【数据结构】算法的效率（时间复杂度和空间复杂度）

目录

一.算法的效率

二.时间复杂度

1.概念

2.大O的渐进表示法

3.常见时间复杂度计算举例

三.空间复杂度

四.常见复杂度对比

五. 复杂度的oj练习

1.消失的数字

2.轮转数字：

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一.算法的效率

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计 算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

二.时间复杂度

1.概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一 个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知 道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个 分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法 的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

例：

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < N; ++j)
		{
			++count;
		}
	}
 
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

Func1 执行的基本操作次数 ：

F(N)=N^2+2*n+10

N=10        F(N)=130

N=100      F(N)=10210

N=1000    F(N)=1002010

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这 里我们使用大O的渐进表示法。

2.大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：

O(N^2)

N = 10        F(N) = 100

N = 100      F(N) = 10000

N = 1000    F(N) = 1000000

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

3.常见时间复杂度计算举例

例1：

void Fun(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)。

例2：

void Fun(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)。在这里如果条件中明确指出M>N的话，时间复杂度就可以直接写成O(M);或者M<N的话，时间复杂度可以直接写成O(N)。

例3：

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最 坏，时间复杂度为 O(N^2)。

例4：

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
	while (begin <= end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid - 1;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}

基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN)

ps：logN在算法分析中表示是底 数为2，对数为N。有些地方会写成lgN。

这一个函数是二分查找，它的查找效率是非常高的。但是它的局限性也同样很大，只能查询排序好的一串数字。

例5：

long long Fib(size_t N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

通过计算分析发现基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)。

这个函数是计算斐波那契数列的，这段代码虽然看起来非常简洁，但是实际上它的运行效率极其低下，不建议使用。

三.空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。 空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因 此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

例1：

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

例1使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)。

例2：

long long Fac(size_t N)
{
	if (N == 0)
		return 1;
 
	return Fac(N - 1) * N;
}

例3递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

四.常见复杂度对比

五. 复杂度的oj练习

1.消失的数字

面试题 17.04. 消失的数字 - 力扣（LeetCode）

思路1：

先排序，在依次查找，如果下一个值不等于前一个+1，下一个值就是消失的数字。

经过计算，程序一共执行了N^2+N次，时间复杂度是O(N^2)。 

思路2：

先求和0-N，在依次减去数组中的值。

 经过计算发现，程序执行了2*N次，时间复杂度为O(N)。

思路3：

异或。

基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN)。

2.轮转数字

189. 轮转数组 - 力扣（LeetCode）

思路1：

暴力求解。

 基本操作执行最好0次，最坏O(N*k)次，时间复杂度为 O(N*k)。

思路2：

三段逆置

 经过计算发现，程序执行了2*N次，时间复杂度为O(N)。