【UAV】从单个螺旋桨到四旋翼无人机运动学分析_无人机螺旋桨 升力

1 单个螺旋桨受力分析

单个螺旋桨发生旋转时，如上图 $M1$ 和 $M2$，会产生向上的升力 $T_1,T_2$ 和旋转力矩 $M_1,M_2$，升力方向垂直螺旋桨竖直向上，旋转力矩方向一般假设为平行于飞机所在平面，垂直于机臂。

2 坐标变化

在分析四个螺旋桨对无人机的影响之前，先建立两个坐标系，分别是世界坐标系 $S_g$ 和机体坐标系 $S_b$。同时给出二者之间的转换关系。

在世界坐标系 $S_g$ 与机体坐标系 $S_b$ 之间的转换矩阵为：

M g 2 b = [ cos ⁡ θ cos ⁡ ψ cos ⁡ θ sin ⁡ ψ − sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ cos ⁡ ψ − cos ⁡ ϕ sin ⁡ ψ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ sin ⁡ ψ + cos ⁡ ϕ cos ⁡ ψ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ cos ⁡ ψ + sin ⁡ ϕ sin ⁡ ψ cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ sin ⁡ ψ − sin ⁡ ϕ cos ⁡ ψ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ ] M_{g2b} = \left[

$$\begin{matrix} \cos\theta \cos\psi & \cos\theta \sin\psi & -\sin\theta \\ \sin\phi \sin\theta \cos\psi - \cos\phi \sin\psi & \sin\phi \sin\theta \sin\psi + \cos\phi \cos\psi & \sin\phi \cos\theta \\ \cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi & \cos \phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi & \cos\phi \cos\theta \\ \end{matrix}$$ \right] Mg2b​=⎣ ⎡​cosθcosψsinϕsinθcosψ−cosϕsinψcosϕsinθcosψ+sinϕsinψ​cosθsinψsinϕsinθsinψ+cosϕcosψcosϕsinθsinψ−sinϕcosψ​−sinθsinϕcosθcosϕcosθ​⎦ ⎤​

地面坐标系与机体坐标系之间的转换满足方程式（关于这个矩阵关系的替换请参考）
$$S_b=M_{g2b}\cdot S_g\text{或}{S}_g=M_{b2g}\cdot S_b$$

M b 2 g = [ cos ⁡ θ cos ⁡ ψ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ cos ⁡ ψ − cos ⁡ ϕ sin ⁡ ψ cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ cos ⁡ ψ + sin ⁡ ϕ sin ⁡ ψ cos ⁡ θ sin ⁡ ψ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ sin ⁡ ψ + cos ⁡ ϕ cos ⁡ ψ cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ sin ⁡ ψ − sin ⁡ ϕ cos ⁡ ψ − sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ ] M_{b2g}= \left[

$$\begin{matrix} \cos\theta \cos\psi & \sin\phi \sin\theta \cos\psi - \cos\phi \sin\psi & \cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi \\ \cos\theta \sin\psi & \sin\phi \sin\theta \sin\psi + \cos\phi \cos\psi & \cos\phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi \\ -\sin\theta & \sin\phi \cos\theta & \cos\phi \cos\theta \\ \end{matrix}$$ \right] Mb2g​=⎣ ⎡​cosθcosψcosθsinψ−sinθ​sinϕsinθcosψ−cosϕsinψsinϕsinθsinψ+cosϕcosψsinϕcosθ​cosϕsinθcosψ+sinϕsinψcosϕsinθsinψ−sinϕcosψcosϕcosθ​⎦ ⎤​

关于坐标系转换的详细推导过程请参考：第5章-无人机UAV模型分析。

3 四个螺旋桨对无人机的影响

根据建立的机体坐标与无人机机臂关系的不同，无人机可以分为“十”字飞行模式和“X”型飞行模式，分别如下图左和图右所示。关于“十”字飞行模式，讨论的较多。但是在实际飞行时，使用“X”型模式的更多。因此我们在这里使用“X”型坐标来进行以下的分析。

3.1 旋翼对位置的影响

关于飞机对 $Z_b$ 轴的影响，比较好理解，同时提升螺旋桨的升力 $T_i$，无人机便垂直提升，于是有
$$T_{Z_b}=T_1+T_2+T_3+T_4\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中 $T_{Z_b}$ 表示在机体坐标系的 $Z_b$ 轴飞机受到的力。

这时候先别着急利用牛二定律映射到加速度 ${\ddot{Z}}_b$ 上，要不然往下不好转换。

这里先不考虑重力加速度的影响，因为现在 $Z_b$ 还是机体坐标系下的值。并且机体坐标系会变，而重力加速度相对于世界坐标系是恒定不变的。

但如论如何更改四个螺旋桨的升力，都不会产生在 $X_b$ 和 $Y_b$ 方向的改变，因此有
$$T_{X_b}=0\text{\hspace{1em}(2)}$$

$$T_{Y_b}=0\text{\hspace{1em}(3)}$$

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3.2 旋翼对姿态角影响

同时无人机还具有三个姿态角，分别是滚转角 $\varphi$，俯仰角 $\theta$，航向角 $\psi$，注意这三个姿态角是相对于机体坐标系 $S_b$ 而言的。那它们是如何变化的呢？

首先研究比较简单的航向角 $\psi$。我们知道螺旋桨在旋转时会产生一个旋转力矩，而由于四个螺旋桨产生的旋转力矩刚好是相邻两个互为相反方向，因此刚好抵消掉。否则无人机将会发生原地旋转。那么我们想要让无人机发生原地旋转，就可以通过调整四个螺旋桨的转速实现。注意，这时候无论是“十”字还是“X”型模式都是一样的。比如我们可以通过同时减小 $M_1(T_1),M_3(T_3)$，提高 $M_2(T_2),M_4(T_4)$，那么飞机在保持总的升力不变的情况下，会发生逆时针旋转，达到改变航向角的目的。

不考虑空气阻力时，有
$$\ddot{\psi }=\frac{(-M_1+M_2-M_3+M_4)}{I_z}\text{\hspace{1em}(4)}$$

考虑空气阻力时，有
$$\ddot{\psi }=\frac{(-M_1+M_2-M_3+M_4-K_6\dot{\psi })}{I_z}\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中 $K_6$ 是阻力系数（drag coefficient），由空气动力学决定的。

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而改变滚转角 $\varphi$ 和俯仰角 $\theta$，则是利用的飞机四个螺旋桨的升力差。首先是滚转角 $\varphi$，因为滚转角是围绕 $X_b$ 轴发生转动，结合图可知，我们需要提升 $T_2,T_3$，减小 $T_1,T_4$。同理，改变俯仰角 $\theta$，俯仰角是围绕 $Y_b$ 轴发生转动，因此提升 $T_1,T_2$，减小 $T_3,T_4$。

不考虑空气阻力时，有
$$\ddot{\varphi }=\frac{L(-T_1+T_2+T_3-T_4)}{I_x}\text{\hspace{1em}(5)}$$

$$\ddot{\theta }=\frac{L(T_1+T_2-T_3-T_4)}{I_y}\text{\hspace{1em}(6)}$$

考虑空气阻力时，有
$$\ddot{\varphi }=\frac{L(-T_1+T_2+T_3-T_4-K_4\dot{\varphi })}{I_x}\text{\hspace{1em}(5)}$$

$$\ddot{\theta }=\frac{L(T_1+T_2-T_3-T_4-K_5\dot{\theta })}{I_y}\text{\hspace{1em}(6)}$$

这里用到了一点力矩和角动量的关系，请参考【控制】四旋翼无人机姿态角分析。

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4 机体坐标下的输出量

这样我们便得到了无人机六个输出量的表达式（注意这时候没考虑重力，且受力分析是在机体坐标系下的）。
{ T X b = 0 T Y b = 0 T Z b = T 1 + T 2 + T 3 + T 4 ϕ ¨ = L ( − T 1 + T 2 + T 3 − T 4 − K 4 ϕ ˙ ) I x θ ¨ = L ( T 1 + T 2 − T 3 − T 4 − K 5 θ ˙ ) I y ψ ¨ = ( − M 1 + M 2 − M 3 + M 4 − K 6 ψ ˙ ) I z (7) \left\{

$$\begin{aligned} T_{X_b} &= 0 \\ T_{Y_b} &= 0 \\ T_{Z_b} &= T_1 + T_2 + T_3 + T_4 \\ \ddot{\phi} &= \frac{L (- T_1 + T_2 + T_3 - T_4 - K_4 \dot{\phi})}{I_x} \\ \ddot{\theta} &= \frac{L (T_1 + T_2 - T_3 - T_4 - K_5 \dot{\theta})}{I_y} \\ \ddot{\psi} &= \frac{(-M_1 + M_2 - M_3 + M_4 - K_6 \dot{\psi})}{I_z} \\ \end{aligned}$$ \right. \tag{7} ⎩ ⎨ ⎧​TXb​​TYb​​TZb​​ϕ¨​θ¨ψ¨​​=0=0=T1​+T2​+T3​+T4​=Ix​L(−T1​+T2​+T3​−T4​−K4​ϕ˙​)​=Iy​L(T1​+T2​−T3​−T4​−K5​θ˙)​=Iz​(−M1​+M2​−M3​+M4​−K6​ψ˙​)​​(7)

当飞机在低速飞行时，阻力系数常常可以忽略，因此可以有
{ T X b = 0 T Y b = 0 T Z b = T 1 + T 2 + T 3 + T 4 ϕ ¨ = L ( − T 1 + T 2 + T 3 − T 4 ) I x θ ¨ = L ( T 1 + T 2 − T 3 − T 4 ) I y ψ ¨ = ( − M 1 + M 2 − M 3 + M 4 ) I z (7) \left\{

$$\begin{aligned} T_{X_b} &= 0 \\ T_{Y_b} &= 0 \\ T_{Z_b} &= T_1 + T_2 + T_3 + T_4 \\ \ddot{\phi} &= \frac{L (- T_1 + T_2 + T_3 - T_4)}{I_x} \\ \ddot{\theta} &= \frac{L (T_1 + T_2 - T_3 - T_4)}{I_y} \\ \ddot{\psi} &= \frac{(-M_1 + M_2 - M_3 + M_4)}{I_z} \\ \end{aligned}$$ \right. \tag{7} ⎩ ⎨ ⎧​TXb​​TYb​​TZb​​ϕ¨​θ¨ψ¨​​=0=0=T1​+T2​+T3​+T4​=Ix​L(−T1​+T2​+T3​−T4​)​=Iy​L(T1​+T2​−T3​−T4​)​=Iz​(−M1​+M2​−M3​+M4​)​​(7)

在机体坐标下的位置状态 $X_b,Y_b,Z_b$ 不方便我们的研究，因此我们通过坐标变换，转换到世界坐标 $S_g$ 下。

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5 位置变量转换到世界坐标系

因为之前先忽略了重力的影响，接下来我们需要把重力加速度考虑进去。

首先将无人机收到的在机体坐标系下的力 $T_{X_b},T_{Y_b},T_{Z_b}$ 转换到世界坐标系下。同时加上在 $Z_g$ 轴的重力加速度的影响。

[ T X g T Y g T Z g ] = [ cos ⁡ θ cos ⁡ ψ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ cos ⁡ ψ − cos ⁡ ϕ sin ⁡ ψ cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ cos ⁡ ψ + sin ⁡ ϕ sin ⁡ ψ cos ⁡ θ sin ⁡ ψ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ sin ⁡ ψ + cos ⁡ ϕ cos ⁡ ψ cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ sin ⁡ ψ − sin ⁡ ϕ cos ⁡ ψ − sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ ] [ T X b T Y b T Z b ] = [ cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ cos ⁡ ψ + sin ⁡ ϕ sin ⁡ ψ cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ sin ⁡ ψ − sin ⁡ ϕ cos ⁡ ψ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ ] ( T 1 + T 2 + T 3 + T 4 ) − [ 0 0 m g ] (8)

$$\begin{aligned} \left[\begin{matrix} T_{X_g} \\ T_{Y_g} \\ T_{Z_g} \\ \end{matrix}\right]&= \left[\begin{matrix} \cos\theta \cos\psi & \sin\phi \sin\theta \cos\psi - \cos\phi \sin\psi & \cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi \\ \cos\theta \sin\psi & \sin\phi \sin\theta \sin\psi + \cos\phi \cos\psi & \cos\phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi \\ -\sin\theta & \sin\phi \cos\theta & \cos\phi \cos\theta \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} T_{X_b} \\ T_{Y_b} \\ T_{Z_b} \\ \end{matrix}\right] \\ &= \left[\begin{matrix} \cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi \\ \cos \phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi \\ \cos\phi \cos\theta \\ \end{matrix}\right] (T_1 + T_2 + T_3 + T_4) - \left[\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ m g \\ \end{matrix}\right] \end{aligned}$$ \tag{8} ⎣ ⎡​TXg​​TYg​​TZg​​​⎦ ⎤​​=⎣ ⎡​cosθcosψcosθsinψ−sinθ​sinϕsinθcosψ−cosϕsinψsinϕsinθsinψ+cosϕcosψsinϕcosθ​cosϕsinθcosψ+sinϕsinψcosϕsinθsinψ−sinϕcosψcosϕcosθ​⎦ ⎤​⎣ ⎡​TXb​​TYb​​TZb​​​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​cosϕsinθcosψ+sinϕsinψcosϕsinθsinψ−sinϕcosψcosϕcosθ​⎦ ⎤​(T1​+T2​+T3​+T4​)−⎣ ⎡​00mg​⎦ ⎤​​(8)

这时候再考虑使用牛二定律，转换到加速度上。此时的加速度刚好是在世界坐标系下的。

$$T_{X_g}=m{\ddot{X}}_g=(\cos \varphi \sin \theta \cos \psi +\sin \varphi \sin \psi )(T_1+T_2+T_3+T_4)\text{\hspace{1em}(9)}$$

$$T_{Y_g}=m{\ddot{Y}}_g=(\cos \varphi \sin \theta \sin \psi -\sin \varphi \cos \psi )(T_1+T_2+T_3+T_4)\text{\hspace{1em}(10)}$$

$$T_{Z_g}=m{\ddot{Z}}_g=(\cos \varphi \cos \theta )(T_1+T_2+T_3+T_4)-mg\text{\hspace{1em}(11)}$$

无人机的六个输出量，其中加速度是在世界坐标系下：
{ X ¨ g = ( cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ cos ⁡ ψ + sin ⁡ ϕ sin ⁡ ψ ) ( T 1 + T 2 + T 3 + T 4 ) m Y ¨ g = ( cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ sin ⁡ ψ − sin ⁡ ϕ cos ⁡ ψ ) ( T 1 + T 2 + T 3 + T 4 ) m Z ¨ g = ( cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ ) ( T 1 + T 2 + T 3 + T 4 ) m − g ϕ ¨ = L ( − T 1 + T 2 + T 3 − T 4 − K 4 ϕ ˙ ) I x θ ¨ = L ( T 1 + T 2 − T 3 − T 4 − K 5 θ ˙ ) I y ψ ¨ = ( − M 1 + M 2 − M 3 + M 4 − K 6 ψ ˙ ) I z (12) \left\{

$$\begin{aligned} \ddot{X}_g &= \frac{(\cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4)}{m} \\ \ddot{Y}_g &= \frac{(\cos \phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4)}{m} \\ \ddot{Z}_g &= \frac{(\cos\phi \cos\theta)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4)}{m} - g \\ \ddot{\phi} &= \frac{L (- T_1 + T_2 + T_3 - T_4 - K_4 \dot{\phi})}{I_x} \\ \ddot{\theta} &= \frac{L (T_1 + T_2 - T_3 - T_4 - K_5 \dot{\theta})}{I_y} \\ \ddot{\psi} &= \frac{(-M_1 + M_2 - M_3 + M_4 - K_6 \dot{\psi})}{I_z} \\ \end{aligned}$$ \right. \tag{12} ⎩ ⎨ ⎧​X¨g​Y¨g​Z¨g​ϕ¨​θ¨ψ¨​​=m(cosϕsinθcosψ+sinϕsinψ)(T1​+T2​+T3​+T4​)​=m(cosϕsinθsinψ−sinϕcosψ)(T1​+T2​+T3​+T4​)​=m(cosϕcosθ)(T1​+T2​+T3​+T4​)​−g=Ix​L(−T1​+T2​+T3​−T4​−K4​ϕ˙​)​=Iy​L(T1​+T2​−T3​−T4​−K5​θ˙)​=Iz​(−M1​+M2​−M3​+M4​−K6​ψ˙​)​​(12)

同样，忽略了空气阻力影响时，有
{ X ¨ g = ( cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ cos ⁡ ψ + sin ⁡ ϕ sin ⁡ ψ ) ( T 1 + T 2 + T 3 + T 4 ) m Y ¨ g = ( cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ sin ⁡ ψ − sin ⁡ ϕ cos ⁡ ψ ) ( T 1 + T 2 + T 3 + T 4 ) m Z ¨ g = ( cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ ) ( T 1 + T 2 + T 3 + T 4 ) m − g ϕ ¨ = L ( − T 1 + T 2 + T 3 − T 4 ) I x θ ¨ = L ( T 1 + T 2 − T 3 − T 4 ) I y ψ ¨ = ( − M 1 + M 2 − M 3 + M 4 ) I z (12) \left\{

$$\begin{aligned} \ddot{X}_g &= \frac{(\cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4)}{m} \\ \ddot{Y}_g &= \frac{(\cos \phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4)}{m} \\ \ddot{Z}_g &= \frac{(\cos\phi \cos\theta)(T_1 + T_2 + T_3 + T_4)}{m} - g \\ \ddot{\phi} &= \frac{L (- T_1 + T_2 + T_3 - T_4)}{I_x} \\ \ddot{\theta} &= \frac{L (T_1 + T_2 - T_3 - T_4)}{I_y} \\ \ddot{\psi} &= \frac{(-M_1 + M_2 - M_3 + M_4)}{I_z} \\ \end{aligned}$$ \right. \tag{12} ⎩ ⎨ ⎧​X¨g​Y¨g​Z¨g​ϕ¨​θ¨ψ¨​​=m(cosϕsinθcosψ+sinϕsinψ)(T1​+T2​+T3​+T4​)​=m(cosϕsinθsinψ−sinϕcosψ)(T1​+T2​+T3​+T4​)​=m(cosϕcosθ)(T1​+T2​+T3​+T4​)​−g=Ix​L(−T1​+T2​+T3​−T4​)​=Iy​L(T1​+T2​−T3​−T4​)​=Iz​(−M1​+M2​−M3​+M4​)​​(12)

到这里我们的控制关系，也可以说是变量关系就明确了。知道了六个输出量 $X_g,Y_g,Z_g,\varphi ,\theta ,\psi$，通过上式就可以计算出四个螺旋桨的升力 $T_1,T_2,T_3,T_4$ 了，而扭矩 $M_1,M_2,M_3,M_4$ 和升力都与转速正相关，也可以理解成知道每个螺旋桨需要达到的转速了。

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6 简化分析

不过因为我们不是专门研究空气动力学下无人机的飞行问题，因此接下来的讨论都将忽略空气阻力的影响。同时为了表示方便，我们假设 $M_i=C\cdot T_i,i=1,2,3,4$。定义四个变量与螺旋桨升力有如下关系，
[ u f u ϕ u θ u ψ ] = [ 1 1 1 1 − L L L − L L L − L − L − C C − C C ] [ T 1 T 2 T 3 T 4 ] = [ T 1 + T 2 + T 3 + T 4 ( − T 1 + T 2 + T 3 − T 4 ) L ( T 1 + T 2 − T 3 − T 4 ) L ( − T 1 + T 2 − T 3 + T 4 ) C ] (13)

$$\begin{aligned} \left[\begin{matrix} u_f \\ u_\phi \\ u_\theta \\ u_\psi \\ \end{matrix}\right]&= \left[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -L & L & L & -L \\ L & L & -L & -L \\ -C & C & -C & C \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} T_1 \\ T_2 \\ T_3 \\ T_4 \\ \end{matrix}\right] \\ &= \left[\begin{matrix} T_1 + T_2 + T_3 + T_4 \\ (-T_1 + T_2 + T_3 - T_4) L \\ (T_1 + T_2 - T_3 - T_4) L \\ (-T_1 + T_2 - T_3 + T_4) C \\ \end{matrix}\right] \end{aligned}$$ \tag{13} ⎣ ⎡​uf​uϕ​uθ​uψ​​⎦ ⎤​​=⎣ ⎡​1−LL−C​1LLC​1L−L−C​1−L−LC​⎦ ⎤​⎣ ⎡​T1​T2​T3​T4​​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​T1​+T2​+T3​+T4​(−T1​+T2​+T3​−T4​)L(T1​+T2​−T3​−T4​)L(−T1​+T2​−T3​+T4​)C​⎦ ⎤​​(13)

这样，（12）就可以简化为
{ X ¨ g = ( cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ cos ⁡ ψ + sin ⁡ ϕ sin ⁡ ψ )   u f m Y ¨ g = ( cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ sin ⁡ ψ − sin ⁡ ϕ cos ⁡ ψ )   u f m Z ¨ g = ( cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ )   u f m − g ϕ ¨ = u ϕ I x θ ¨ = u θ I y ψ ¨ = u ψ I z (14) \left\{

$$\begin{aligned} \ddot{X}_g &= \frac{(\cos\phi \sin\theta \cos\psi + \sin\phi \sin\psi)~ u_f}{m} \\ \ddot{Y}_g &= \frac{(\cos \phi \sin\theta \sin\psi - \sin\phi \cos\psi)~ u_f}{m} \\ \ddot{Z}_g &= \frac{(\cos\phi \cos\theta)~ u_f}{m} - g \\ \ddot{\phi} &= \frac{u_\phi}{I_x} \\ \ddot{\theta} &= \frac{u_\theta}{I_y} \\ \ddot{\psi} &= \frac{u_\psi}{I_z} \\ \end{aligned}$$ \right. \tag{14} ⎩ ⎨ ⎧​X¨g​Y¨g​Z¨g​ϕ¨​θ¨ψ¨​​=m(cosϕsinθcosψ+sinϕsinψ) uf​​=m(cosϕsinθsinψ−sinϕcosψ) uf​​=m(cosϕcosθ) uf​​−g=Ix​uϕ​​=Iy​uθ​​=Iz​uψ​​​(14)

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当UAV以低速进行飞行时，阻力系数可以忽略不计，即 $K_i=0,i=1,2,\cdots ,6$。横滚角和俯仰角仅有较小的变化，$\sin \varphi \approx \varphi ,\cos \varphi \approx 1,\sin \theta \approx \theta ,\cos \theta \approx 1$，同时没有偏航角的变化，$\psi =0$。UAV飞行在固定高度，$u_h\approx mg$。

基于上述假设，UAV的模型式可以简化为
x ¨ = g θ y ¨ = − g ϕ z ¨ = u h / m − g ϕ ¨ = u ϕ / I x θ ¨ = u θ / I y ψ ¨ = u ψ / I z

$$\begin{aligned} \ddot{x} &= g \theta \\ \ddot{y} &= -g \phi \\ \ddot{z} &= u_h / m - g \\ \ddot{\phi} &= u_\phi / I_x \\ \ddot{\theta} &= u_\theta / I_y \\ \ddot{\psi} &= u_\psi / I_z \\ \end{aligned}$$ x¨y¨​z¨ϕ¨​θ¨ψ¨​​=gθ=−gϕ=uh​/m−g=uϕ​/Ix​=uθ​/Iy​=uψ​/Iz​​