阵：

A = rand(m, n);
A
1
2

打印出就是矩阵的形式。

A(:)
1

打印出就是下面的列向量。

那么对于二维矩阵，这中列优先的方式实际上预期下标(size(A)所获得值)，[m, n]是有内在的一致性的。

那个列向量其实也可以写成：

[
    A(1, 1);
    A(2, 1);
    ...
    A(m, 1);
    A(1, 2);
    A(2, 2);
    ...
    A(m, 2);
    ...
    A(1, n);
    A(2, n);
    ...
    A(m, n);
]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

使用: 符号，又可以写成

[
    A(:, 1)
    A(:, 2)
    ...
    A(:, n)
]
1
2
3
4
5
6

这个写法，对于二维数组就是列先，对于多维数组，就是排在size返回的维度数组中的后面的维度优先。也就是，先确定最后一个维度，然后确定倒数第二个维度，然后确定倒数第三个维度，以此类推。

约定2：多维矩阵，高维优先。

对于上面的N维数组，A(:, :, ..., :, i_i, i_{i+1}, ..., i_{N})确定了一个n1 x n2 x ... x n_{i-1}的矩阵。也就是，i维到N全部确定，前面的维度都是:，可以在内存中确定一个连续的区域。

如果我们对一个三维数组，采用如下的方式访问：

A(1,1,:)
1

得到的是n3个不连续的值。如果我们把size函数得到的维度向量中后面的维称为高维，前面的维称为低维。从前到后对应第一维到最后一维。

那么高维的维度确定后，访问的效率会更高。

约定3：访问矩阵时，当某个维限定，比这个维度高的所有维度都应该被限定，计算会更有效率。

4. 矩阵降维索引

Matalb中的多维数组，还可以采用降维索引的方式访问。

约定4：矩阵降维索引时，没有给定的高维，按高维优先的方式，连接到最后一个维度，这样最后一个维度 $i$ 的范围就是 $[1,{\prod }_{j=i}^N{n}_j]$ 。

这个也很好理解，当我们用一个索引来访问一个二维矩阵 $A_{m\times n}$ 时，我们只给定了一个索引，那么这个索引就是列优先的索引，也就是 $A(:)$ 的索引，它的范围就是 $[1,m\times n]$ 。

同理，这也可以推到到多维数组上。

5. 矩阵左值和矩阵右值

在Matlab中，语句约定写为：

A = B;
1

这里的=是赋值操作符，A是左值，B是右值。这个语句的意思是，把右值B的值赋给左值A。

当我们按照矩阵的索来引用矩阵作为左值时，右值必须是一个和左值长度相同的数组。或者是一个标量，这个标量会被广播到左值的每一个元素上。当右值和左值长度一样，但是形状不一样，就会按照高维优先的方式，将右值的每个元素对应到左值的每个元素上。

约定5：矩阵作为左值，右值必须是一个和左值长度相同的矩阵，或者是一个标量。

在每个涉及数组（矩阵）的操作中，高维优先可以始终保持访问顺序的一致性。

6. 结论

0. Matlab矩阵索引从1开始（这个第0条是故意的）。
1. Matlab中的矩阵是列优先的，多维数组是高维优先的。
2. 访问矩阵时，当某个维限定，比这个维度高的所有维度都应该被限定，计算会更有效率。
3. 矩阵作为左值，右值必须是一个和左值长度相同的矩阵，或者是一个标量。
4. 在每个涉及数组（矩阵）的操作中，高维优先可以始终保持访问顺序的一致性。