「动态规划」如何求最长摆动子序列的长度？

376. 摆动序列https://leetcode.cn/problems/wiggle-subsequence/description/

如果连续数字之间的差严格地在正数和负数之间交替，则数字序列称为摆动序列。第一个差（如果存在的话）可能是正数或负数。仅有一个元素或者含两个不等元素的序列也视作摆动序列。例如，[1, 7, 4, 9, 2, 5]是一个摆动序列，因为差值(6, -3, 5, -7, 3)是正负交替出现的。相反，[1, 4, 7, 2, 5]和[1, 7, 4, 5, 5]不是摆动序列，第一个序列是因为它的前两个差值都是正数，第二个序列是因为它的最后一个差值为零。子序列可以通过从原始序列中删除一些（也可以不删除）元素来获得，剩下的元素保持其原始顺序。给你一个整数数组nums，返回nums中作为摆动序列的最长子序列的长度。

1. 输入：nums = [1,7,4,9,2,5]，输出：6，解释：整个序列均为摆动序列，各元素之间的差值为(6, -3, 5, -7, 3)。
2. 输入：nums = [1,17,5,10,13,15,10,5,16,8]，输出：7，解释：这个序列包含几个长度为7摆动序列。其中一个是[1, 17, 10, 13, 10, 16, 8]，各元素之间的差值为(16, -7, 3, -3, 6, -8)。
3. 输入：nums = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]，输出：2。

提示：1 <= nums.length <= 1000，0 <= nums[i] <= 1000。

进阶：你能否用O(n)的时间复杂度完成此题？

我们用动态规划的思想来解决这个问题。

确定状态表示：根据经验和题目要求，为了方便推导状态转移方程，我们定义如下的状态表示：

• 用f[i]表示：所有以i位置为结尾的最后呈现上升趋势的子序列中，最长的摆动序列的长度。
• 用g[i]表示：所有以i位置为结尾的最后呈现下降趋势的子序列中，最长的摆动序列的长度。

推导状态转移方程：考虑f[i]。我们把以i位置为结尾的子序列分为2类：长度为1的子序列，长度大于1的子序列。如果子序列的长度是1，那么这个子序列是摆动序列。下面我们考虑长度大于1的子序列。

如果以i位置为结尾的子序列的长度大于1，我们可以继续细分为：i位置元素的前面是i - 1位置元素的子序列，i位置元素的前面是i - 2位置元素的子序列，i位置元素的前面是i - 3位置元素的子序列，……，i位置元素的前面是0位置元素的子序列。也就是说，如果子序列中，i位置元素的前面是j位置元素，那么j的范围是[0, i - 1]。

对于每一个j，如果nums[j] < nums[i]，那么这个序列最后呈现上升趋势。若想要这个序列是摆动序列，就要找到以j位置为结尾的最后呈现下降趋势的摆动序列，在后面添加上nums[i]，就是以i位置为结尾的最后呈现上升趋势的摆动序列。若想要这个摆动序列尽可能得长，那么以j位置为结尾的最后呈现下降趋势的摆动序列就要尽可能得长，根据状态表示，以j位置为结尾的最后呈现下降趋势的摆动序列的最长长度是g[j]。所以，以i位置为结尾的最后呈现上升趋势的摆动序列的最长长度是g[j] + 1。

我们来梳理一下。f[i]应该取：「1」和「所有的满足0 <= j < i并且nums[j] < nums[i]的j中，g[j] + 1的最大值」的较大值。为了实现这个逻辑，我们可以把f表的值全部初始化为1，接着让i > 0时的f[i]取：所有的满足0 <= j < i并且nums[j] < nums[i]的j中，g[j] + 1的最大值。

同理，g[i]应该取：「1」和「所有的满足0 <= j < i并且nums[j] > nums[i]的j中，f[j] + 1的最大值」的较大值。为了实现这个逻辑，我们可以把g表的值全部初始化为1，接着让i > 0时的g[i]取：所有的满足0 <= j < i并且nums[j] > nums[i]的j中，f[j] + 1的最大值。

填表顺序：根据状态转移方程，显然应从左往右同时填2个表。

返回值：根据状态表示，我们应返回f表和g表的所有值中的最大值。

细节问题：f表和g表的规模和nums相同，均为1 x n。

class Solution {
public:
    int wiggleMaxLength(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
 
        // 创建dp表
        vector<int> f(n, 1);
        auto g = f;
 
        // 填表
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    f[i] = max(f[i], g[j] + 1);
                } else if (nums[j] > nums[i]) {
                    g[i] = max(g[i], f[j] + 1);
                }
            }
        }
 
        return max(*max_element(f.begin(), f.end()),
                   *max_element(g.begin(), g.end()));
    }
};