【动态规划】Leetcode 152. 乘积最大子数组【中等】

乘积最大子数组

• 给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的非空连续
  子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。

测试用例的答案是一个 32-位 整数。

示例 1:

输入: nums = [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。

解题思路

这个问题可以使用动态规划来解决。

• 我们定义两个数组 maxDp 和 minDp， 其中 maxDp[i] 表示以 nums[i] 结尾的乘积最大的连续子数组的乘积，而 minDp[i] 表示以 nums[i] 结尾的乘积最小的连续子数组的乘积。

• 状态转移方程为：

• 如果 nums[i] 是正数，那么

•  maxDp[i] = max(nums[i], maxDp[i-1] * nums[i])，
  1

•   minDp[i] = min(nums[i], minDp[i-1] * nums[i])；
  1

• max(nums[i], maxDp[i-1] * nums[i]) 这里为什么是**nums[i], maxDp[i-1] nums[i]**两个比较?

  对于以 nums[i] 结尾的乘积最大的连续子数组，可能有两种情况：
  当前的 nums[i] 自身就构成一个连续子数组，此时乘积最大；
  当前的 nums[i] 与之前的连续子数组相乘后得到的乘积更大。

• 如果 nums[i] 是负数，那么

•  maxDp[i] = max(nums[i], minDp[i-1] * nums[i])，
  1

•  minDp[i] = min(nums[i], maxDp[i-1] * nums[i])；
  1

•  如果 nums[i] 是0，那么 maxDp[i] = minDp[i] = 0。
  1

• 最终答案即为 max(maxDp[i])，其中 0 <= i < nums.length。

Java实现

public class MaximumProductSubarray {
    public int maxProduct(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.length == 0) return 0;

        int maxProd = nums[0];
        int minProd = nums[0];
        int result = nums[0];

        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            int tempMaxProd = maxProd;
            maxProd = Math.max(nums[i], Math.max(nums[i] * maxProd, nums[i] * minProd));
            minProd = Math.min(nums[i], Math.min(nums[i] * tempMaxProd, nums[i] * minProd));
            result = Math.max(result, maxProd);
        }

        return result;
    }

    public static void main(String[] args) {
        MaximumProductSubarray solution = new MaximumProductSubarray();
        int[] nums = {2, 3, -2, 4};
        System.out.println("Maximum product of subarray: " + solution.maxProduct(nums)); // Output: 6 (the subarray is [2, 3])
    }
}

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

时间空间复杂度

• 时间复杂度：遍历了一次数组nums，时间复杂度为O(n)，其中n为数组nums的长度。

• 空间复杂度：只使用了常数级别的额外空间，空间复杂度为O(1)。